Anell de divisió

En àlgebra, un anell de divisió o cos no conmutativo és un anell unitari en el que tot element distint de zero és invertible i per tant una unitat. És dir, si R és un anell unitari i O(R) és la seua grup d'unitats, $U(R)=R\setminus \{0\}$.

Tot cos és un anell de divisió conmutativo. És per això que els anells de divisió reben també el nom de cossos no conmutativos, ya que esta és l'única propietat que els diferència. Per la teorema de Wedderburn, tot anell de divisió finito és un cos finito.

Eixemples

L'eixemple més senzill d'un anell de divisió en el que no es complix la propietat conmutativa del producte és l'anell dels cuaterniones d'Hamilton: el conjunt d'elements de la forma

${\alpha }_0+{\alpha }_{1}i+{\alpha }_{2}j+{\alpha }_{3}k$

a on ${\alpha }_0,{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\in R$, i els elements i, j i k s'operen segons les següents regles:

$i^2=j^2=k^2=-1;ij=-ji=k;jk=-kj=i;ki=-ik=j$

Propietats

El centre C d'un anell de divisió A és un cos. El centre de A conté als elements que commuten en qualsevol element de A, i forma un subanillo que conté elements distints de 0, ya que expressament conté a l'element unitat. Els anells de divisió es poden classificar segons la seua dimensió sobre el seu centre $[A:C]$, quan la dimensió és finita es diu que A és una extensió finita de C. Tot cos és òbviament unidimensional.

En l'eixemple de l'anell dels cuaterniones reals, el centre està format per tots els elements de la forma ${\alpha }_0+0i+0j+0k$, i és per tant isomorfo al cos dels número real. L'anell dels cuaterniones és quatre-dimensional respecte del seu centre.

Vore també

• Teoria d'anells.
• Lema de Schur.