Equació d'ona

La equació d'ona és una important equació diferencial en derivades parcials llineal de segon orde que descriu la propagació d'una varietat d'onas, com les ones sonores, les ones de llum i les ones en l'aigua. És important en varis camps com l'acústica, l'electromagnetisme, la mecànica quàntica i la dinàmica de decorreguts. Històricament, el problema d'una corda vibrant com les que estan en els instruments musicals va ser estudiat per Jean li Rond d'Alembert (1746) per primera volta, Leonhard Euler (1748), Daniel Bernoulli (1753) i Joseph-Louis Lagrange (1759). Es varen trobar solucions en diverses formes que varen ocasionar discussions per més de vinticinc anys. Les disputes encara es varen resoldre en el XIX.

Un pols que viaja a través d'una corda en els seus extrems fixos és modelat per l'equació d'ona.

Les ones esfèriques provenen d'una font puntual.

Introducció

L'equació d'ona és l'eixemple prototip d'una equació hiperbòlica en derivades parcials. L'equació d'ona escalar fa referència a la variació d'una funció escalar o = o (x₁, x₂, x₃; t) depenent del temps t i d'una o més variables espacials x₁, x₂, x₃. La cantitat o pot ser, per eixemple, una variació de pressió del mig en el que es propaga l'ona; també pot ser el desplaçament, respecte a les seues posicions d'equilibri, de les partícules del gas, líquit o sòlit en propagar-se l'ona. La funció o satisfà:

A on $\Delta \equiv {\mathrm{\nabla }}^2$ és el laplaciano i a on $c$ és una constant que representa la velocitat de propagació de l'ona. Per a una ona sonora en l'aire a 20 °C, esta constant és de prop de 343 m/s (vore velocitat del sò). Per a una corda vibrant, la velocitat pot variar molt depenent de la densitat llineal de la corda i la seua tensió. Per a un resort d'espiral (un Slinky) pot ser tan llent com un metro per segon.

Un model més realiste de l'equació diferencial per a ones permet que la velocitat de propagació de l'ona varie en la freqüència de l'ona, a este fenomen se li coneix com dispersió. En este cas, $c$ deurà ser remplazado per la velocitat de fase:

$v_{\mathrm{p}}=\frac{\omega }{k}.$

Una atra correcció comuna en sistemes realistes és que la velocitat pot dependre també de l'amplitut de l'ona, lo que nos du a una equació d'ona no llineal:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c(u{)}^2\Delta u$

També cal considerar que una ona pot ser transmesa en un portador mòvil (per eixemple, la propagació del sò en el fluix d'un gas). En tal case l'escalar o contindrà un número Mach (el qual és positiu per a l'ona que es moga a lo llarc del fluix i negatiu per a l'ona reflectida).

L'equació d'ona elàstica en tres dimensions descriu la propagació d'ona en un mig elàstic homogéneu isótropo. La majoria dels materials sòlits són elàstics, per lo que eixa equació descriu fenomens tals com ones sísmiques en la Terra i les ones d'ultrasò usades per a determinar defectes en els materials. Encara que siga llineal, esta equació té una forma més complexa que les equacions donades dalt, perque deu prendre en conte els moviments llongitudinals i transversal:

$\rho \ddot{𝐮}=𝐟+(\lambda +2\mu )\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)-\mu \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐮)$

A on:

$\lambda$ i $\mu$ són els supòsits paràmetros de Lamé que descriuen les propietats elàstiques del mig.

$\rho$ és la densitat,

$𝐟$ és la funció d'entrada (força motriu),

i $𝐮$ és el desplaçament.

Note que en esta equació, la força i el desplaçament són cantitats vectorials. Esta equació és coneguda a voltes com l'equació d'ona vectorial.

Hi ha variacions de l'equació d'ona que també poden ser trobades en mecànica quàntica i relativitat general.

