Anàlisis harmònic
En matemàtiques, el anàlisis harmònic o anàlisis de Fourier estudia la representació de funcions o senyalés com a superposició d'ones "bàsiques" o harmònics.
Investiga i generalisa les nocions de séries de Fourier i transformades de Fourier. A lo llarc dels sigles XIX i XX s'ha convertit en una matèria enorme en aplicacions en camps diversos com el processament de senyals, l'espectroscòpia, la mecànica quàntica o la neurociencia.
La transformada de Fourier clàssica en R n seguix sent un àrea d'investigació en curs, en particular pel que fa a la transformada de Fourier en objectes més generals com distribucions temperadas. Per eixemple, si imponem alguns requisits a una distribució f, podem intentar traduir estos requisits en térmens de la transformada de Fourier de f. El teorema de Paley–Wiener és un eixemple d'això. La teorema de Paley-Wiener implica immediatament que si f és una distribució no nula de soport compacte (açò inclou funcions de soport compacte), llavors la seua transformada de Fourier mai té soport compacte (és dir, si una senyal està llimitada en un domini, és illimitada en l'atre). Esta és una forma molt elemental d'un principi d'incertitut en un entorn d'anàlisis harmònic.
Les séries de Fourier poden estudiar-se convenientment en el context del espai de Hilbert, lo que proporciona una conexió entre l'anàlisis harmònic i l'anàlisis funcional. Hi ha quatre versions de la transformada de Fourier, que depenen dels espais mapeados per la transformació (discreta/periòdica-discreta/periòdica: transformada discreta de Fourier, contínua/periòdica-discreta/periòdica: série de Fourier, discreta/periòdica-contínua/periòdica: transformada discreta de Fourier, contínua/periòdica-contínua/periòdica: transformada de Fourier).
Série de Fourier
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Serie de Fourier.
Les séries de Fourier s'utilisen per a descompondre una funció, senyal o ona periòdica com suma infinita o finita de funcions, senyals o ones harmòniques o sinusoidals; és dir, una série de Fourier és un tipo de série trigonométrica.
Les séries de Fourier reben el seu nom en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que va fer importants contribucions a l'estudi de les séries trigonométricas, que prèviament havien segut considerades per Leonhard Euler, Jean li Rond d'Alembert i Daniel Bernoulli.[lower-alpha 1] Fourier va introduir les séries en el propòsit de resoldre l'equació de conducció de la calor en una làmina de metal publicant els seus resultats en 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans els corps solides ('Memòria sobre la propagació de la calor en els cossos sòlits'), i publicant el seu Théorie analytique de la chaleur ('Teoria analítica de la calor') en 1822. Idees prèvies en descompondre una funció periòdica en la suma de simples funcions d'oscilació daten des de el III, quan astrònoms antics varen propondre un model empíric de moviment planetari en base en epiciclo.
L'equació de la calor és una equació en derivades parcials. Prèviament al treball de Fourier, no es coneixia solució alguna per a l'equació de calor en forma general, encara que es coneixien solucions particulars si la font de calor es comportava de manera senzilla, en particular, si la font era una ona de sen o coseno. Estes solucions simples a voltes són cridades valors propis. L'idea de Fourier era modelar una font de calor complexa en una superposició (o combinació llineal) de simples ones sinusoidals i per a escriure la solució com una superposició dels corresponents valors propis. A la superposició o combinació llineal se li crida Série de Fourier.
Transformada de Fourier
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Transformada de Fourier.
La transformada clàssica de Fourier en Rn encara és un àrea d'investigació activa, sobretot en la transformació de Fourier sobre objectes més generals, com les distribucions temperadas. Per eixemple, si imponem alguns requeriments sobre una distribució f, podem intentar traslladar-los a térmens de la seua transformada de Fourier. El teorema de Paley–Wiener és un eixemple d'això, que implica immediatament que si f és una distribució de soport compacte (lo que inclou a les funcions de soport compacte), llavors la seua transformada de Fourier no té mai el soport compacte. Açò és un tipo molt elemental d'un principi d'incertitut en térmens de l'anàlisis harmònic.
Les séries de Fourier poden ser estudiades convenientment en el context dels espais de Hilbert, lo que nos dona una conexió entre l'anàlisis harmònic i l'anàlisis funcional.
Us en ingenieria
[editar | editar còdic]La transformada de Fourier s'utilisa per a passar una senyal al domini de freqüència per a aixina obtindre informació que no és evident en el domini temporal. Per eixemple, és més fàcil saber sobre quin ample de banda es concentra l'energia d'una senyal analisant-la en el domini de la freqüència.
La transformada també servix per a resoldre equacions diferencials en major facilitat i, per tant, s'usa per al disseny de controladors clàssics de sistemes realimentados, si coneixem la densitat espectral d'un sistema i l'entrada podem conéixer la densitat espectral de l'eixida. Açò és molt útil per al disseny de filtres de radiotransistores.
