Plantilla:Nc
Una elipse és una curva plana, simple[1] i tancada en dos eixos de simetria que resulta en tallar la superfície d'un con recte o de revolució per un pla oblicuo a l'eix de simetria, que no conté al vèrtiç, en àngul major que el de la generatriz respecte de l'eix de revolució.[2] El seu excentricitat és inferior a l'unitat, no té punts impropis per lo que nos trobem davant una curva tancada.
Una elipse que gira al voltant del seu eix menor genera un esferoide achatado, mentres que una elipse que gira al voltant del seu eix principal genera un esferoide allargat. La elipse és també la image afí d'una circumferència.[3]
La elipse és el lloc geomètric de tots els punts d'un pla, tals que la suma de les distàncies a atres dos punts fixos, cridats focs, és constant.
La elipse, com a curva geomètrica, va ser estudiada per Menecmo, investigada per Euclides, i el seu nom s'atribuïx a Apolonio de Pérgamo. El foc i la directriu de la secció cònica d'una elipse varen ser estudiades per Pappus. En 1602, Kepler creïa que l'òrbita de Mart era ovalada, encara que més vesprada va descobrir que es tractava d'una elipse en el Sol en un foc. De fet, Kepler va introduir la paraula «focus» i va publicar el seu descobriment en 1609. Halley, en 1705, va demostrar que el cometa que ara du el seu nom traçava una òrbita elíptica al voltant del Sol.[4]
La elipse és una curva plana i tancada, simètrica respecte a dos eixos perpendiculars entre sí:
El semieje major (el segment C-a de la figura), i
El semieje menor (el segment C-b de la figura).
Medixen la mitat de l'eix major i menor respectivament.
Els focs de la elipse són dos punts equidistants del centre, F1 i F2 en l'eix major. La suma de les distàncies des de qualsevol punt P de la elipse als dos focs és constant, i igual a la llongitut del diàmetro major (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).
Per comoditat denotarem per PQ la distància entre dos punts P i Q.
Si F1 i F2 són dos punts d'un pla, i 2a és una constant major que la distancia F1F2, un punt P pertanydrà a la elipse si es complix la relació:
L'eix major, 2a, és la major distància entre dos punts oposts de la elipse.
El resultat de la suma de les distàncies de qualsevol punt als focs és constant i equival a l'eix major.
L'eix menor 2b, és la menor distància entre dos punts oposts de la elipse.
Els eixos de la elipse són perpendicularés entre sí.
l'excentricitatε (épsilon) d'una elipse és la raó entre la seua semidistancia focal (llongitut del segment que partix del centre de la elipse i acaba en un dels seus focs), denominada per la lletra c, i la seua semieje major. El seu valor es troba entre zero i un.
L'excentricitat indica la forma d'una elipse; una elipse serà més redonejada quant més s'aproxime la seua excentricitat al valor zero.[5]
La designació tradicional de l'excentricitat és la lletra grega ε cridada épsilon.
(No es deu usar la lletra i per a designar-la, perque es reserva per a la base dels logaritmos naturals. Vore: número i).
En la figura de la dreta es mostren els dos radi vectores corresponents a cada punt P d'una elipse, els vectores que van dels focs F1 i F2 a P. Les llongituts dels segments corresponents a cada u són PF1 (blau) i PF2 (color roig), i en l'animació s'ilustra com varien per a diversos punts P de la elipse.
Com establix la definició inicial de la elipse com a lloc geomètric, per a tots els punts P de la elipse la suma de les llongituts de les seues dos ràdios vectores és una cantitat constant igual a la llongitut 2a de l'eix major:
PF1 + PF2 = 2a
En la elipse de l'image 2a val 10 i s'ilustra, per a un conjunt selecte de punts, cóm es complix la definició.
Cada foc F de la elipse està associat en una recta paralela al semieje menor cridada directriu(vore ilustració de la dreta). La distància de qualsevol punt P de la elipse fins al foc F és una fracció constant de la distància perpendicular d'eixe punt P a la directriu que resulta en l'igualtat:
La relació entre estes dos distàncies és l'excentricitat de la elipse. Esta propietat (que pot ser provada en la ferramenta esferes de Dandelin) pot ser presa com una atra definició alternativa de la elipse.
Una elipse és el lloc geomètric de tots els punts d'un pla per als quals es complix que el cocient entre les seues distàncies a un punt fix –que es denomina foc– i a una recta donada –cridada directriu– permaneix constant i és igual a l'excentricitat de la mateixa.
