Producte de Euler

Archiu:Leonhard Euler 2.jpg

Leonhard Euler.

En matemàtica, un producte de Euler és l'expansió d'un producte infinit, indexat per número primo p d'una série de Dirichlet. El nom sorgix del cas especial de la funció zeta de Riemann, la representació de la qual en forma de producte, va ser demostrada per Leonhard Euler en 1737.

Definició

En general, una série de Dirichlet de la forma:

$\sum _{n}a(n)n^{-s}$

a on a(n) és una funció multiplicativa de n, pot ser escrita de la forma:

$\prod _{p}P(p,s)$

a on P(p,s) és la suma:

$1+a(p)p^{-s}+a(p^2)p^{-2s}+\cdots$.

En efecte, si es consideren estes com funcions generadores de manera formal, la condició necessària i suficient per a l'existència del producte de Euler equivalent a la série és que a(n) siga multiplicativa, o siga, que a(n) siga igual al producte de a(p^k) per als distints factors primers p que componen n.

Un cas important és quan a(n) és una funció totalment multiplicativa, a on es complix que P(p,s) és una série geomètrica. Llavors

$P(p,s)=\frac{1}{1-a(p)p^{-s}}$

com pot ser el cas de la funció zeta de Riemann, a on a(n) = 1, i més generalment, per als caràcters de Dirichlet.

En la pràctica, tots els casos importants a tindre en conte són les séries i productes infinits que són absolutament convergents en certa regió

$\mathrm{Re}(s)>C$

o siga, en la part dreta del semiplano format per número complejo. Açò dona també alguna informació, ya que el producte infinit, en convergir, deu donar un valor distint de zero, i també que la funció donada per la série infinita no és zero en dit semiplano.

Eixemples de productes de Euler

• El producte de Euler corresponent a la funció zeta de Riemann (vore ací), usant també la suma de séries geomètriques és:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}=\prod _p\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}^{-ns}\right)=\prod _p(1-p^{-s}{)}^{-1}$.

• El producte de Euler de la funció de Möbius $\mu (n)$ és:

$\frac{1}{\zeta (s)}=\prod _p(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (n)n^{-s}$.

• Productes més específics derivats de la funció zeta són:

$\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\prod _p(1+p^{-s}{)}^{-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (n)n^{-s}$

a on $\lambda (n)=(-1{)}^{\Omega (n)}$ és la funció de Liouville, i

$\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}=\prod _p(1+p^{-s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|\mu (n)|n^{-s}$.

• De manera similar

a on $\omega (n)$ conta el número de divisores primers distints de n i $2^{\omega (n)}$ el número de divisores de la forma quadrat lliure.

Si $\chi (n)$ és el caràcter de Dirichlet del conductor $N$, tal que si $\chi$ és totalment multiplicativa i $\chi (n)$ solament depén de n module N, i $\chi (n)=0$ si n no és coprimo en N, llavors:

$\prod _p(1-\chi (p)p^{-s}{)}^{-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\chi (n)n^{-s}$.

Ací és convenient ometre els número primo p que dividixen al conductor N del producte.

Ramanujan, és els seus quaderns, va tractar de generalisar el producte de Euler per a la funció zeta en la forma:

$\prod _p(x-p^{-s})\approx \frac{1}{{\mathrm{Li}}_s(x)}$

per a s > 1 — a on Li_s (x) és la funció polilogaritmo — buscant la forma d'obtindre potències primeres com a raïls de certa funció f(x,s). Per a x=1 el producte de dalt és justament $1/\zeta (s)$.

Vore també

• Funció zeta de Riemann
• Funció L de Dirichlet
• Producte de Euler per a la funció zeta de Riemann

Referències

• Euler, Leonhard, Variae observations circa séries infinites, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188. Reprinted in Opera Omnia Séries I volume 14, p. 216-244.

• G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 (1954) Princeton University Press L.C. Card 53-6388
• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9
• G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0