Esferes de Dandelin
En geometria, a les curves formades per l'intersecció (no degenerada) d'un pla en un con se'ls crida seccions còniques. Sempre existixen una o dos esferes interiors al con que són simultàneament tangentes al pla i al con, estes són les denominades esferes de Dandelin. El punt en el que cada una d'estes esferes toca al pla és un foc de la secció cònica. A voltes també són cridades esferes focals.[1]
Les esferes de Dandelin varen ser descobertes en 1822.[1] Varen ser nomenades aixina en honor al matemàtic belga Germinal Pierre Dandelin, encara que a Adolphe Quetelet a voltes se li dona també crèdit parcial.[2] Les esferes de Dandelin poden ser usades per a provar a lo manco dos importants teoremes. Abdós teoremes eren ya coneguts uns 15 o 16 sigles abans de Dandelin, pero ell va fer més senzill el modo de provar-los.[3]
La primera teorema és que una secció cònica tancada (és dir, una elipse) és el lloc geomètric dels punts tals que la suma de les distàncies a dos punts fixos (els focs) és constant. Açò ya era conegut pels antics matemàtics grecs com Apolonio de Perga, pero les esferes de Dandelin faciliten la prova de dit teorema.[3]
La segona teorema és que per a qualsevol de les seccions còniques, la distància d'un punt fix (el foc) és proporcional a la distància des d'una llínea fixa (directriu), la constant de proporcionalitat és l'anomenada excentricitat. Una volta més, esta teorema ya era conegut pels antics grecs, com Pappus d'Aleixandria, pero les esferes de Dandelin novament faciliten la prova.
Prova de que la curva té suma constant de distàncies als focs
[editar | editar còdic]L'ilustració mostra a un pla π intersecándose en un con sòlit d'una manera tal que es forma una superfície (la de color blau clar) el perímetro del qual és una curva tancada. Mostra ademés les dos esferes de Dandelin, la G1 per damunt de la superfície del pla π, i la G2 per baix de la mateixa. L'intersecció de cada esfera en el con és un círcul k1 i k2 (abdós de color blanc).
- Cada esfera toca al pla π de la superfície d'intersecció en un punt de tangència, i anem a cridar a estos dos punts F1 i F2.
- Siga P un punt qualsevol de la curva perimetral tancada de la superfície d'intersecció.
- Hipòtesis: La curva perimetral tancada (pertanyent al pla π) de la superfície d'intersecció és una elipse.
- Prova: La suma de les distancies d(F1, P) + d(F2, P) es manté constant per a qualsevol posició que adopte el punt P a lo llarc de la curva.
- Una llínea (generatriz) que passa per P i pel vèrtiç S del con es interseca en els círculs k1 i k2 en els punts P1 and P2.
- Si es mou P a lo llarc de la elipse, també es mouran P1 i P2 a lo llarc dels dos círculs.
- La distància de F1 a P és la mateixa que la distància de P1 a P, per ser PF1 i PP1 llínees que es intersecan en P i ademés ser tangentes a una mateixa esfera G1.
- De la mateixa manera, la distància de F2 a P és la mateixa que la distància de P2 a P, per ser PF2 i PP2 llínees que es intersecan en P i ademés ser tangentes a una mateixa esfera G2.
- En conseqüència, la suma de les distancies d(F1, P) + d(F2, P) deu ser constant a mida que P es mou a lo llarc de la curva perque la suma de les distancies d(P, P1) + d(P, P2) també es manté constant.
- Açò es deriva del fet de que P es troba en la recta de P1 a P2, i la distància de P1 a P2 es manté constant.
- Si (com ocorre a sovint) es pren la definició de la elipse com el lloc geomètric dels punts P tal que d(F1, P) + d(F2, P) = 2a (sent 2a una constant igual a l'eix major), llavors l'argument anterior demostra que l'intersecció del pla π en el con és en realitat una elipse.
