Axioma

Archiu:Avocado Seedling.jpg

A voltes es compara als axioma en llavors, perque d'elles sorgix tota la teoria de la qual són axioma.^{cita requerida}

Axioma és una proposició tan clara i evident que s'admet sense demostració. Aplicat en matemàtiques i atres ciències, és cada u dels principis indemostrables sobre els que, per mig d'un raonament deductivo, es construïx una teoria.

En la metodologia d'investigació un axioma és una proposició assumida dins d'un cos teòric sobre la qual descansen atres raonaments i proposicions deduïdes d'eixes premisses.

Introduït originalment pels matemàtics grecs del periodo helenístico, el axioma es considerava com una proposició «evident» i que s'acceptava sense requerir demostració prèvia. Posteriorment, en un sistema hipotètic-deductivo, un axioma era tota proposició no deduïda d'unes atres, sino que constituïx una regla general de pensament llògic (per oposició als postulats). Aixina en llògica i matemàtiques, un axioma és solament una premissa que s'assumix, en independència de que siga o no evident, i que s'usa per a demostrar atres proposicions. Actualment es busca qué conseqüències llògiques comporten un conjunt de axioma, i de fet en alguns casos s'opta per introduir un axioma o be el seu contrari, veent que cap de les dos sembla una proposició evident. Aixina, si tradicionalment els axioma s'elegien d'entre «afirmacions evidents», en l'objectiu de deduir el restant de proposicions, en la moderna teoria de models un axioma és solament una presunció, i en modo algun es considera que la veritat o falsetat dels axioma depenga del sentit intuïtiu que se li puga atribuir, o es recorre a que puguen ser autoevidentes.

En llògica un postulat és una proposició no necessàriament evident: una fòrmula ben formada (plantejada) d'un llenguage formal utilisada en una deducció per a aplegar a una conclusió.

Els axioma no llògics també poden denominar-se «postulats» o «suposicions». En la majoria dels casos, un axioma no llògic és simplement una expressió llògica formal utilisada en la deducció per a construir una teoria matemàtica, i pot o no ser evident per sí mateixa (per eixemple, el postulat paralel en geometria euclidiana). Axiomatizar un sistema de coneiximent és mostrar que les seues afirmacions poden derivar-se d'un conjunt chicotet i ben entés de sentències (els axioma), i típicament hi ha moltes maneres de axiomatizar un domini matemàtic dau.

Qualsevol axioma és una afirmació que servix com a punt de partida a partir del com es deriven llògicament atres afirmacions. Si té sentit (i, en cas afirmatiu, quin significa) que un axioma siga «verdader» és un tema de debat en la filosofia de les matemàtiques.

Etimologia

La paraula axioma prové del sustantiu grec ἀξίωμα, que significa «lo que sembla just» o, que se li considera evident, sense necessitat de demostració. El terme ve del verp grec ἀξιόειν (axioein), que significa «valorar», que a la seua volta procedix de ἄξιος (axios): «valiós» o «digne». Entre els filòsofs grecs antics, un axioma era lo que semblava verdader sense necessitat de prova alguna.

El significat raïl de la paraula postulat és exigir; per eixemple, Euclides exigix que un estiga d'acort en que algunes coses es poden fer (per eixemple, dos punts qualssevol es poden unir per una llínea recta).

Els antics geómetras mantenien certa distinció entre axioma i postulats. En comentar els llibres de Euclides, Proclus senyala que «Gemino sostenia que este [4.º] postulat no devia classificar-se com a postulat sino com a axioma, ya que no afirma, com els tres primers postulats, la possibilitat d'alguna construcció, sino que expressa una propietat essencial». Boecio va traduir 'postulat' com petitio i va cridar als axioma notiones communes pero en manuscrits posteriors no sempre es va mantindre estrictament este us.

