Polinomi irreducible

En teoria d'Anells, donat un domini d'integritat R, un polinomi $p(x)\in R[x]$ no nul i no unitat (és dir, sense invers multiplicativo en R[x]) es diu irreducible si en qualsevol factorización de la forma $p(x)=q(x)r(x)$ en el domini $R[x]$, un dels poliniomios $q(x)$ o $r(x)$ és unitat. Quan el domini d'integritat en qüestió és un camp, el que $p(x)$ siga un element irreducible de $R[x]$ equival a que este no puga factorizarse com el producte de dos polinomis de grau menor estricte al seu. És dir, si $p=r\cdot q$ llavors ha de ser $r\in R$ o $q\in R$ (és dir, algun d'ells ha de ser un polinomi constant).

Açò és un cas particular d'element irreducible en un domini íntegre.

El domini íntegre R pot, entre uns atres, ser el conjunt $ℝ$ dels número real (que és domini íntegre per ser cos), el conjunt $ℂ$ dels número complejo (també cos), el conjunt $\mathbb{Q}$ dels número racional (cos també) o el conjunt $\mathbb{Z}$ dels número entero (que no és cos pero sí domini íntegre).

Eixemples

Els cinc polinomis següents demostren algunes característiques elementals dels polinomis reducibles i irreducibles, depenent del domini d'integritat a on estiguen definits:

$p_1(x)=x^2+4x+4=(x+2)(x+2)$,

$p_2(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)$,

$p_3(x)=x^2-4/9=(x-2/3)(x+2/3)$,

$p_4(x)=x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$,

$p_5(x)=x^2+1=(x-i)(x+i)$.

Sobre l'anell $\mathbb{Z}$ de número entero, els primers dos polinomis són reducibles, pero els tres últims són irreducibles (el tercer no té coeficients de l'número entero). Sobre el cos $\mathbb{Q}$ de número racional, els primers tres polinomis són reducibles, pero els atres dos són irreducibles. Sobre el cos $ℝ$ de número real, els primers quatre polinomis són reducibles, pero el quint seguix sent irreducible. Sobre el cos $ℂ$ de número complejo, els cinc polinomis són reducibles. De fet en $ℂ$, cada polinomi no-constant es pot descompondre en factors llineals

$p(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots (z-z_n)$

a on $a_n$ és el coeficient principal del polinomi i $z_1,\dots ,z_n$ són els zeros de $p(x)$. Per lo tant, tots els polinomis irreducibles són de grau 1.

En el cas del cos $ℝ$, tampoc poden ser reducibles aquells polinomis de grau 2 en discriminante negatiu, ya que a pesar de ser factorizado per polinomis de menor grau que este, i major o igual a 0, no tenen els seus coeficients dins del cos dels reals. Este és el teorema fonamental de l'àlgebra.

Criteris de irreductibilidad

Per a demostrar si un polinomi és irreducible es poden aplicar varis criteris, entre els que es troben el criteri de Eisenstein, el criteri de reducció o el Lema de Gauss. Un polinomi irreducible és polinomi primitiu si i solament si $x^{\frac{p^{m-1}}{ri}}\equiv ̸1(\mathrm{mod}f(x))$ quan p és primer i x és un element d'orde $p^m\in {\mathbb{Z}}_p[x]/f(x)$.

Polinomis irreducibles de Z[x]

• Un polinomi $P(x)$ és irreducible sobre $\mathbb{Z}[X]$, si i només si $Q(x)=P(x+1)$ també és irreducible.
• Trivialmente un polinomi de segon grau, que no tinga a 1 o -1 com a raïl, només pot ser reducible si el seu terme independent no és un número primo: $P(x)=(ax+b)(cx+d)=(ac)x^2+(ad+bc)x+bd$, si $\{b,d\}\cap \{+1,-1\}=\varnothing$, llavors la reducibilidad implica que el terme independent té dos divisores no trivials i per tant no pot ser primer.

Polinomis irreducibles de Q[x]

Siga f(x) un polinomi primitiu. Aixina que, si f(x) és irreducible sobre $\mathbb{Z}[X]$, llavors també és irreducible considerat sobre $\mathbb{Q}[X]$.

Polinomis irreducibles de R[x]

Els polinomis irreducibles sobre $ℝ[X]$ són els binomis i els polinomis $x^2+bx+c$ de grau 2, tals que el seu discriminante siga negatiu, és dir:

Vore també

• Polinomi
• Teorema de la raïl racional
• Criteri de Eisenstein
• Lema de Gauss
• Domini d'factorización única

Referències

Bibliografia

• Zaldívar, Felipe (1996). «1. Anells», UAM Iztapalapa (ed.). Teoria de Galois, 1 edició (en espanyol), Mèxic: Anthropos, pp. 33-41. ISBN 84-7658-502-0.

Enllaços externs

• Irreducible Polynomial en MathWorld.