Ademés de la ben coneguda relació , també és cert que , també és útil la fòrmula .
Encara que en la figura solament es va dibuixar la directriu del foc dret, existix una atra directriu per al foc esquerre la distància del qual del centre O és -d, la qual ademés és paralela a la directriu anterior. Vore més alvance cóm es dibuixa la directriu.
La descripció correspon a les imàgens de la dreta.
Els diàmetros principals o eixos principals són els diàmetros màxim i mínim de la elipse, perpendicular entre sí i que passen pel centre. Tradicionalment són nomenats A-B el major i D-C el menor, encara que també s'utilisen atres nomenclatures, com A-A' el major i B-B' el menor.
El centre de la elipse se sol nomenar O (orige). En la circumferència els focs coincidixen en el centre.
Els focs se solen nomenar en la lletra F acompanyada d'algun mig de diferenciar-los, F1 - F2, o F′ - F″ .
El diàmetro major de la elipse se sol designar 2a, sent a el semieje major. El semieje menor es denomina b i el diàmetro menor 2b. La distància de cada foc al centre es denomina c.
Els segments que van de cada foc a un punt de la elipse es denominen ràdios vectores; la suma dels radis vectores de cada punt és una constant igual a 2a.
En l'image de la dreta veem algunes atres llínees i punts importants de la elipse.
La circumferència principal (c. p., en vert) té com a centre el de la elipse, i com a ràdio a. Es pot definir com el lloc geomètric de tots els peus de les tangentes a la elipse (com es veu en l'eixemple).
Les circumferències focals (c. f., en vert també) són les que tenen com a centre cada foc i com a radi 2a. Les circumferències focals i la principal complixen una homotecia de raó = 2 i centre en cada foc (el de la circumferència focal contrària).
La recta t en color cian és una tangente per un punt qualsevol. Al punt de tangència li'l sol nomenar T, T1, T2, etc. Els segments perpendiculars a les tangentes que passen pels focs, ací en roig, se solen prolongar fins a la circumferència focal del foc opost. No coincidixen en la normal a la tangente llevat en els extrems dels eixos principals.
Els punts a on es creuen les normals en les seues tangentes són els peus de la tangente. Eixe punt pertany sempre a la circumferència principal. Al doble de la distància de F al peu es troba el tall de la normal en la circumferència focal del foc opost. Està forma un círcul oblicuo que pren 2 punts en qualsevol part de la recta
Es denominen diàmetros conjugats a cada parell de diàmetros de la elipse que complix que un d'ells passa pel centre de totes les cordes paraleles a l'atre (vore davall el dibuix de l'esquerra).
Una atra definició és que són conjugats els diàmetros que els seus afins en una circumferència afí a la elipse són perpendiculars (dibuix de la dreta).
La definició de les rectes directrius està en una secció anterior (vore), i també la definició de la elipse a partir d'elles. És una expressió de la excentricitat de la elipse. El modo de trobar-les gràficament es mostra en l'image de la dreta.
Tracem una perpendicular al diàmetro major per un foc fins a la circumferència principal, dibuixem pel punt de cort una tangente a dita circumferència; en el lloc a on eixa tangente troba la prolongació del diàmetro major està la directriu, que és perpendicular al diàmetro major.
El método es basa en la definició més corrent de la elipse, com lloc geomètric dels punts que la seua sumixca de distàncies als focs és constant. Les taches o les chinchetas es coloquen en el lloc dels focs, i la cuerdo deu medir lo mateix que l'eix major (2a). En l'eixemple de la foto al llaç de corda se li deu afegir la distància dels focs. En la corda tensa es mou el llapis o material de dibuix rodejant per complet els dos focs.
Es denomina “del jardiner” a este método perque servix per a traçar en el sol elipses de gran tamany i precisió suficient, en mijos modests. Vore en la secció següent el modo de determinar els focs a partir dels eixos.
El modo de determinar els focs a partir dels eixos, o un eix a partir d'un atre i els focs, es basa en la definició. Dibuixats els dos eixos principals, es pren en el compàs la mida a de la mitat de l'eix major. Fent centre en un extrem de l'eix menor, el compàs creua per l'eix major en els focs.
Donat l'eix major en els focs, la mida a aplicada a cada foc nos dona arcs que es creuen en els extrems de l'eix menor.