Llegat helènic

Un dels grans fruts dels matemàtics grecs va ser la reducció de asertos matemàtics i teoremes, en forma racional i coherent, a una chicoteta cantitat de postulats o axioma molt simples, els ben coneguts axioma de la geometria, o be les regles de l'aritmètica, que presidixen relacions entre uns pocs objectes bàsics, tals com els número entero i els punts geomètrics. Els objectes matemàtics es varen generar com a abstracció o idealisacions de la realitat física. Els axioma, ya siga acceptats com a «evidents» des d'un punt de vista filosòfic o be merament com abrumadoramente plausibles, s'accepten sense demostració; sobre ells s'ha erigit la cristalizada estructura de les matemàtiques.

Els primers grecs

El método llògic-deductivo pel que les conclusions (nous coneiximents) es deriven de les premisses (coneiximents antics) per mig de l'aplicació d'arguments sòlits (silogismes, regles d'inferència) va ser desenrollat pels antics grecs, i s'ha convertit en el principi bàsic de les matemàtiques modernes. Tautologia excloses, res pot deduir-se si res se supon. Els axioma i postulats són, per tant, els supòsits bàsics que subyacer a un determinat cos de coneiximent deductivo. S'accepten sense demostració. Totes les demés afirmacions (teoremes, en el cas de les matemàtiques) deuen demostrar-se en ajuda d'estos supòsits bàsics. No obstant, l'interpretació del coneiximent matemàtic ha canviat de l'antiguetat a la modernitat i, en conseqüència, els térmens axioma i postulat tenen un significat llaugerament distint per al matemàtic actual del que tenien para Aristóteles i Euclides.

Els antics grecs consideraven la geometria com una de les diverses ciències i equiparaven les teoremes geomètriques als fets científics. Com a tal, varen desenrollar i varen utilisar el método llògic-deductivo com a mig per a evitar l'error i per a estructurar i comunicar el coneiximent. L'obra Segons analítics d'Aristóteles és una exposició definitiva del punt de vista clàssic.

Un «axioma», en la terminologia clàssica, es referia a una suposició evident comuna a moltes branques de la ciència. Un bon eixemple seria l'afirmació de que Quan es pren una cantitat igual d'iguals, resulta una cantitat igual.

En la base de les diverses ciències yacer certes hipòtesis adicionals que s'acceptaven sense proves. Tals hipòtesis es denominaven postulats. Mentres que els axioma eren comuns a moltes ciències, els postulats de cada ciència en particular eren diferents. La seua validea devia establir-se per mig de l'experiència del món real. Aristóteles advertix que el contingut d'una ciència no es pot comunicar en èxit si l'alumne té dubtes sobre la veritat dels postulats.

L'enfocament clàssic està ben ilustrat pels Elements de Euclides, a on es dona una llista de postulats (fets geomètrics de sentit comú extrets de la nostra experiència), seguida d'una llista de «nocions comunes» (afirmacions molt bàsiques i evidents).

Postulats

1. És possible traçar una llínea recta des de qualsevol punt a qualsevol atre punt.
2. És possible prolongar un segment de recta contínuament en abdós direccions.
3. És possible descriure una circumferència en qualsevol centre i qualsevol ràdio.
4. És cert que tots els ànguls rectes són iguals entre sí.
5. («Postulat de les paraleles») És cert que, si una recta que cau sobre dos rectes fa que els ànguls interiors d'un mateix costat siguen menors que dos ànguls rectes, les dos rectes, si es produïxen indefinidament, es intersecan en aquell costat en el que estan els ànguls menors que els dos ànguls rectes.

Nocions comunes

1. Les coses que són iguals a la mateixa cosa també són iguals entre sí.
2. Si se sumen iguals a iguals, els sancers són iguals.
3. Si iguals es resten d'iguals, els restants són iguals.
4. Les coses que coincidixen són iguals entre sí.
5. El tot és major que la part.

Llògica

Artícul principal → Llògica proposicional.

La llògica de l'axioma és partir d'una premissa calificada de verdadera per sí mateixa (l'axioma), i d'esta inferir atres proposicions per mig del método deductivo, de la qual cosa s'obtenen conclusions coherents en l'axioma. A partir dels axioma, i de regles d'inferència, han de deduir-se totes les demés proposicions d'una teoria donada.

