Hipòtesis de Riemann

Archiu:VignetteRiemannHypothesis.svg

Hipòtesis de Riemann

En matemàtiques pures, la hipòtesis de Riemann, formulada per primera volta per Bernhard Riemann en 1859, és una conjectura sobre la distribució dels zeros de la funció zeta de Riemann ζ(s).

L'hipòtesis de Riemann, per la seua relació en la distribució dels número primo en el conjunt dels naturals, és un dels problemes oberts més importants en la matemàtica contemporànea. l'Institut Clay de Matemàtiques ha oferit un premi d'un milló de dólars a la primera persona que desenrolle una demostració correcta de la conjectura.

L'hipòtesis de Riemann i algunes de les seues generalisacions, junt en la conjectura de Goldbach i la conjectura dels primers bessons, constituïxen l'octau problema de Hilbert en la llista de vintitrés problemes sense resoldre de David Hilbert; també és un dels Problemes del mileni del Institut Clay de Matemàtiques, que oferix 1 milló de dólars a qui resolga qualsevol d'ells. El nom també s'utilisa per a alguns anàlecs estretament relacionats, com la hipòtesis de Riemann per a curves sobre camps finitos.

Definició

La funció zeta de Riemann ζ(s) està definida en els número complejo com la suma d'una série infinita de la següent forma:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots$

i és convergent quan la part real és estrictament major que 1. Leonhard Euler (que va morir 43 anys ans que Riemann naixquera) va demostrar que esta série equival al producte de Euler:

$\zeta (s)=\prod _{p\text{ primo}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot \frac{1}{1-3^{-s}}\cdot \frac{1}{1-5^{-s}}\cdot \frac{1}{1-7^{-s}}\cdots \frac{1}{1-p^{-s}}\cdots$

a on el producte infinit s'estén sobre el conjunt de tots els número primo p, i de nou convergix per als complexos s la part real de la qual siga major que 1. La convergència del producte de Euler mostra que ζ(s) no té zeros en esta regió, ya que cap dels factors té zeros. L'hipòtesis de Riemann tracta dels zeros anara de la regió de convergència de la suma de la série descrita anteriorment i del producte de Euler associat. Per a preservar el sentit d'esta hipòtesis és necessari prolongar analíticamente la funció zeta de Riemann ζ(s) de manera que tinga sentit per a qualsevol valor de s. En particular es pot expressar per mig de la següent equació funcional:

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\mathrm{sen}\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$

vàlida per a tots els número complejo llevat para s = 1, a on la funció té un pol. Com es dia anteriorment, l'hipòtesis de Riemann tracta dels zeros d'esta versió de la funció zeta estesa analíticament. Esta posseïx certs valors, cridats zeros "trivials", per als quals la funció zeta s'anula. De l'equació es pot vore que s = −2, s = −4, s = −6, ... (tots els sancers parells negatius) són zeros trivials. Aixina mateix, existixen atres valors complexos s, que complixen la condició 0 < Re(s) < 1, per als quals la funció zeta també s'anula, són els cridats zeros "no trivials". La conjectura de Riemann fa referència a estos zeros no trivials afirmant:

La part real de tot zero no trivial de la funció zeta de Riemann és 1/2

Per lo tant els zeros no trivials deurien trobar-se en la llínea crítica s = 1/2 + i t, a on t és un número real i i és l'unitat imaginària. La funció zeta de Riemann, a lo llarc de la llínea crítica ha segut estudiada en térmens de la funció Z, que els seus zeros corresponen als zeros de la funció zeta sobre la llínea crítica.

Llavors es pot definir ζ(s) para tots els número complejo restants no nuls s (Re(s) ≤ 0 i s ≠ 0) aplicant esta equació fòra de la franja, i deixant que ζ(s) siga igual al costat dret de l'equació sempre que s tinga part real no positiva (i s ≠ 0).

Si s és un sancer parell negatiu llavors ζ(s) = 0 perque el factor sen(πs/2) desapareix; estos són els zeros trivials de la funció zeta. (Si s és un sancer parell positiu este argument no s'aplica perque els zeros de la funció sen són anulats pels pols de la funció gamma, ya que pren arguments sancers negatius).

El valor ζ(0) = -1/2 no ve determinat per l'equació funcional, sino que és el valor llímit de ζ(s) a mida que s s'aproxima a zero. L'equació funcional també implica que la funció zeta no té zeros en part real negativa a banda dels zeros trivials, per lo que tots els zeros no trivials es troben en la franja crítica a on s té part real entre 0 i 1.

