Domini d'integritat

Un domini d'integritat, domini íntegre, anell íntegre o domini sancer és un anell conmutativo $(R,+,\cdot )$ que carix d'elements divisores de zero per l'esquerra i d'elements divisores de zero per la dreta (en la qual cosa carix d'elements divisores de zero).

Un subanillo d'un domini d'integritat és també un domini d'integritat.

En la lliteratura "antiga" s'exigix (a voltes es sobreentiende) que l'anell és conmutativo i unitari, perque s'ignorava l'existència d'anells no conmutativos que no tingueren divisores de zero (per l'esquerra o per la dreta). Els dominis de Maltsev són un tipo d'anells no conmutativos que carixen d'elements divisores de zero (ni per l'esquerra ni per la dreta). Respecte a dominis íntegres no unitaris, el conjunt $2\mathbb{Z}$ és un subanillo no unitari del domini d'integritat $\mathbb{Z}$. En este artícul, un domini íntegre serà sempre un anell conmutativo i unitari (ya que aixina s'entén en la major part de la lliteratura, senyalant-se els casos en que no s'adopta estos criteris).

Tot cos és domini d'integritat conmutativo i unitari. Més en general, tot anell de divisió és domini d'integritat unitari.

Eixemples

1. $(\mathbb{Z},+,\cdot )$
2. $(\mathbb{Q},+,\cdot )$ $(ℝ,+,\cdot )$ $(ℂ,+,\cdot )$
3. $(\mathbb{Z}[\mathrm{i}],+,\cdot )$ a on $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]=\{r+s\mathrm{i}:r,s\in \mathbb{Z}\}$ és un domini sancer cridat anell dels sancers de Gauss.
4. $(H,+,\cdot )$ sent els seus elements els número real $x=m+n\sqrt{5}$ en $m,n$ número entero
5. $(J,+,\cdot )$ sent els seus elements els número complejo $x=m+n\mathrm{i}\sqrt{5}$ en $m,n$ número entero, i, unitat imaginària.
6. $(K,+,\cdot )$ sent els seus elements els número real $x=m+n\sqrt[3]{5}+p\sqrt[3]{25}$ en $m,n,p$ número entero.

Cos de cocients d'un domini íntegre

Una de les propietats més interessants d'un domini d'integritat és la de que existix «el menor cos que ho conté». De forma més precisa:

Siga $R$ un domini íntegre (conmutativo i unitari). Siga $R^{*}$ = $R\setminus \{0\}$. Establim en el conjunt $R\times R^{*}$ la relació $ℛ$ definida per $(a,b)ℛ(c,d)$ quan i només quan $a\cdot d=b\cdot c$. És senzill comprovar que $ℛ$ és una relació d'equivalència. Denotarem per $Q(R)$ al conjunt cocient $\frac{R\times R^{*}}{ℛ}$, i per $\frac{a}{b}$ a la classe d'equivalència del parell ordenat $(a,b)$.

Operacions suma i producte en el cos de cocients

Suma

Es definix la suma $+:Q(R)\times Q(R)⟶Q(R)$ de la següent manera:

$+(\frac{a}{b},\frac{c}{d}):=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{(a\cdot d)+(b\cdot c)}{b\cdot d}$,

qualssevol que siguen $\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in Q(R)$. És senzill comprovar que és operació interna, associativa, conmutativa, que té element neutre $\frac{0}{1}$ i que tot element $\frac{a}{b}\in Q(R)$ té per element simètric (element opost) a $-\frac{a}{b}$. Aixina, $(Q(R),+)$ és un grup abeliano.

Producte

Es definix la multiplicació $\cdot :(Q(R)\setminus \{0\})\times (Q(R)\setminus \{0\})⟶Q(R)$ de la següent manera:

$\cdot (\frac{a}{b},\frac{c}{d}):=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$,

qualssevol que siguen $\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in Q(R)\setminus \{0\}$. És senzill comprovar que és operació interna, associativa, conmutativa, que té element neutre $\frac{1}{1}$ i que tot element $\frac{a}{b}\in Q(R)$ té per element simètric (element invers) a $\frac{b}{a}$. Aixina, $(Q(R)\setminus \{0\},\cdot )$ és un grup abeliano.

Distributividad

Es demostra sense dificultat que $\cdot$ és distributiva respecte de +. Açò fa que $(Q(R),+,\cdot )$ quede dotat d'estructura de cos.

Bibliografia

Birkhoff- Mc Lane. Algebra Moderna ( en un capítul inicial)

Vore també

• Domini (àlgebra)