Conjectura

Per conjectura s'entén el juí que es forma (moral, ètic o matemàtic) de les coses o successos per indicis o observacions.^[1]

En matemàtiques, el concepte de conjectura es referix a una afirmació o una proposició que se supon certa, pero que no ha segut demostrada ni refutada fins a la data.^[2]^[3]^[4]^[5] Una volta que es demostra la veracitat d'una conjectura, esta pansa a ser considerada un teorema de ple dret i pot utilisar-se com a tal per a construir atres demostracions formals. Algunes conjectura, com la hipòtesis de Riemann (encara una conjectura) o l'última teorema de Fermat (una conjectura fins que Andrew Wiles ho va demostrar en 1995), han donat forma a gran part de l'història matemàtica com a noves àrees de les matemàtiques es desenrollen en la finalitat de demostralos.

Conjectura en matemàtiques

Fins fa poc la conjectura més coneguda era el cridat última teorema de Fermat, mal cridat aixina perque, encara que Pierre de Fermat va afirmar haver trobat una demostració, no s'ha pogut trobar cap entre els seus escrits despuix de la seua mort. Esta conjectura va burlar a la comunitat matemàtica durant més de tres sigles fins que Andrew Wiles la va demostrar al fi en 1993 i la va elevar al ranc de teorema.

Estes són algunes de les conjectura més famoses:

No hi ha número perfecto impar.
Conjectura de Goldbach
Conjectura dels número primo bessons
Conjectura de Collatz
Hipòtesis de Riemann
P ≠ NP
Conjectura de Poincaré (demostrada per Grigori Perelmán)
Conjectura abc

Última teorema de Fermat

En teoria de números, l'última teorema de Fermat (a voltes cridat conjectura de Fermat, especialment en texts més antics) establix que no hi ha tres número entero positius $a$ , $b$ , i $c$ que puguen satisfer l'equació $a^{n} + b^{n} = c^{n}$ per a qualsevol valor sancer de $n$ major que dos.

Esta teorema va ser conjeturado per primera volta per Pierre de Fermat en 1637 en el marge d'una còpia de Arithmetica, a on va afirmar que tenia una prova que era massa gran per a cabre en el marge.^[6] La primera prova exitosa va ser llançada en 1994 per Andrew Wiles, i publicada formalment en 1995, despuix de 358 anys d'esforç per part dels matemàtics. El problema no resolt va estimular el desenroll de la teoria algebraica de números en el XIX i la demostració del teorema de modularidad en el XX. És un de les teoremes més notables de la història de les matemàtiques, i abans de la seua demostració estava en el Llibre Guinness dels Récorts Mundials com un de "els problemes matemàtics més difícils".^[7]

Teorema dels quatre colors

AP

En matemàtiques, el teorema dels quatre colors, o la teorema del mapa de quatre colors, establix que donada qualsevol separació d'un pla en regions contigües, per a produir una figura anomenada mapa, no es requerixen més de quatre colors per a colorear les regions del mapa, per lo que no hi ha dos regions adjacents que tinguen el mateix color. Dos regions es denominen adjacents si compartixen un llímit comú que no és un cantó, a on els cantons són els punts compartits per tres o més regions.^[8] Per eixemple, en el mapa dels Estats Units d'Amèrica, Utah i Arizona són adjacents, pero Utah i Nou Mèxic, que solament compartixen un punt que també pertany a Arizona i Colorat, no ho són.

Möbius va mencionar el problema en les seues conferències ya en 1840.^[9] La conjectura es va propondre per primera volta el 23 d'octubre de 1852^[10] quan Francis Guthrie, mentres intentava colorear el mapa de les regions d'Anglaterra, va notar que solament quatre colors diferents eren necessari. La teorema dels cinc colors, que té una breu demostració elemental, establix que cinc colors són suficients per a colorear un mapa i va ser provat a finals de el XIX;^[11] no obstant, demostrar que quatre colors són suficients va resultar ser significativament més difícil. Han aparegut vàries demostracions falses i contraeixemples falsos des de la primera declaració de la teorema dels quatre colors en 1852.