La transformada de Fourier també s'utilisa en l'àmbit del tractament digital d'imàgens, com per eixemple per a millorar o definir més certes zones d'una image fotogràfica o presa en una computadora, vejau ondícula (wavelet).
Detecció de composts en analisar les freqüències electromagnètiques transmeses en diversos composts, materials i aleacions[1]
Anàlisis harmònic abstracte
[editar | editar còdic]Una de les branques més modernes de l'anàlisis harmònic, que té les seues raïls a mitan de el XX, és l'anàlisis sobre grups topològics. L'ideal central que ho motiva és la de les vàries transformades de Fourier, que poden ser generalisades a una transformació de funcions definides sobre grups localment compactes.
La teoria per als grups localment compactes abelianos es diu dualitat de Pontryagin, que es considera una proposició molt satisfactòria ya que explica les característiques envoltes en l'anàlisis harmònic. En la seua pàgina es troba desenrollada en detalle.
L'anàlisis harmònic estudia les propietats de tal dualitat i la transformada de Fourier; i pretén estendre tals característiques a atres marcs, per eixemple en el del cas dels grups de Lie no abelianos.
Per a grups generals no abelianos localment compactes, l'anàlisis harmònic està molt relacionat en la teoria unitària de representació de grups unitaris. Per a grups compactes, el Teorema de Peter-Weyl explica cóm es poden conseguir harmònics extraent una representació irreducible de cada classe d'equivalència de representacions. Esta elecció d'harmònics goja d'algunes de les propietats útils de la transformada de Fourier clàssica de manera que du convoluciones a productes escalares, o per una atra part mostrant certa comprensió sobre l'estructura de grup subjacent.
Anàlisis harmònic aplicat
[editar | editar còdic].png){kind=link}
Moltes aplicacions de l'anàlisis harmònic en la ciència i l'ingenieria comencen en l'idea o hipòtesis de que un fenomen o senyal està compost per una suma de components oscilatoris individuals.[3] Les marees oceàniques i les cuerdo vibrants són eixemples comuns i senzills. L'enfocament teòric sol consistir en intentar descriure el sistema per mig d'una equació diferencial o un sistema d'equacions per a predir les característiques essencials, incloent l'amplitut, la freqüència i les fases dels components oscilatoris. Les equacions específiques depenen del camp, pero les teories generalment tracten de seleccionar les equacions que representen els principis principals que són aplicables.
L'enfocament experimental sol consistir en adquirir senyes que quantifiquen en precisió el fenomen. Per eixemple, en un estudi de les marees, el experimentalista adquiriria mostres de la profunditat de l'aigua en funció del temps a intervals lo suficientment espayats com per a vore cada oscilació i durant una duració lo suficientment llarga com per a que s'incloguen provablement múltiples periodos oscilatoris. En un estudi sobre cordes vibrants, és habitual que el experimentalista adquirixca una forma d'ona sonora muestreada a una velocitat a lo manco dos voltes superior a la de la freqüència més alta esperada i durant una duració moltes voltes superior al periodo de la freqüència més baixa esperada.
Per eixemple, la senyal superior de la dreta és una forma d'ona sonora d'un baix que toca una corda oberta corresponent a una nota A en una freqüència fonamental de 55 Hz. La forma d'ona sembla oscilante, pero és més complexa que una simple ona sinusoidal, lo que indica la presència d'ones adicionals. Els diferents components d'ona que contribuïxen al sò poden revelar-se aplicant una tècnica d'anàlisis matemàtic coneguda com transformada de Fourier, el resultat del qual es mostra en la figura inferior. Observe que hi ha un pico prominent a 55 Hz, pero que hi ha atres picos a 110 Hz, 165 Hz, i a atres freqüències corresponents a múltiples sancers de 55 Hz. En este cas, 55 Hz s'identifica com la freqüència fonamental de la vibració de la corda, i els múltiples sancers es coneixen com harmònics.
Temes generals de l'anàlisis harmònic: descomposició, oscilació i geometria
[editar | editar còdic]Una característica dels métodos d'anàlisis harmònic és que tendixen a ser més locals que globals; per eixemple, és prou comú que una funció f s'analise aplicant funcions de brot en les variables espacials o de freqüència per a descompondre f en una série de fragments localisats. Estos fragments s'estimen per separat i són recombinados posteriorment. Una de les raons d'esta estratègia de «dividix i venceràs» és que una funció genèrica f tendix a tindre moltes característiques diferents (per eixemple, f podria ser molt molt «puntaguda», «discontínua» o de «alta freqüència» en alguns llocs, i «suau» o de «baixa freqüència» en uns atres), i seria difícil tractar totes estes característiques al mateix temps.