• 
  Funció zeta de Riemann a lo llarc de la llínea crítica en Re(s) = 1/2. Els valors reals es mostren en l'eix horisontal i els valors imaginaris en l'eix vertical. Re(ζ(1/2 + it)), Im(ζ(1/2 + it)) es representa en t entre -30 i 30.
• 
  Animació que mostra en 3D la franja crítica de la funció zeta de Riemann (blava, a on s té part real entre 0 i 1), la llínea crítica (roja, per a part real de s igual a 0,5) i els zeros (creuament entre roig i taronja): [x,i,z] = [Re(ζ(r + it)), Im(ζ(r + it)), t] en 0.1 ≤ r ≤ 0.9 i 1 ≤ t ≤ 51
• 
  Part real (roig) i part imaginària (blava) de la funció zeta de Riemann ζ(s) a lo llarc de la recta crítica en el pla complex en part real Re(s) = 1/2. Els primers no trivials zeros, a on ζ(s) és igual a zero, ocorren a on abdós curves toquen l'eix horisontal x, per a número complejo en parts imaginàries Im(s) iguals a ±14,135, ±21,022 i ±25,011.

Història

"...és ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, dona er für donen nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien".

("…és molt provable que totes les raïls siguen reals. Clar que un desijaria tindre una demostració rigorosa; Pel moment, despuix d'alguns intents fugaços en va, he pospost la seua busca, ya que sembla ser prescindible per a conseguir l'objectiu immediat de la meua investigació".)

Afirmació de Riemann sobre l'hipòtesis de Riemann, de Plantilla:Harv. (Ací parla d'una versió de la funció zeta de Riemann, modificada per a que les seues raïls (zeros) siguen reals en lloc d'estar en la llínea crítica.)

Riemann va mencionar la conjectura en 1859, que seria cridada l'hipòtesis de Riemann, en la seua tesis de doctorat Sobre els número primo menors que una magnitut donada, en desenrollar una fòrmula explícita per a calcular la cantitat de cosins menors que x. ya que no era essencial per al propòsit central del seu artícul, no va intentar donar una demostració. Ell sabia que els zeros no trivials de la funció zeta estan distribuïts entorn a la recta s = 1/2 + i t, i sabia també que tots els zeros no trivials devien estar en el ranc 0 ≤ Re(s) ≤ 1.

En 1896, Hadamard i de la Vallée-Poussin varen provar independentment, que cap zero podia estar sobre la recta Re(s) = 1. Junt en les atres propietats dels zeros no trivials demostrades per Riemann, açò va mostrar que tots els zeros no trivials deuen estar en l'interior de la banda crítica 0 < Re(s) < 1. Est va ser un pas fonamental per a les primeres demostracions del teorema dels número primo.

En 1900, Hilbert va incloure l'hipòtesis de Riemann en la seua famosa llista dels 23 problemes no resolts —és part del problema 8 en la llista de Hilbert junt en la conjectura de Goldbach—. Quan se li va preguntar qué faria si es despertara havent dormit cinccents anys, remarcablemente Hilbert va contestar que la seua primera pregunta seria si l'hipòtesis de Riemann havia segut provada. L'hipòtesis de Riemann és l'únic problema dels que va propondre Hilbert que està en el premi del mileni de l'Institut Clay de Matemàtiques.

En 1914, Hardy va demostrar que existix un número infinit de zeros sobre la recta crítica Re(s) = 1/2. No obstant, encara era possible que un número infinit (i possiblement la majoria) dels zeros no trivials es trobaren en algun atre lloc sobre la banda crítica. En treballs posteriors de Hardy i Littlewood en 1921 i de Selberg en 1942 es varen donar estimacions per a la densitat promig dels zeros sobre la llínea crítica.

La major part de la comunitat matemàtica pensa que la conjectura és correcta, encara que uns atres grans matemàtics com J. I. Littlewood i Atle Selberg s'han mostrat escèptics, si ben l'escepticisme de Selberg va ser disminuint des dels seus dies de joventut. En un artícul en 1989 va sugerir que un anàlec deu ser cert per a una classe molt més àmplia de funcions (la classe de Selberg). Treballs recents s'han concentrat en el càlcul explícit de la localisació de grans cantitats de zeros (en l'esperança de trobar algun contraeixemple) i en l'establiment de cotes superiors en la proporció de zeros que puguen estar llunt de la llínea crítica (en l'esperança de reduir-les a zero).

