Escoltar la forma d'un tambor

Archiu:Isospectral drums.svg

Els tambors matemàticament ideals en membranes d'estes dos formes diferents (pero per lo demés, idèntiques) sonarien igual, perque les seues freqüències pròpies són totes iguals, per lo que les seues espectres tímbricos contindrien els mateixos harmònics. Este eixemple va ser construït per Gordon, Webb i Wolpert. Deu observar-se que abdós polígons tenen la mateixa àrea i el mateix perímetro

Escoltar la forma d'un tambor és inferir informació sobre la forma del pegat d'un tambor a partir del sò que produïx, és dir, de la llista de sobretonos, per mig de l'us de la teoria matemàtica.

"¿Es pot sentir la forma d'un tambor?" és el títul d'un artícul de 1966 de Mark Kac en l'American Mathematical Monthly, que va fer famosa la pregunta, encara que esta frase en particular es deu al matemàtic Lipman Bers. Preguntes similars es remonten al físic Arthur Schuster en 1882. Pel seu artícul, Kac va rebre el Premi Lester R. Ford en 1967 i el Premi Chauvenet en 1968.

Les freqüències a les que pot vibrar un pegat depenen de la seua forma. l'equació de Helmholtz calcula les freqüències si es coneix la forma. Estes freqüències són els valors propis del corresponent operador laplaciano en l'espai. Una qüestió central és si es pot predir la forma si es coneixen les freqüències; com per eixemple, si es pot reconéixer un triàngul de Reuleaux (en costats curvos) d'esta manera. Kac va admetre que no sabia si era possible que dos formes diferents produïren el mateix conjunt de freqüències. La pregunta de si les freqüències determinen la forma va ser finalment resposta negativament a principis dels anys 1990 per Gordon, Webb i Wolpert.

Declaració formal

Més formalment, el tambor es concep com una membrana elàstica els llímits de la qual estan fixats. Es representa com un domini D en el pla. Denoten-se per λ_n els autovalores de Dirichlet per a D, és dir, els autovalores del problema de Dirichlet per al laplaciano:

$\{\begin{array}{c}\Delta u+\lambda u=0\\ u{|}_{\partial D}=0\end{array}$

Es diu que dos dominis són isoespectralés (o homofónicos) si tenen els mateixos valors propis. El terme "homofónico" es justifica perque els valors propis de Dirichlet són precisament els tons fonamentals que el tambor és capaç de produir, i que apareixen naturalment com coeficients de Fourier en la solució de l'equació d'ona en llímit fixat.

Per lo tant, la pregunta pot reformular-se com: ¿qué es pot inferir sobre "D" si solament es coneixen els valors de λ_n? O, més específicament: ¿hi ha dos dominis distints que siguen isoespectrales?

Es poden formular problemes relacionats per al problema de Dirichlet per al laplaciano en dominis en dimensions superiors o en varietats de Riemann, aixina com per a atres operadors diferencials elíptics com l'operador de Cauchy-Riemann o l'operador de Dirac. Es poden impondre atres condicions de contorn ademés de la condició de Dirichlet, com la condició de frontera de Neumann (vegen-se com a artículs relacionats geometria espectral i isoespectral).

Resposta

Archiu:Барабаны.gif

Família de tambors isoespectrales d'un paràmetro

Archiu:Eigenmodes of GWWIsospectral Domains.png

Modos propis i valors propis corresponents de l'operador de Laplace en els dominis de Gordon-Webb-Wolpert

En 1964, John Milnor va observar que una teorema sobre rets per Ernst Witt implicava l'existència d'un parell de bous plans de 16 dimensions que tenen els mateixos valors propis pero formes diferents. No obstant, el problema en dos dimensions va permanéixer obert fins a 1992, quan Carolyn Gordon, David Webb i Scott Wolpert varen construir, basant-se en el método de Sunada, un parell de regions en el pla que tenen formes diferents pero valors propis idèntics. Les regions són polígons cóncaus. La prova de que abdós regions tenen els mateixos valors propis utilisa les simetria del laplaciano. Esta idea ha segut generalisada per Buser, Conway, Doyle i Semmler, els qui varen construir numerosos eixemples similars. Llavors, la resposta a la pregunta de Kac és: per a moltes formes, no es pot escoltar la forma del tambor "completament". No obstant, es pot inferir alguna informació.