Equació d'ona escalar en un espai d'una sola dimensió

Obtenció de l'equació d'ona

De la llei de Hooke

L'equació d'ona en el cas d'una sola dimensió pot ser obtinguda de la Llei de Hooke de la següent manera: imagine una série de menuts pesos de massa $m$, interconectados per resorts de massa despreciable de llongitut $h$. Els resorts tenen una rigidea de $k$:

Ací $u(x)$ medix la distància en equilibri de la massa situada en $x$. La segona llei de Newton aplicada sobre la massa $m$ en el lloc $x+h$ establix que:

$F=m\cdot a(t)=m\cdot \frac{{\partial }^2}{\partial t^2}u(x+h,t)$

La força aplicada en este cas està donada per la llei de Hooke:

$F_{𝐻𝑜𝑜𝑘𝑒}=F_{x+2h}+F_x=k\left[u(x+2h,t)-u(x+h,t)\right]+k[u(x,t)-u(x+h,t)]$

l'equació de moviment per a la massa $m$ en el lloc $x+h$ resulta:

$m\frac{{\partial }^{2}u(x+h,t)}{\partial t^2}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]$

a on la dependència en el temps de $u(x)$ es fa explícita.

Si la série de pesos consistix en $N$ pesos espayats uniformemente a lo llarc de $L=N\cdot h$ de la massa total $M=N\cdot m$, i la rigidea total de la série $K=\frac{k}{N}$ podem escriure l'equació anterior com:

$\frac{{\partial }^{2}u(x+h,t)}{\partial t^2}=\frac{K{L}^2[}{M}\frac{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)]}{h^2}$

Prenent el llímit $N\to \mathrm{\infty },h\to 0$ (i suponent que és suau) es conseguix:

$\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}=\frac{K{L}^2}{M}\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}$

$\frac{K{L}^2}{M}$ és el quadrat de la velocitat de propagació en este cas particular.

Solució del problema de valor inicial

La solució general de l'equació d'ona escalar unidimensional

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

va ser obtinguda per d'Alembert. L'equació d'ona pot ser escrita d'una forma factorizada:

$[\frac{\partial }{\partial t}-c\frac{\partial }{\partial x}][\frac{\partial }{\partial t}+c\frac{\partial }{\partial x}]u=0.$

Per tant, si F i G són funcions arbitràries, qualsevol suma de la forma

$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)$

satisfarà l'equació d'ona. Els dos térmens són ones viageres: qualsevol punt de la forma d'ona donada per un argument específic ya siga F o G es mourà en velocitat c ya siga cap al front o cap a arrere: cap al front per a F i cap a arrere per a G, estes funcions poden ser determinades per a satisfer condicions inicials arbitràries:

$u(x,0)=f(x)$

$u_t(x,0)=g(x)$

El resultat és la fòrmula de d'Alembert:

$u(x,t)=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2}+\frac{1}{2c}\underset{x-ct}{\overset{x+ct}{\int }}g(s)ds$

En el sentit clàssic, si $f(x)\in C^k$ i $g(x)\in C^{k-1}$ llavors $u(t,x)\in C^k$. No obstant, les formes d'ona F i G també poden ser generalisades, tals com la funció delta. En eixe cas, la solució pot ser interpretada com un impuls que viaja cap a la dreta o cap a l'esquerra.

L'equació d'ona bàsica és una equació diferencial llineal la qual establix que l'amplitut de les dos ones que interactuen és simplement la suma de les ones. Açò també significa que el comportament d'una ona es pot analisar en dividir l'ona en els seus components. La transformada de Fourier dividix una ona sinusoidal en el seu components i és útil per a l'anàlisis de l'equació d'ona.

Vore també

• Efecte Doppler
• Equació d'ona electromagnètica
• Equació de Helmholtz
• Operador laplaciano
• Equació de Schrödinger
• Ona estacionaria
• Camp electromagnètic

Bibliografia

• M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., 124 (1970), 109–189.
• M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., 131 (1973), 145–206.
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
• "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.

• William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", Project PHYSNET.
• Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, per Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163–197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (disponible en llínea o com la preimpresión arXiv)