Discriminante

Archiu:Quadratic eq discriminant.svg

Polinomis quadràtics segons el seu discriminante.

En àlgebra, el discriminante d'un polinomi és una certa expressió dels coeficients de dit polinomi que és igual a zero si i solament si el polinomi té raïls múltiples en el pla complex.

Per eixemple, el discriminante del polinomi quadràtic

$a{x}^2+bx+c$       és       $b^2-4ac$.

El discriminante del polinomi cúbic

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d$       és       $b^2{c}^2-4a{c}^3-4b^{3}d-27a^2{d}^2+18abcd$.

Este concepte també s'aplica si el polinomi té coeficients en un cos que no està contingut en els número complejo. En este cas, el discriminante s'anula si i solament si el polinomi té raïls múltiples en la seua cos de descomposició.

El concepte de discriminante ha segut generalisat a atres estructures algebraiques ademés dels polinomis, incloent seccions còniques, formes quadràtiques i cossos d'número algebraico. Els discriminantes en la teoria d'número algebraico estan fortament relacionats i contenen informació sobre ramificacions. De fet, els tipos de ramificació estan relacionats en tipos més abstractes de discriminantes, lo que convertix esta idea algebraica en capital en moltes aplicacions.

El discriminante d'un polinomi

El discriminante dels polinomis quadràtics

El polinomi quadràtic $p(x)=a{x}^2+bx+c$ té discriminante $\Delta =b^2-4ac$, que és la cantitat baixe el signe de la raïl quadrada en la fòrmula de la solució de l'equació de segon grau. Donats els número real $a,b,c,$ es té:

• Si $\Delta >0$, llavors $p(x)$ té dos raïls reals distintes $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, i la seua representació creua l'eix de les abscisses dos voltes.

Si $\Delta =0$, llavors $p(x)$ té dos raïls coincidentes reals $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$, i la seua representació és tangente a l'eix d'abscisses.

Si $\Delta <0$, llavors per a $p(x)$, $x_{1,2}\notin ℝ$ i la seua representació queda estrictament per damunt o per baix de l'eix d'abscisses. En este cas, per a $p(x)$, $x_{1,2}\in ℂ$.

El discriminante dels polinomis cúbics

El polinomi cúbic $a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ té discriminante $b^2{c}^2-4a{c}^3-4b^{3}d-27a^2{d}^2+18abcd$.

Cas general

El discriminante del polinomi general

$p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\dots +a_{1}x+a_0$

és, fins a cert factor, igual al determinant de la matriu (2n − 1)×(2n − 1) (Vore també: matriu de Sylvester)

$\left(\begin{array}{cccccccccc}& a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \dots & a_0& 0& \dots & \dots & 0\\ & 0& a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \dots & a_0& 0& \dots & 0\\ & ⋮& & & & & & & & ⋮\\ & 0& 0& \dots & 0& a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \dots & a_0\\ & n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& (n-2)a_{n-2}& \dots & 1a_1& 0& \dots & \dots & 0\\ & 0& n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& (n-2)a_{n-2}& \dots & 1a_1& 0& \dots & 0\\ & ⋮& & & & & & & & ⋮\\ & 0& 0& \dots & 0& n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& (n-2)a_{n-2}& \dots & 1a_1\end{array}\right)$

El determinant d'esta matriu es coneix com la resultant de $p(x)$ i $p^{\prime }(x)$, notació $R(p,p^{\prime })$. El discriminante $D(p)$ de $p(x)$ ve dau per

$D(p)=(-1{)}^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p^{\prime })$.

Per

El discriminante del polinomi de quart grau s'obté a partir del seu determinant dividint-ho per $a_4$.

De forma equivalent, el discriminante és igual a

$a_n^{2n-2}\prod _{i<j}(r_i-r_j{)}^2$

a on r₁,..., r_n són les raïls complexes (contant el seu multiplicitat) del polinomi p(x):

$\begin{array}{ccc}p(x)& =& a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0\\ & =& a_n(x-r_1)(x-r_2)\dots (x-r_n)\end{array}$

Esta segona expressió clarifica que p té raïl múltiple si i solament si el discriminante és zero (la raïl múltiple pot ser complexa).

El discriminante pot definir-se per a polinomis en cossos arbitraris de la mateixa manera. La fòrmula que involucra les raïls r_i igue sent vàlida; les raïls tenen que prendre's en un cos de descomposició del polinomi.

Discriminante d'una secció cònica

Per a una secció cònica definida pel polinomi real:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f= 0,

el discriminante és igual a

b² − 4ac,

i determina la forma de la secció cònica. Si el discriminante és menor a 0, l'equació descriu una elipse o una circumferència. Si el discriminante és igual a 0, l'equació descriu una paràbola. Si pel contrari és major a zero, l'equació descriu una hipérbola. Esta fòrmula no funciona en els casos en que el polinomi ya s'ha factorizado.