Per un atre costat, Steve Zelditch va demostrar que la resposta a la pregunta de Kac és positiva si s'imponen restriccions a certes regions planes de Convexidad en llímits analítics. No se sap si dos dominis analítics no convexos poden tindre els mateixos valors propis. Se sap que el conjunt de dominis isoespectrales sobre un dau és compacte en la topología C^∞. Ademés, l'esfera (per eixemple) és espectralment rígida, pel teorema de comparació de valors propis de Cheng. També se sap, per un resultat obtingut per Osgood, Phillips i Sarnak, que l'espai de mòduls de superfícies de Riemann d'un gènero determinat no admet un fluix isoespectral continu a través de cap punt i és compacte en la topología de Fréchet-Schwartz.

Vore també

• Triple de Gassmann
• Isoespectral
• Geometria espectral
• Vibracions d'una membrana circular
• Sistema iterativo de funcions, una extensió dels fractales

Bibliografia

• «Remembering Lipman Bers».Notices of the American Mathematical Society.42(1)

8–18.

• “Ca one hear the dimension of a fractal?” (1986). Comm. Math. Phys. 104 (1): 103–122. doi:10.1007/BF01210795. Bibcode: 1986CMaPh.104..103B.
• (1994).«Some planar isospectral domains».International Mathematics Research Notices.1994(9)

391–400.doi:10.1155/S1073792894000437.

• Chapman, S.J. (1995). “Drums that sound the same”. American Mathematical Monthly 102 (February): 124–138. doi:10.2307/2975346.
• Giraud, Olivier (2010). “Hearing shapes of drums – mathematical and physical aspects of isospectrality”. Reviews of Modern Physics 82 (3): 2213–2255. doi:10.1103/RevModPhys.82.2213. Bibcode: 2010RvMP...82.2213G.

• (1996).«You ca't hear the shape of a drum».American Scientist.84(January–February)

46–55.

• (1992).«Isospectral plane domains and surfaces via Riemannian orbifolds».Inventiones Mathematicae.110(1)

1–22.doi:10.1007/BF01231320.

• (1980).«The second term of the spectral asymptotics for a Laplace–Beltrami operator on manifolds with boundary».Funktsional. Anal. I Prilozhen.14(2)

25–34.doi:10.1007/BF01086550. (En Russian).

• Kac, Mark. “Ca One Hear the Shape of a Drum?”. American Mathematical Monthly 73 (4, part 2): 1–23. doi:10.2307/2313748.
• (1991).«Geometric Analysis and Computer Graphics».Springer.New York:17(17)

119–126.doi:10.1007/978-1-4613-9711-3_13.

• (1993).«Ordinary and Partial Differential Equations, Vol IV, Proc. Twelfth Internat. Conf. (Dundee, Scotland, UK, June 1992)».Longman and Technical.London:289

126–209.

• (2000).«Fractal Geometry and Number Theory: Complex dimensions of fractal strings and zeros of zeta functions».Birkhauser.Boston:. (La segona edició revisada i ampliada apareixerà en 2005.)
• (1993).«The Riemann zeta-function and the one-dimensional Weyl-Berry conjecture for fractal drums».Proc. London Math. Soc..66(1)

41–69.doi:10.1112/plms/s3-66.1.41.

• (1996).«Counterexamples to the modified Weyl–Berry conjecture on fractal drums».Math. Proc. Cambridge Philos. Soc..119(1)

167–178.doi:10.1017/S0305004100074053.

• (1964).«Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds».Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America.51(4)

542ff.doi:10.1073/pnas.51.4.542.

• (1985).«Riemannian coverings and isospectral manifolds».Ann. of Math..121(1)

169–186.doi:10.2307/1971195.

• (2000).«Spectral determination of analytic bi-axisymmetric plane domains».Geometric and Functional Analysis.10(3)

628–677.doi:10.1007/PL00001633.