La teorema dels quatre colors va ser finalment provat en 1976 per Kenneth Appel i Wolfgang Haken. Va ser la primera teorema important que es va demostrar utilisant una computadora. L'enfocament de Appel i Haken va començar mostrant que hi ha un conjunt particular de 1936 mapes, cada u dels quals no pot ser part d'un contraeixemple de menor tamany per a la teorema dels quatre colors (és dir, si aparegueren, es podria fer un contraeixemple més menut). Appel i Haken varen utilisar un programa informàtic de propòsit especial per a confirmar que cada u d'estos mapes tenia esta propietat. Ademés, qualsevol mapa que puga ser un contraeixemple deu tindre una part que se semble a un d'estos 1.936 mapes. Mostrant açò en centenars de pàgines d'anàlisis a mà, Appel i Haken varen concloure que no existix un contraeixemple més chicotet perque qualsevol deu contindre, pero no contindre, un d'estos 1.936 mapes. Esta contradicció significa que no hi ha contraeixemples en absolut i que, per lo tant, la teorema és verdadera. Inicialment, la demostració assistida per computadora no era factible per a que un humà la verificara a mà.^[12] No obstant, la demostració ha guanyat des de llavors una acceptació més àmplia, encara que encara queden dubtes.^[13]

Conjectura de Poincaré

En matemàtiques, la conjectura de Poincaré és una teorema sobre la caracterisació de la 3-esfera, que és la hiperesfera que delimita la bola unitària en l'espai de quatre dimensions. La conjectura establix que:

L'esfera cuatridimensional, també cridada 3-esfera o hiperesfera, és l'única varietat compacta cuatridimensional en la que tot llaç o círcul tancat (1-esfera) es pot deformar (transformar) en un punt. Este últim enunciat és equivalent a dir que solament hi ha una varietat tancada i simplement conexa de dimensió 3: l'esfera cuatridimensional.^[14]

Una forma equivalent de la conjectura implica una forma d'equivalència més burda que el homeomorfisme cridat equivalència d'homotopía: si una varietat 3 és homotopía equivalent a l'esfera 3, llavors és necessàriament homeomórfica per a ella.

Conjeturado originalment per Henri Poincaré, la teorema es referix a un espai que localment s'assembla a un espai tridimensional ordinari, pero està conectat, és de tamany finito i carix de qualsevol llímit (una varietat tridimensional tancada). La conjectura de Poincaré afirma que si tal espai té la propietat adicional de que cada bucle en l'espai pot ajustar-se contínuament a un punt, llavors és necessàriament una esfera tridimensional. Un resultat anàlec es coneix des de fa algun temps en dimensions superiors.

Despuix de casi un sigle d'esforç per part dels matemàtics, Grigori Perelman va presentar una demostració de la conjectura en tres artículs disponibles en 2002 i 2003 en arXiv. La demostració està basada en el programa de Richard S. Hamilton per a utilisar el fluix de Ricci per a intentar resoldre el problema. Més vesprada, Hamilton va introduir una modificació del fluix de Ricci estàndar, cridat fluix de Ricci en cirugia per a extirpar sistemàticament regions singulars a mida que es desenrollen, de forma controlada, pero no va poder provar que este método "convergia" en tres dimensions.^[15] Perelman va completar esta part de la demostració. Varis equips de matemàtics han verificat que la demostració de Perelman és correcta.

La conjectura de Poincaré, abans de ser provada, era una de les qüestions obertes més importants en topología.

Problema P versus NP

El problema P versus NP és un important problema sense resoldre en informàtica. Informalmente, es pregunta si cada problema la solució del qual pot ser ràpidament verificada per un ordenador també pot ser ràpidament resolt per un ordenador; és àmpliament conjeturado que la resposta és no. Essencialment, es va mencionar per primera volta en una carta de 1956 escrita per Kurt Gödel a John von Neumann. Gödel preguntava si un determinat problema NP-complet podia resoldre's en temps quadràtic o llineal.^[16] L'enunciat precís del problema P=NP va ser introduït en 1971 per Stephen Cook en el seu artícul seminal «La complexitat dels procediments de demostració de teoremes»^[17] i és considerat per molts com el problema obert més important en el camp.^[18] És un dels sèt Problemes del mileni seleccionats pel Institut Clay de Matemàtiques per a otorgar un premi d'1.000.000 de dólars a la primera solució correcta.

Resolució de conjectura

Demostració

Les matemàtiques formals es basen en veritats demostradores. En matemàtiques, qualsevol número de casos que recolzen una conjectura quantificada universalment, sense importar cuán gran siga, és insuficient per a establir la veracitat de la conjectura, ya que un sol contraeixemple podria derribar la conjectura immediatament. Les revistes de matemàtiques a voltes publiquen els resultats menors dels equips d'investigació que han estés la busca d'un contraeixemple més allà de lo que s'havia fet anteriorment. Per eixemple, la conjectura de Collatz, que es referix a si certes seqüències d'número entero terminen o no, ha segut provada per a tots els número entero fins a 1.2 × 10 ¹² (més d'un billó). No obstant, el fet de no trobar un contraeixemple despuix d'una busca extensa no constituïx una prova de que la conjectura siga verdadera, perque la conjectura podria ser falsa pero en un contraeixemple mínim molt gran.