El resultat d'esta demostració no és nou, ya era conegut des de l'época d'Apolonio de Perga[3] (ca. 262 AD – ca. 190 AD), lo que si resulta nou és la senzillea en la que demostra lo mateix utilisant un atre método, la construcció geomètrica de les esferes de Dandelin. Est és un cas clàssic d'aplicació de la navaixa de Ockham en la matemàtica.
El fet de que l'intersecció del pla π en el con siga simètrica respecte de la mediatriz de la llínea a través de F1 i F2 pot a voltes resultar un tant contra-intuïtiu, pero esta construcció geomètrica (esferes de Dandelin o focals) junt en els arguments ya exposts ho deixa molt clar.
Adaptant la demostració ya exposta per a la elipse es conseguix fer-ho funcionar com a demostracions vàlides també per a hipérboles i paràboles com les interseccions d'un pla π en un con.
Una atra adaptació que funciona (encara que solament per a elipse i círcul) és concebre a estes dos curves com l'intersecció d'un pla π i un cilindre circular recte, en este cas abdós esferes de Dandelin serien sempre iguals i tindrien el radi del cilindre seccionat.
Prova de la propietat foc-directriu
[editar | editar còdic]
La recta directriu d'una secció cònica es pot trobar utilisant la construcció de Dandelin. Cada esfera de Dandelin es interseca en el con en un círcul, cada u d'estos círculs k1 i k2 definix el seu propi pla (πk1 i πk2), estos plans són paralels entre sí i perpendicular a l'eix del con. Les interseccions d'estos dos plans en el pla π definiran en general dos llínees Df1 i Df2 (roges en la figura), paraleles entre sí, perpendicular a l'eix del con i externes al con, estes llínees són conegudes com les directrius de les seccions cònica. La paràbola és un cas particular perque solament pot tindre una esfera de Dandelin, i per lo tant tindrà una sola directriu, la circumferència és l'atre cas particular ya que el pla π d'intersecció en el con és paralel als círculs k1 i k2 i en conseqüència no es produïx intersecció alguna, lo que implica que la circumferència no té recta directriu.
Usant de les esferes Dandelin, es pot demostrar que qualsevol secció cònica és el lloc geomètric dels punts per als que la distància d'un punt cridat foc és proporcional a la distància de la directriu.[4] Els antics matemàtics grecs com Pappus d'Aleixandria ya eren conscients d'esta propietat, pero novament les esferes de Dandelin permeten facilitar molt la prova.[3]
Ni Dandelin ni Quetelet varen utilisar les esferes focals per a demostrar la propietat foc-directriu. El primer en fer-ho va ser aparentment Morton Pierce en 1829.[1][5] La propietat de foc-directriu és essencial per a demostrar que els objectes astronòmics es mouen a lo llarc de seccions còniques al voltant del Sol.[6]
Vore també
[editar | editar còdic]Notes
[editar | editar còdic]- ↑ 1,0 1,1 1,2 Taylor, Charles. An Introduction to the Ancient and Modern Geometry of Conics, page 196 ("focal spheres"), pages 204-205 (history of discovery) (Deighton, Bell and co., 1881).
- ↑ Kendig, Keith. Conics, page 86 (proof for ellipse) and page 141 (for hyperbola) (Cambridge University Press, 2005).
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 Heath, Thomas. A History of Greek Mathematics, page 119 (focus-directrix property), page 542 (sum of distances to foci property) (Clarendon Press, 1921).
- ↑ Brannan, A. et al. Geometry, page 19 (Cambridge University Press, 1999).
- ↑ Morton, Pierce. Geometry, Plane, Solid, and Spherical, in Six Books, page 228 (Baldwin and Cradock, 1830).
- ↑ Hyman, Andrew. "A Simple Cartesian Treatment of Planetary Motion", European Journal of Physics, Vol. 14, page 145 (1993).
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Esferas de Dandelin» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.