Donat un eix menor i la distància dels focs, primer devem trobar la recta sobre la que està l'eix major, després dibuixar els focs a la distància donada, i des d'ells prendre la distància als extrems de l'eix menor, que és la mitat de l'eix major.
També denominat «per punts»; en este método dibuixem un número suficient de punts per mig del compàs. Com en el método tradicional vist abans usem els radis vectores i la propietat de que la suma dels radis vectores d'un punt és igual a la mida de l'eix major.
Daus dos eixos principals i determinats els focs, es prenen punts a l'encert sobre l'eix major entre el centre O i un dels focs. Generalment tres o quatre, i preferiblement prop del foc per comoditat del dibuix.
Prenem en el compàs la distància d'un extrem de l'eix major (A) a cada u dels punts de l'eix (1). Fent centre en cada foc tracem arcs en eixa mida. A continuació prenem el restant de la mida de l'eix major, des del punt (1) a l'atre extrem (B), i en eixa mida, fent centre de nou en els focs, creuem els arcs traçats abans. Les creus nos donen punts que pertanyen a la elipse.
Repetint l'operació tantes voltes com siga necessari obtenim punts de la elipse. Es completa el dibuix a mà o per mig de plantilles de curves.
Es pot dibuixar la elipse per mig d'una regla de medir, un joc d'esquadra i cartabón i un llapis.
Dibuixem els eixos principals en les seues mides, i determinem els focs. Prenem en la regla graduada, des del 0, la distància del centre a l'extrem de l'eix major, i despuix des de la marca de l'extrem de l'eix major, restem la mitat de l'eix menor (vore dibuix). Recolzant el 0 de la regla en qualsevol punt de l'eix menor i la diferència calculada en l'eix major, marquem la mida de l'eix major. Per a més claritat vore el dibuix.
Esta mateixa operació es pot fer en una targeta, i d'ahí el seu nom tradicional, fent marques en la vora en les mides donades.
Per a construir-la en regles i compàs marquem punts arbitraris en l'eix menor. Prenent en el compàs la mida de la mitat de la diferència entre l'eix major i el menor, fem centre en els punts i senyalem punts corresponents en l'eix major, a abdós costats. Dibuixem rectes des dels punts de l'eix menor als seus corresponents de l'eix major, prolongant-les. Sobre eixes rectes, en el compàs i des de cada punt de l'eix major, prenem la mida de la mitat de l'eix menor, marcant-la sobre la llínea, lo que nos dona els punts de la elipse.
Existix una màquina senzilla (un elipsógrafo) feta a pur de guies o raïls i barres i cridada compàs de Arquímedes, que es basa en este principi.
Partim de les rectes dels eixos principals. Es dibuixen dos circumferències concèntriques els diàmetros de les quals siguen els de la elipse. Per a trobar un punt tracem un radi qualsevol de la circumferència major anara dels eixos. Des de l'extrem del radi tracem una recta auxiliar, paralela a l'eix menor, cap a dins de la circumferència. Des del punt a on el radi talla la circumferència menor tracem una recta auxiliar paralela a l'eix major, que creue la llínea auxiliar que acabem de fer. El punt a on es tallen les dos auxiliars pertany a la elipse.
Repetint l'operació s'obtenen tots els punts que siguen necessaris; la elipse es completa a mà o en plantilles. Normalment per comoditat el dibuix se sistematisa; en lloc dels radis dibuixem diàmetros complets, els traços auxiliars verticals i horisontals es fan d'una volta per mig de paraleles als eixos.
En este método es pot considerar una de les circumferències com una doble transformació afí de l'atra, i els punts units pel mateix radi serien llavors afins. Una de les llínees auxiliars és la recta d'afinitat de dos punts (un en la circumferència, un atre en la elipse), mentres l'atra llínea auxiliar dona la reducció que correspon
També es pot considerar la relació de les dos circumferències una homologia en la que el centre d'homologia coincidix en el centre d'una circumferència, mentres la seua homòloga pertany a un pla paralel i també és concèntrica; estes homologia en rectes llímitimpròpies són homotecias.
A partir de dos diàmetros conjugats (A-B i C-D) es pot realisar la següent construcció, en la que fem afins els extrems del diàmetro conjugat menor (C i C', la llínea d'afinitat en blava) en el d'una circumferència auxiliar de diàmetro igual al major i perpendicular a ell (en roig), mentres el diàmetro major és l'eix d'afinitat. Cada punt de la circumferència és afí a un atre de la elipse.