No obstant, els matemàtics a sovint consideren que una conjectura està fortament respalada per evidència, encara que encara no haja segut provada. Eixa evidència pot ser de varis tipos, com la verificació de les seues conseqüències o fortes interconexions en resultats coneguts.^[19]

Una conjectura es considera provada solament quan s'ha demostrat que és llògicament impossible que siga falsa. Existixen varis métodos per a fer-ho; vore métodos de demostració matemàtica para més detalls.

Un método de demostració, aplicable quan només hi ha un número finito de casos que podrien donar lloc a contraeixemples, es coneix com " força bruta ": en este enfocament, es consideren tots els casos possibles i es demostra que no donen contraeixemples. En algunes ocasions, el número de casos és prou gran, en el cas del qual una prova de força bruta pot requerir en la pràctica l'us d'un algoritme informàtic per a verificar tots els casos. Per eixemple, inicialment es va posar en dubte la validea de les proves de força bruta de 1976 i 1997 del teorema dels quatre colors per computadora, pero finalment es va confirmar en 2005 per mig d'un software de demostració de teoremes.

Quan una conjectura ha segut demostrava, ya no és una conjectura sino una teorema. Moltes teoremes importants varen ser alguna volta conjectura, com la teorema de geometrización (que va resoldre la conjectura de Poincaré), l'última teorema de Fermat i uns atres.

Refutació

Les conjectura refutadas per mig de contraeixemples a voltes es denominen conjectura falses (cf. la conjectura de Pólya i la conjectura de la suma de poders de Euler ). En el cas d'este últim, el primer contraeixemple trobat per al cas n = 4 va involucrar números en millons, encara que posteriorment s'ha trobat que el contraeixemple mínim és en realitat més menut.

Conjectura independents No totes les conjectura terminen sent verdaderes o falses. La hipòtesis del continu , que tracta de determinar la relació de cardinalidad de certs conjunts infinits , va anar finalment demostrat ser independent del conjunt generalment acceptada de axioma Zermelo-Fraenkel de la teoria de conjunts. Per lo tant, és possible adoptar este enunciat, o la seua negació, com un nou axioma de manera consistent (tant com el postulat paralel de Euclides pot prendre's com a verdader o fals en un sistema axiomàtic per a la geometria).

En este cas, si una prova usa esta declaració, els investigadors a sovint buscaran una nova prova que no requerixca l'hipòtesis (de la mateixa manera que és desijable que les declaracions en geometria euclidiana es proven usant solament els axioma de geometria neutra, és dir, sense el postulat paralel). L'única excepció important a açò en la pràctica és l'axioma d'elecció , ya que la majoria dels investigadors generalment no es preocupen si un resultat ho requerix, a menos que estiguen estudiant este axioma en particular.

Demostracions condicionals

A voltes, una conjectura es diu hipòtesis quan s'usa en freqüència i repetidament com a suposició en les demostracions d'atres resultats.^[2] Per eixemple, la hipòtesis de Riemann és una conjectura de la teoria de números que, entre atres coses, fa prediccions sobre la distribució d'número primo. Pocs teòrics dels números dubten de que l'hipòtesis de Riemann siga certa. De fet, en previsió de la seua eventual prova, alguns inclús han procedit a desenrollar més proves que depenen de la veritat d'esta conjectura. Estes es denominen demostracions condicionals: les conjectura assumides apareixen en les hipòtesis de la teorema, pel moment.

Estes "demostracions", no obstant, es desmoronarían si resultara que l'hipòtesis és falsa, per lo que existix un interés considerable en verificar la veracitat o falsetat de conjectura d'este tipo.