Axioma llògic

Els axioma són certes fòrmules en un llenguage formal que són universalment vàlides, açò és fòrmules satisfetes per qualsevol estructura i per qualsevol funció variable. En térmens coloquials són enunciats verdaders en qualsevol món possible, baix qualsevol interpretació possible, en qualsevol assignació de valors. Comunament es pren com a axioma un conjunt mínim de tautologias suficients per a provar una teoria.

Eixemple 1

En càlcul proposicional és comú prendre com a axioma llògics totes les fòrmules següents:

1. $\varphi \to (\psi \to \varphi )$
2. $(\varphi \to (\psi \to \chi ))\to ((\varphi \to \psi )\to (\varphi \to \chi ))$
3. $(\mathrm{\neg }\varphi \to \mathrm{\neg }\psi )\to (\psi \to \varphi )$,

a on $\varphi$, $\psi$, i $\chi$ poden ser qualsevol fòrmula en el llenguage.

Cada u d'estos patrons és un esquema de axioma, una regla per a generar un número infinit de axioma. Per eixemple si p, q, i r són variables proposicionals, llavors $p\to (q\to p)$ i $(p\to \mathrm{\neg }q)\to (r\to (p\to \mathrm{\neg }q))$ són instàncies de l'esquema 1 i per lo tant són axioma.

Pot provar-se que, en solament estos tres esquemes de axioma i la regla d'inferència modus ponens, totes les tautologia del càlcul proposicional són demostradors. També es pot provar que cap parell d'estos esquemes és suficient per a demostrar totes les tautologia utilisant modus ponens. Este conjunt d'esquemes axiomàtics també s'utilisa en el càlcul de predicats, pero són necessaris més axioma llògics.

Eixemple 2

Siga $𝔏$ un llenguage de primer orde. Per a cada variable $x$ la fòrmula $x=x$ és universalment vàlida.

Açò significa que, per a qualsevol símbol variable $x$, la fòrmula $x=x$ pot considerar-se axioma. Per a no incórrer en vaguetat o en una série infinita de «nocions primitives», primer es necessita una idea de lo que es desija expressar per mig de $x=x$, o definir un us purament formal i sintàctic del símbol $=$. De fet succeïx açò en Llògica matemàtica.

Un atre eixemple interessant és el de «instanciación universal» , per mig del quantificador universal. Per a una fòrmula $\varphi$ en un llenguage de primer orde $𝔏$, una variable $x$ i un terme $t$ sustituible per $x$ en $\varphi$, la fòrmula $\mathrm{\forall }x.\varphi \to {\varphi }_t^x$ és vàlida universalment.

En térmens informals este eixemple permet afirmar que si se sap que certa propietat $P$ es complix per a tota $x$ i que si $t$ és un objecte particular en l'estructura, s'estaria en capacitat d'afirmar $P(t)$.

De nou s'afirma que la fòrmula $\mathrm{\forall }x.\varphi \to {\varphi }_t^x$ és vàlida. Açò és, es deu ser capaç d'aportar una prova d'este fet, o -millor expressat- una metaprueba. En efecte, estos eixemples són metateoremas de la teoria de llògica matemàtica, ya que la referència és merament al concepte demostrativo en sí. Ademés es pot estendre a una generalisació existencial utilisant el quantificador existencial.

Esquema axiomàtic. Per a una fòrmula $\varphi$ en un llenguage de primer orde $𝔏$, una variable $x$ i un terme $t$ sustituible per $x$ en $\varphi$, la ${\varphi }_t^x\to \mathrm{\exists }x.\varphi$ és universalment vàlida.

Matemàtiques

Archiu:Avocado Seedling.jpg

Papir de Oxirrinco que mostra un fragment dels Elements de Euclides.

En matemàtiques per a que una afirmació siga considerada vàlida deu o ben estar continguda dins d'una base d'afirmacions de partida, els denominats axioma, o deu poder demostrar-se a partir dels mateixos. Els axioma són per tant els pilars fonamentals de tota branca de les matemàtiques, i a partir d'ells, per mig de les demostracions matemàtiques, es deduïx la veracitat de qualsevol afirmació.