En setembre de 2018, Michael Atiyah –laureado en la Medalla Fields (1966), entre atres guardons– va presentar una fallanca prova per contradicció de l'hipòtesis de Riemann en el Heidelberg Laureate Forum 2018 (Alemània).

La motivació original de Riemann per a estudiar la funció zeta i les seues zeros va ser la seua aparició en la seua fòrmula explícita per a la número de cosins π(x) menor o igual que un número donat x, que va publicar en el seu artícul de 1859 «Sobre el número de cosins menors que una magnitut donada». La seua fòrmula es va donar en térmens de la funció relacionada

$\Pi (x)=\pi (x)+\frac{1}{2}\pi (x^{1/2})+\frac{1}{3}\pi (x^{1/3})+\frac{1}{4}\pi (x^{1/4})+\frac{1}{5}\pi (x^{1/5})+\frac{1}{6}\pi (x^{1/6})+\cdots$

que conta els cosins i potències de cosins fins a x, contant una potència de primer pⁿ com a Plantilla:Frac. El número de cosins es pot recuperar a partir d'esta funció utilisant la fòrmula d'inversió de Möbius,

$\begin{array}{cc}\pi (x)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}\Pi (x^{1/n})\\ & =\Pi (x)-\frac{1}{2}\Pi (x^{1/2})-\frac{1}{3}\Pi (x^{1/3})-\frac{1}{5}\Pi (x^{1/5})+\frac{1}{6}\Pi (x^{1/6})-\cdots ,\end{array}$

a on μ és la funció de Möbius. La fòrmula de Riemann és llavors

${\Pi }_0(x)=\mathrm{li}(x)-\sum _{\rho }\mathrm{li}(x^{\rho })-\log 2+\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{t(t^2-1)\log t}$

a on la suma és sobre els zeros no trivials de la funció zeta i a on Π₀ és una versió llaugerament modificada de Π que substituïx el seu valor en els seus punts de discontinuïtat per la mija dels seus llímits superior i inferior:

${\Pi }_0(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\Pi (x-\epsilon )+\Pi (x+\epsilon )}{2}.$

El sumatorio de la fòrmula de Riemann no és absolutament convergent, pero pot evaluar-se prenent els zeros ρ per orde del valor absolut de la seua part imaginària. La funció li que apareix en el primer terme és la funció integral logarítmica (no compensada) donada pel valor principal de Cauchy de l'integral divergent

$\mathrm{li}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\log t}.$

Els térmens li(x^ρ) que involucren els zeros de la funció zeta necessiten cert conte en la seua definició ya que li té punts de ramificació en 0 i 1, i es definixen (per a x > 1) per continuació analítica en la variable complexa ρ en la regió Re(ρ) > 0, és dir, deuen considerar-se com Ei(ρ log x). Els atres térmens també corresponen a zeros: el terme dominant li(x) prové del pol en s = 1, considerat com un zero de multiplicitat -1, i els restants térmens menuts provenen dels zeros trivials. Per a algunes gràfiques de les sumes dels primers térmens d'esta série vejau Riesel y Göhl (1970) o Zagier (1977).

Esta fòrmula diu que els zeros de la funció zeta de Riemann controlen l'oscilaciós dels número primo al voltant de les seues posicions «esperades». Riemann sabia que els zeros no trivials de la funció zeta es distribuïen simétricamente al voltant de la recta s = 1/2 + it, i sabia que tots els seus zeros no trivials devien trobar-se en l'interval 0 ≤ Re(s) ≤ 1. Va comprovar que alguns dels zeros estaven en la recta crítica en part real 1/2 i va sugerir que tots lo estaven; esta és l'hipòtesis de Riemann.

