Homotecia

Homotecia

Una homotecia és una transformació geomètrica que pot entendre's com un canvie d'escala, en relació en un punt fix, denominat centre. Formalment, és un cas particular d'homologia, en eix impropi i centre el de la pròpia homologia.

Aixina, donat un punt fix O d'un pla i un número real k distint de zero, es diu homotecia a la transformació en la que a tot punt P del pla li correspon un atre punt P’, alineat en O i en P, de manera que OP’/OP = k. Esta transformació es diu homotecia de centre O i raó k, i les figures que es corresponen, figures homotéticas.

Definició

Siga B un espai vectorial sobre un cos $𝕂$. Siga X un element (vist com un punt) de E. La homotecía de centre C i de raó k, denotada $h_{C,k}$ envia un punt M de l'espai sobre el punt M' tal que:

L'anterior pugues també ser una transformació afí de la forma:

L'anterior relació pot escriure's vectorialment en el pla com:

A on: $M^{\prime }=(m{\text{'}}_x,m{\text{'}}_y)$, $M=(m_x,m_y)$ i $C=(c_x,c_y)$.
En tres o més dimensions la fòrmula anterior es generalisa trivialment.

La homotecia és una transformació geomètrica d'una figura, a la qual se li realisa una transformació llineal i una translació, i per tant conserva:

1. el alineamiento: les imàgens de punts alineats són alineats: (A,B,C) i (A', B', C') en la figura
2. el centre d'un segment, i més generalment el baricentre: l'image del baricentre és el baricentre de les imàgens. En la figura, B és el centre de [A;C] i per lo tant B' és el de [A';C']
3. L'image de llínea és una atra llínea paralela a l'original.
4. el paralelisme: dos llínees paraleles tenen imàgens paraleles. En la figura (B'I') // (C'D') perque (BE) //(CD).
   
5. Si k ≠ 1, el centre de la homotecia és l'únic punt fix (k = 1 correspon a l'identitat d'I: tots els punts són fixos).
6. k = - 1 correspon a una simetria de centre C.
7. Si k ≠ 0, $h_{C,k}$ admet com trasformación recíproca $h_{C,1/k}$ (quan k = 0, no és biyectiva).
8. En compondre dos homotecias del mateix centre s'obté una atra homotecia en este centre, la raó del qual és el producte de les raons de les homotecias inicials: $h_{C,k}$ o $h_{C,k^{\prime }}$ = $h_{C,k\cdot k^{\prime }}$.
9. En compondre homotecias de centres distints, de raons k i k', s'obté una homotecia de raó k·k' quan k·k'≠1, i una translació si k·k'=1. El conjunt de les homotecias (en k≠0) i les translacions formen un grup.

Quan K és major que zero és k major Quan el cos d'escalares són els Reals, es complix que:

1. totes les llongituts són multiplicades per |k|, el valor absolut de la raó.
2. el cocient de llongituts és conservat: A'C'/B'I' = AC/BE en la figura
3. els ànguls orientats són conservats, en particular els ànguls rectes. És obvi en la figura.

Més encara:

1. k = - 1 correspon a la simetria de centre C que és la rotació al voltant de C d'àngul π radianes (180°).
   
2. |k| > 1 implica una ampliació de la figura.
   
3. |k| < 1 implica una reducció.
   
4. k < 0, la homotecia es pot expressar com la composició d'una simetria en una homotecia de raó |k|, abdós d'igual centre. Que la homotecia original.

Homotecias en el pla real

Homotecia

En esta secció, els escalares seran número real.

Una homotecia generalisada en el pla és una transformació del pla en sí mateixa en a on una recta i la seua homòloga són paraleles. D'esta definició, se seguix fàcilment que les homotecias conserven ànguls, és dir són transformacions conformes del pla, que el conjunt de homotecias formen un 'grup' i que les translacions són casos particulars de les homotecias.

Considerem la homotecia en la qual la recta OA es transforma en la recta O'B, sent O' l'homòlec d'O i B l'homòlec de A. Necessàriament, les rectes OO' i AB són invariantes en esta homotecia i el punt H1, centre de la homotecia, és invariante. En esta homotecia la circumferència de centre O i ràdio OA es transforma en la circumferència de centre O' i de radi O'B i la raó de la homotecia és la raó (positiva) dels segments O'B i OA.

Si pel contrari, el punt As transforma en B' llavors la recta AB' és invariante i és el punt H2 el centre de homotecia. En este cas, la raó de la homotecia és negativa.

Vore també

• Punt de fuga.

Referències i el seu punt

Bibliografia

• Escrits d'Isaac Newton