Vore també

Referències

↑ Diccionario de la lengua española
↑ ^2,0 ^2,1 «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Conjecture» (en en-us).
↑ «Definition of CONJECTURE» (en en).
↑ Oxford Dictionary of English, 2010 edició.
↑ Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics., p. 93. ISBN 9780195115772.
↑ (1988, 1948).«Number Theory and Its History».Dover.
203–204.
↑ (1995) «Science and Technology», The Guinness Book of World Records, Guinness Publishing Ltd..
↑ Georges Gonthier. “Formal Proof—The Four-Color Theorem”. Notices of the AMS 55 (11): 1382–1393. “From this paper: Definitions: A planar map is a set of pairwise disjoint subsets of the plane, called regions. A simple map is one whose regions llaure connected open sets. Two regions of a map llaure adjacent if their respective closures have a common point that is not a corner of the map. A point is a corner of a map if and only if it belongs to the closures of at least three regions. Theorem: The regions of any simple planar map ca be colored with only four colors, in such a way that any two adjacent regions have different colors.”
↑ W. W. Rouse Ball (1960) The Four Color Theorem, in Mathematical Recreations and Essays, Macmillan, New York, pp 222-232.
↑ Donald MacKenzie, Mechanizing Proof: Computing, Risk, and Trust (MIT Press, 2004) p103
↑ Heawood, P. J.. “Map-Colour Theorems”. Quarterly Journal of Mathematics 24: 332–338.
↑ Swart, E. R.. “The Philosophical Implications of the Four-Color Problem”. The American Mathematical Monthly 87 (9): 697–702. doi:10.2307/2321855. ISSN 0002-9890.
↑ Wilson, Robin (2014). Four colors suffice : how the map problem was solved, Revised color edició, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, pp. 216–222. OCLC 847985591. ISBN 9780691158228.
↑ Lozano Imízcoz, María Teresa. «La conjectura de poincare. Cent anys d'investigació». butlleti-digital. Archivat des d'el original, el 19 d'abril de 2014. Consultat el 3 de decembre de 2012.
↑ Hamilton, Richard S. (1997). “Four-manifolds with positive isotropic curvature”. Communications in Analysis and Geometry 5 (1): 1–92. doi:10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1.
↑ Juris Hartmanis 1989, Gödel, von Neumann, and the P = NP problem, Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101-107
↑ Cook, Stephen (1971). «La complexitat dels procediments de demostració de teoremes», Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing, pp. 151-158. doi:10.1145/800157.805047. ISBN 9781450374644.
↑ Llance Fortnow, The status of the P' versus NP problem, Communications of the ACM 52 (2009), no. 9, pp. 78-86. doi:10.1145/1562164.1562186
↑ “Logical probability and the strength of mathematical conjectures” (1 de agost 2016). Mathematical Intelligencer 38 (3): 14-19. doi:10.1007/s00283-015-9612-3.

Bibliografia adicional

Conjectura i refutació : el desenroll del coneiximent científic, 2. rev. i ampliada edició (en espanyol), Barcelona: Paidós. ISBN 84-7509-146-6.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Conjetura» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Diccionario de la lengua española

[:0-2] 2,0 ^2,1 «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Conjecture» (en en-us).

[3] «Definition of CONJECTURE» (en en).

[4] Oxford Dictionary of English, 2010 edició.

[5] Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics., p. 93. ISBN 9780195115772.

[6] (1988, 1948).«Number Theory and Its History».Dover.
203–204.

[7] (1995) «Science and Technology», The Guinness Book of World Records, Guinness Publishing Ltd..

[8] Georges Gonthier. “Formal Proof—The Four-Color Theorem”. Notices of the AMS 55 (11): 1382–1393. “From this paper: Definitions: A planar map is a set of pairwise disjoint subsets of the plane, called regions. A simple map is one whose regions llaure connected open sets. Two regions of a map llaure adjacent if their respective closures have a common point that is not a corner of the map. A point is a corner of a map if and only if it belongs to the closures of at least three regions. Theorem: The regions of any simple planar map ca be colored with only four colors, in such a way that any two adjacent regions have different colors.”

[rouse_ball_1960-9] W. W. Rouse Ball (1960) The Four Color Theorem, in Mathematical Recreations and Essays, Macmillan, New York, pp 222-232.

[MacKenzie-10] Donald MacKenzie, Mechanizing Proof: Computing, Risk, and Trust (MIT Press, 2004) p103

[11] Heawood, P. J.. “Map-Colour Theorems”. Quarterly Journal of Mathematics 24: 332–338.

[12] Swart, E. R.. “The Philosophical Implications of the Four-Color Problem”. The American Mathematical Monthly 87 (9): 697–702. doi:10.2307/2321855. ISSN 0002-9890.

[13] Wilson, Robin (2014). Four colors suffice : how the map problem was solved, Revised color edició, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, pp. 216–222. OCLC 847985591. ISBN 9780691158228.

[14] Lozano Imízcoz, María Teresa. «La conjectura de poincare. Cent anys d'investigació». butlleti-digital. Archivat des d'el original, el 19 d'abril de 2014. Consultat el 3 de decembre de 2012.

[15] Hamilton, Richard S. (1997). “Four-manifolds with positive isotropic curvature”. Communications in Analysis and Geometry 5 (1): 1–92. doi:10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1.

[16] Juris Hartmanis 1989, Gödel, von Neumann, and the P = NP problem, Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101-107

[17] Cook, Stephen (1971). «La complexitat dels procediments de demostració de teoremes», Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing, pp. 151-158. doi:10.1145/800157.805047. ISBN 9781450374644.

[18] Llance Fortnow, The status of the P' versus NP problem, Communications of the ACM 52 (2009), no. 9, pp. 78-86. doi:10.1145/1562164.1562186

[19] “Logical probability and the strength of mathematical conjectures” (1 de agost 2016). Mathematical Intelligencer 38 (3): 14-19. doi:10.1007/s00283-015-9612-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]