Els axioma seran, per tant, afirmacions que s'accepten com a verdaderes i la veracitat de les quals no pot ser demostrada a partir d'atres axioma. Un axioma no es caracterisa per si resulta una afirmació trivial o intuïtiva, sent l'axioma d'elecció un eixemple d'un axioma que no resulta trivial.

L'atre tipo d'afirmacions a les que es fa referència són els teoremas. Estes afirmacions deuen ser demostrades usant els axioma o atres teoremes ya demostrades. Una conseqüència immediata d'una teorema es dirà corolari.

Moltes parts de la matemàtica estan axiomatizadas, lo que significa que existix un conjunt de axioma dels quals és possible deduir totes les veritats d'eixa part de la matemàtica. Per eixemple, dels axioma de Peano és possible deduir totes les veritats de l'aritmètica (i per extensió, d'atres parts de la matemàtica).

El formalisme sorgit com a conseqüència de la crisis fundacional de principis de el XX va donar lloc al cridat programa de Hilbert. Dit programa advocava per la formalisació de diferents branques de les matemàtiques per mig d'un conjunt de axioma explícits, en general formulats en llenguages formals de primer orde. Això significa que junt en els axioma llògics ordinaris d'una teoria de primer orde s'introduïen símbols extralógicos (para constants, funcions i predicats) i certs axioma matemàtics que usaven dits signes que restringien el seu comportament. Cada teoria matemàtica necessita un conjunt diferent de signes extralógicos, per eixemple l'aritmètica de primer orde requerix la funció «següent» i una constant que designe al primer dels número natural (a partir d'eixos dos signes nous una constant i una funció, són definibles la suma, la multiplicació, la relació d'orde «menor o igual» i totes les nocions necessàries per a l'aritmètica).

El programa de Hilbert va fer concebre la possibilitat d'unes matemàtiques en que la pròpia consistència de axioma triats fora verificable de manera relativament simple. No obstant, la teorema de incompletitud de Gödel i atres resultats varen mostrar la inviabilidad del programa de Hilbert per als fins en els que va ser propost.

Llimitacions dels sistemes axiomàtics

A mitan de el XX, Kurt Gödel va demostrar els seus famosos teoremes de incompletitud. Estes teoremes mostraven que, encara que un sistema de axioma recursivos estigueren ben definits i foren consistents, els sistemes axiomàtics en eixos sistemes de axioma adolixen de llimitacions greus. És important notar ací la restricció de que el sistema de axioma siga recursivamente enumerable, és dir, que el conjunt de axioma forme un conjunt recursivamente enumerable donada una codificació o gödelización dels mateixos. Eixa condició tècnica es requerix ya que si el conjunt de axioma no és recursivo llavors la teoria ni tan sols serà decidible.

En eixa restricció Gödel va demostrar, que si la teoria admet un modele de certa complexitat sempre hi ha una proposició P verdadera pero no demostradora. Gödel prova que en qualsevol sistema formal que incloga aritmètica pot generar-se una proposició P per mig de la qual s'afirme que este enunciat no és demostrador.

Vore també

• Sistema axiomàtic
• Axioma de Zermelo-Fraenkel
• Postulat
• Principi
• Dogma
• Sistema formal
• Regla d'inferència
• Conjectura
• Teorema
• Axioma de Peano
• Teoremes de incompletitud de Gödel
• Axioma de Hilbert

Bibliografia

• (1997) El món i els seus dimonis, Barcelona: Planeta. ISBN 84-08-02043-9.
• Mendelson, Elliot (1987). Introduction to mathematical logic. Belmont, Califòrnia: Wadsworth & Brooks. ISBN 0-534-06624-0
• John Cook Wilson (1889), On an Evolutionist Theory of Axioms: inaugural lecture delivered October 15, 1889 (1st ed.), Oxford.

Enllaços externs

Archiu:Wiktionary-logo-v2.svg Axioma en el Viccionari. Archiu:Wikiquote-logo.svg Axioma en Viquidites. Plantilla:RAE

• Axioma, en el Diccionari soviètic de filosofia
• Axioma, en Diccionari enciclopèdic hispanoamericà