Una descomposició ben elegida de la funció f pot aïllar estes característiques unes d'unes atres, de modo que cada component només tinga que vore en la funció f. entre sí, de modo que cada component només tinga una característica destacada que puga causar dificultats. En tornar a ensamblar les estimacions dels components individuals, es poden utilisar ferramentes rudimentàries com la desigualtat del triàngul, o ferramentes més refinades, per eixemple les que de ortogonalidad, o tal volta un algoritme inteligent que agrupe els components en grups manejables. components en grups manejables. El principal inconvenient del método de descomposició descomposició (aparte de les qüestions estètiques) és que tendix a donar llímits que no són del tot òptims. òptims; no obstant, en molts casos un s'acontenta en estimacions que diferixen de la millor possible en una constant multiplicativa.
Un atre tema bàsic de l'anàlisis harmònic és l'intent de quantificar l'esmonyidiç fenomen de l'oscilació. Intuitivament, si una expressió oscila salvajemente en fase, llavors el seu valor mig deuria ser relativament chicotet en magnitut.
Atres branques
[editar | editar còdic]Estudie dels autovalorés i autovectorés del laplaciano en dominis, varietats i (en menor mida) grafos també es considera una branca de l'anàlisis harmònic. Vejau, per eixemple, escoltar la forma d'un tambor.[4]
- L'anàlisis harmònic en espais euclidianos s'ocupa de les propietats de la transformada de Fourier en Rn que no tenen anàlecs en grups generals. Per eixemple, el fet de que la transformada de Fourier és invariante de rotació. La descomposició de la transformada de Fourier en els seus components radial i esfèrica conduïx a temes com funció de Bessels i harmònic esfèrics.
- L'anàlisis harmònic en dominis tubulars tracta de generalisar les propietats dels espais de Hardy a dimensions superiors.
- Les formes automórficas són funcions harmòniques generalisades sobre un grup de simetria. Són un àrea de desenroll antiga i al mateix temps activa en l'anàlisis harmònic per les seues conexions en el programa Langlands.
- L'anàlisis harmònic no llineal és l'us de ferramentes i tècniques d'anàlisis harmònic i funcional per a estudiar sistemes no llineals. Açò inclou tant problemes en infinits graus de llibertat com també operadors i equacions no llineals.[5]
En el camp de l'inteligència artificial
[editar | editar còdic]Un dels problemes de l'inteligència artificial generativa és que és com una caixa negra.
Sembla possible utilisar l'anàlisis de Fourier per a analisar cóm deprén una ret neuronal profunda a realisar tasques complexes específiques: investigadors de l'Universitat Rulle, despuix d'entrenar una ret neuronal profunda per a reconéixer #fluix complexos d'aire o aigua i predir cóm canviarien estos #fluix en el temps, li varen aplicar un anàlisis de Fourier (a les equacions que governen la ret neuronal). Este método va revelar lo que la ret neuronal havia deprés i, lo que és més important, cóm havia aplegat a eixe coneiximent.[6]
Notes
[editar | editar còdic]- ↑ Perkin-Elmer. «Infrarred-Spectroscopy».
- ↑ Computada en https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/.
- ↑ Claude Gasquet et Patrick Witomski, Analyse de Fourier et applications : filtrage, calcul numérique et ondelettes, Masson, 1990, 354 p. (ISBN 978-2-225-82018-2)
- ↑ Harmonic Analysis on Symmetric Spaces-Euclidean Space, the Sphere, and the Poincaré Upper Half-Plane, 2nd edició, New York, NY: Springer, p. 37. ISBN 978-1461479710.
- ↑ https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/9781400882090-002/html?lang=en
- ↑ Charres Q. Choi. «Les matemàtiques de fa 200 anys òbrin la misteriosa caixa negra de la IA» (en és). Consultat el 28 d'octubre de 2023..
Referències
[editar | editar còdic]Bibliografia
[editar | editar còdic]Elias Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X Elias Stein with Timothy S. Murphy, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993.
Elias Stein, Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory, Princeton University Press, 1970.
- Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2
- Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
- Elias Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
- Terence Tao, Fourier Transform. (Introduïxes the decomposition of functions into odd + even parts as a harmonic decomposition over ℤ₂.)
- George W. Mackey, Harmonic analysis as the exploitation of symmetry–a historical survey, Bull. Amer. Math. Soc. 3 (1980), 543–698.
- M. Bujosa, A. Bujosa and A. Garcıa-Ferrer. Mathematical Framework for Pseudo-Spectra of Linear Stochastic Difference Equations, IEEE Transactions on Signal Processing vol. 63 (2015), 6498-6509.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- Este artícul conté una traducció derivada de «Análisis armónico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.
Erro en la cita: Existixen etiquetes <ref> per a un grup nomenat "lower-alpha", pero no es trobà una etiqueta <references group="lower-alpha"/>