Una construcció corrent per a dibuixar una elipse o un arc de elipse en un paralelogramo és fer-ho afí a un atre ortogonal en el que pugam traçar un arc de circumferència o una circumferència completa. Açò és útil en particular per a elipses proyectades en axonomètrica o una atra proyecció cilíndrica.
Com es veu en el dibuix fem que dos punts siguen afins, aixina com dos rectes que es tallen en una atra que farà d'eix d'afinitat. El restant consistix en anar transportant punts i rectes per mig d'atres rectes afins conegudes, normalment els costats dels paralelogramos o les seues diagonals (vore el dibuix).
En la gaveta de la dreta s'aprecia el principi que s'aplica. És important senyalar que en axonomètrica este procediment no equival en general a un abatimiento.
Construcció per fas proyectivos, o del paralelogramo. En la variant tradicional posem tants punts en l'eix menor com en els costats del rectàngul paralels a l'eix menor; unim estos des dels extrems de l'eix menor (C i D). Després passem rectes des d'eixos extrems fins als punts de l'eix major, fins a tallar la recta corresponent. Els punts de creuament pertanyen a la elipse.
En la segona image veem el mateix procediment aplicat dos diàmetros conjugats; el rectàngul es fa romboide, pero seguix funcionant la construcció com una proyecció afí de l'atra.
En una atra variant (vore image animada) dibuixem punts distàncies iguals, proporcionals costat a costat, en un rectàngul exterior tangente a la elipse, que té els costats paralels a l'eix menor de doble tamany. Anem unint en orde cada punt corresponent com es veu en l'image, des dels extrems l'eix major. Els punts que es tallen de les rectes corresponents pertanyen a la elipse.
La elipse és un cas particular d'hipotrocoide, a on R = 2r, sent R el radi de la circumferència directriu, i r el radi de la circumferència generatriz.
En una curva hipotrocoide, la circumferència que conté al punt generatriz, gira tangencialmente per l'interior de la circumferència directriu.
Determinada trasformación del pla (en deformar el pla cartesiano), es denomina anamorfosis. El terme anamorfosis prové de l'idioma grec i significa transformar.
En transformar una circumferència o una elipse per mig d'una afinitat o una homologia el resultat és una atra elipse (o una circumferència com a cas especial de elipse).
Archiu:Circulo 002 ttt.JPG Esta circumferència es transforma en una elipse per mig d'una anamorfosis, a on l'eix I s'ha contret o el X s'ha dilatat.
Archiu:ElipseAnamorfosis2.png Una atra modificació del pla contenidor; els eixos no es deformen ortogonalmente, sino que cada punt correspon a un atre segons una homologia de centre impropi (afinitat).
En el cas de la circumferència, si el pla cartesiano es dividix en una ret de quadrats, quan dit pla es «deforma» en sentit de l'eix X, l'I, o abdós, la circumferència es transforma en una elipse i els quadrats en rectànguls. Este procediment era molt utilisat per a realisar perspectives ilusionistes, anamórficas, cridades trampantojos.
a on a > 0 i b > 0 són els semiejes de la elipse, a on si a correspon a l'eix x (abscissa) i b a l'eix d'i (ordenada) la elipse és horisontal, si és al revés, llavors és vertical. L'orige O és el punt mig del segment [FF']. La distància entre els focs FF' es diu distància focal i val2c = 2εa, sent ε l'excentricitat i a el semieje major.
L'àngul de les equacions (501),(502) i (503) és la cridada anomalia verdadera del punt i el numerador de les mateixes és el cridat semi-latus rectum de la elipse, normalment denotat . El semi-latus rectum és la distància entre un foc i la mateixa elipse sobre una llínea perpendicular al semieje major que passa pel foc.
l'equació paramètrica d'una elipse en centre en i sent el semieje major i el menor, és:
en no és l'àngul θ del sistema de coordenades polars en orige en el centre de la elipse, sino l'anomalia excèntrica de la elipse. La relació entre i θ és
.
L'equació paramètrica d'una elipse en centre en en la que el paràmetro siga concordant en l'àngul polar respecte al centre desplaçat és:
en . El paràmetro és l'àngul d'un sistema polar l'orige del qual està centrat en .