El resultat ha captat l'imaginació de la majoria dels matemàtics per ser tan inesperat, ya que conecta dos àrees aparentment no relacionades de les matemàtiques; a saber, la teoria de números, que és l'estudi de lo discret, i l'anàlisis complex, que s'ocupa dels processos continus. Plantilla:Harv

L'hipòtesis de Riemann i els número primo

La formulació tradicional de l'hipòtesis de Riemann enfosquix una miqueta l'importància real de la conjectura. La funció zeta de Riemann té una profunda conexió en els número primo i Helge von Koch va demostrar en 1901 que l'hipòtesis de Riemann és equivalent al considerable refinament de la teorema dels número primo: Existix una constant C > 0 tal que

$|\pi (x)-\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln (t)}|\le C\sqrt{x}\ln (x),$

per a tot x suficientment gran, a on π(x) és la funció contadora de cosins i ln(x) és el logaritmo natural de x. Lowell Schoenfeld va mostrar que es pot prendre C = 1/(8 π) para tot x ≥ 2657.

Els zeros de la funció zeta i els números primers satisfan certes propietats de dualitat, conegudes com a fòrmules explícites, que mostren, usant anàlisis de Fourier, que els zeros de la funció zeta de Riemann poden interpretar-se com a freqüències harmòniques en la distribució dels número primo.

Més encara, si la conjectura de Hilbert-Polya és certa, llavors qualsevol operador que nos done les parts imaginàries dels zeros com els seus valors propis deu satisfer:

$\sum _n{e}^{-\beta E_n}=\mathrm{tr}[e^{-\beta \hat{H}}]=e^{u/2}-e^{-u/2}\frac{d{\psi }_0}{du}-\frac{e^{u/2}}{e^{3u}-e^u},$

a on tr és la traça de l'operador (sumixca dels seus valors propis), $\beta$ és un número imaginario i $\psi (x)$ és la funció de Chebyshov que nos suma el log(x) sobre els cosins i les seues potències sanceres, dita fòrmula és una conclusió de la 'fòrmula explícita' de V. Mangoldt. Varis operadors proposts per C. Perelman, J. Macheca i J. García, semblen corroborar els resultats de la conjectura de Hilbert sobre l'operador, reproduint la part imaginària dels zeros.

Càlcul numèric

• En l'any 2004 Xavier Gourdon va verificar la conjectura de Riemann numèricament a lo llarc dels primers dèu trillons de zeros no trivials de la funció. No obstant, açò no és estrictament una demostració, numèricament és més interessant trobar un contraeixemple, és dir, un valor de zero que no complixca en que la seua part real és 1/2, puix açò tiraria pels sols la validea de la conjectura.

• Fins al 2005, l'intent més sério per a explorar els zeros de la funció-ζ, és el ZetaGrid, un proyecte de computació distribuïda en la capacitat de verificar billons de zeros per dia. El proyecte va acabar en decembre de 2005, i cap dels zeros va poder ser identificat com a contraeixemple de l'hipòtesis de Riemann.

Repercussions de l'hipòtesis de Riemann

L'hipòtesis de Riemann afirma que tots els atres zeros no trivials de la funció $\zeta$ (zeta) es troben en la recta vertical que passa per $\frac{1}{2}$, és dir, són número complejo de la forma $\frac{1}{2}+it$, $t\in ℝ$.

Esta funció té una profunda conexió en els número primo, a on els zeros de la funció zeta i els número primo satisfan certes propietats de dualitat, conegudes com a fòrmules explícites, que mostren, usant anàlisis de Fourier, que estos zeros poden interpretar-se com a freqüències harmòniques en la distribució dels número primo.

Coneixent la relació dels número primo en la funció $\zeta$, les repercussions que va tindre esta funció són algunes d'estes:

• <o>Estimadors precisos del terme del restant de la teorema dels número primo:</o>

Hege von Koch va demostrar que l'hipòtesis de Riemann és equivalent a la teorema dels número primo en el qual s'enuncia que:

Existix una constant C tal que:

$C\ge 0:|\pi (x)-\mathrm{Li}(x)|\le C\sqrt{x}\ln x\mathrm{\forall }x\ge 2$ sent $\pi (x)=\mathrm{card}\{p\le x:p\text{ primo}\}$ la funció contadora de cosins i $\mathrm{Li}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\ln (t)}dt$

• <o>Comparació de $\pi (x)$ i Li(x):</o>

Per a valors de x menuts s'havia demostrat $\pi (x)\le \mathrm{Li}(x)$, lo que va dur a conjeturar que Li(x) era una cota superior estricta de <o>$\pi (x)$</o> i per tant l'equació $\pi (x)-\mathrm{Li}(x)$ no tenia solucions reals.

No obstant, en 1914 Littlewood va amprar l'hipòtesis de Riemann per a mostrar que la desigualtat $\pi (x)\le \mathrm{Li}(x)$ s'invertix per a valors suficientment grans de x.