No obstant, el matemàtic Ramanujan va donar una expressió senzilla que s'aproxima raonablement a la llongitut de la elipse, pero en grau menor que l'obtinguda per mig d'integrals elíptiques. Ramanujan, en la seua fòrmula, utilisa el “semieje major” (a) i el “semieje menor” (b) de la elipse. Expressió aproximada del perímetro d'una elipse:
La elipse és l'intersecció d'una superfície cònica en un pla, de tal manera que l'inclinament del pla no supere l'inclinament de la recta generatriz del con, conseguint aixina que l'intersecció siga una curva simple tancada. En un atre cas l'intersecció poguera ser un círcul, una hipérbola o una paràbola. És per això que a totes estes figures bidimensionales o curves planes li les crida seccions còniques o simplement còniques.
Es diu que dos figures són semblants quan es diferencien solament en el tamany (pero no en la forma), de tal manera que multiplicant totes les llongituts per un factor donat, es passa d'una figura a l'atra. Hi ha una teorema d'utilitat en Física[8] sobre l'intersecció d'una recta en dos elipses semblants i concèntriques.
Teorema: Si l'intersecció d'una recta en la corona compresa entre dos elipses semblants en el mateix centre i eixos corresponents colineales consta de dos segments, llavors estos tenen igual llongitut.
Explicació: La teorema és certa, per simetria, en el cas particular en que les elipses donades siguen dos circumferències concèntriques. Contraent o dilatant uniformemente una de les direccionar coordenades, per mig d'anamorfosis, podem transformar qualsevol cas en este cas particular, puix tots els segments en la mateixa pendent canvien la seua llongitut en la mateixa proporció. Per tant, ya que al final del procés els dos segments de la recta tenen la mateixa llongitut, la tenien ya al principi.
No deuen confondre's les elipses semblants en les elipses cofocales.
Archiu:Orbitas-Kepler-segunda-ley-01.svgDiagrama ilustrant la segona llei de Kepler, «en temps iguals una massa en òrbita agrana en la seua ràdio vector àrees iguals»
En mecànica celestclàssica, dos masses puntuals someses exclusivament a interacció gravitatoria descriuen una òrbita elíptica (o circular[9]) l'una entorn a l'atra quan l'òrbita és tancada. Un observador situat en qualsevol de les masses vorà que l'atra descriu una elipse un dels focs de la qual (o centre) està ocupat pel propi observador. L'excentricitat i atres paràmetros de la trayectòria depenen, per a dos masses donades, de les posicions i velocitats relatives. Els planetes i el Sol satisfan la condició de masses puntuals en gran precisió perque les seues dimensions són molt més menudes que les distàncies entre ells. La cinemàtica de l'òrbita es rig per les lleis de Kepler.
En la figura poden vore's dos intervals de temps distints d'una òrbita elíptica que complixen la segona llei de Kepler: "en temps iguals una massa en òrbita agrana en la seua ràdio vector àrees iguals". Quan el "planeta" està més prop de la "estrela" va més ràpit i quan està llunt va més despacio,[10] pero de tal manera que la seua velocitat areolar és la mateixa en abdós casos. Açò significa que les àrees dels sectors elíptics grocs són iguals i els seus arcs t0 t1 s'han recorregut en intervals de temps iguals, Δt = t1 - t0. La "estrela" està situada en P, un dels focs de la elipse.
En un got d'aigua en forma de cilindre recte, quan s'inclina, la superfície de l'aigua té forma de elipse. En algunes estacions de metro de planta elíptica la conversació d'algunes persones que estan prop dels focs de elipse de l'estació es poden escoltar en atres parts del recint com si els parlants estiguessin al costat. Açò ocorre perque les paraules es transmeten per a l'aire per mig d'ones i apleguen a algun lloc. Hi ha una propietat de la elipse que diu que una llínea secante a una elipse rebota en un dels punts de tall contra ella i pansa per un dels seus dos focs i això és lo que passa en les estacions de metro.cita requerida
↑ Una curva simple és una curva que no es talla a sí mateixa. Per eixemple el 8 és una curva plana que no és simple.
↑Si l'àngul de pla intersecció, respecte de l'eix de revolució, és menor que el comprés entre la generatriz i l'eix de revolució, l'intersecció serà una hipérbola. Serà una paràbola si és paralel al citat eix, i una circumferència si és perpendicular dit eix.
↑Ellipsoidal Figures of Equilibrium de S. Chandrasekhar, 1969, Yale University.
↑Segons Platón i Aristóteles les òrbites dels planetes eren circulares. Claudio Ptolomeo en el seu Teoria geocéntrica va observar els epiciclos i Kepler va vore que els planetes descrivien elipses entorn al Sol.
Ellipses en Wikimedia Commons.