En 1933 Skewes va usar l'hipòtesis de Reimann per a mostrar que la desigualtat s'invertix per a alguns $x<10^{10^{10^{34}}}$i en 1955, sense usar l'hipòtesis, va mostrar que la desigualtat s'invertix per a alguns $x<10^{10^{10^{963}}}$

• <o>Les distàncies entre els número primo consecutius:</o>

Cramér va mostrar que la RH implica que existix una constant $C:p_{k+1}-p_k=C\sqrt{p_k}\log p_k$ a on $p_k$ és el k-ésimo primer. Existix un resultat millor que el de Cramér que és enunciat per la següent conjectura:

Sempre hi ha un cosí entre $n^2$ i $(n+1{)}^2$ deurien existir varis lo que implica que $p_{k+1}-p_k=C\sqrt{p_k}$

No obstant, Cramér també conjeturó que la brecha és $C(\log p_k{)}^2$.

Vore també

• Teorema dels número primo
• Funció contador d'número primo
• Fòrmula explícita
• Teoria analítica de números

Bibliografia

• Reprinted in Plantilla:Harv.
• Reprinted in Plantilla:Harv.

• Reprinted in Plantilla:Harv.

• Reprinted in Plantilla:Harv.
• Reprinted in Plantilla:Harv.
• Review
• . Reprinted 1990, Plantilla:Isbn, Plantilla:MathSciNet
• (Reprinted by Dover 2003)

• .

• Reprinted in Plantilla:Harv.
• .Plantilla:Isbn
• .
• This unpublished book descrius the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.

• . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Original manuscript (with English translation). Reprinted in Plantilla:Harv and Plantilla:Harv
• ; see also announcement on Tao's blog, January 19, 2018

• Reprinted in Plantilla:Harv.
• Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

• Reprinted in Plantilla:Harv.
• Reprinted in Plantilla:Harv.
• Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil Plantilla:Isbn

Exposicions populars

• Frenkel, Edward (2014), The Riemann Hypothesis Numberphile, Mar 11, 2014 (video)
• Nahin, Paul J. (2021). In Pursuit of Zeta-3: The World's Most Mysterious Unsolved Math Problem, Princeton University Press. ISBN 978-0691206073.

Note: Derbyshire 2003, Rockmore 2005, Sabbagh 2003a, Sabbagh 2003b, Sautoy 2003, and Watkins 2015 llaure senar-technical. Edwards 1974, Patterson 1988, Borwein/Choi/Rooney/Weirathmueller 2008, Mazur/Stein 2015, Broughan 2017, and Nahin 2021 give mathematical introductions. Titchmarsh 1986, Ivić 1985, and Karatsuba/Voronin 1992 llaure advanced monographs.

Enllaços externs

• (en) The Riemann Hypothesis in a Nutshell [2] archivat en Wayback Machine.
• (en) Andrew Odlyzko: Tables of zeros of the Riemann zeta function
• (en) Riemann zeros Quàntum chaos
• (en) Zetagrid
• (en) Algoritmes per a calcular els zeros de la funció de Riemann, per Michael Rubinstein
• (en) Conseqüències de l'Hipòtesis de Riemann
• Plantilla:Commons category-inline
• American Institute of Mathematics, Riemann hypothesis
• Zeroes database, 103 800 788 359 zeroes
• «Where llaure the zeros of zeta of s?». Poem about the Riemann hypothesis, sung by John Derbyshire.

• «The Riemann Hypothesis». (Slides for a lecture)
• (2010).«Consequences of the Riemann hypothesis».
• «Equivalences to the Riemann hypothesis».
• (2004).«Computation of zeros of the Zeta function». (Reviews the GUE hypothesis, provides an extensive bibliography as well).
• «Home page». including papers on the zeros of the zeta function and tables of the zeros of the zeta function
• (2002).«Zeros of the Riemann zeta function: Conjectures and computations». Slides of a talk
• (2004).«Tingues Trillion Zeta Zeros».Math Games website.. A discussion of Xavier Gourdon's calculation of the first tingues trillion senar-trivial zeros
• «algorithm for generating the zeros»..
• (2006).«Prime Numbers Get Hitched».Seed Magazine.
• «Proposed (dis)proofs of the Riemann Hypothesis».
• Zetagrid (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005

[[Categoria:#Conjectura matemàtiques]]