Corda vibrant

Archiu:Standing waves on a string.gif

Ones estacionarias en una corda que vibra. S'observa el modo fonamental i els primers cinc sobretonos de la série harmònica.

La vibració d'una cuerdo és una ona. Per lo general una corda vibrant produïx un sò que la seua freqüència en la majoria dels casos és constant. Per lo tant, ya que la freqüència caracterisa l'altura, el sò produït és una nota constant. Les cordes vibrants són la base de tots els instruments de corda tals com la guitarra, el chelo, o el piano.

Ona

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$

Símbol	Nom
$v$	Velocitat de propagació d'una ona en una corda
$T$	Tensió de la corda
$\mu$	Densitat llineal de la cuerdo

Desenroll

Ilustració d'una corda vibrant.

Ilustració d'una corda vibrant.

Siga $\Delta x$ la llongitut d'un tros de corda, $m$ la seua massa, i $\mu$ la seua densitat llineal. Si la component horisontal de la tensió sobre la corda és constant, $T$, llavors la tensió que actua en cada extrem del tros de corda s'expressa com

$T_{1x}=T_1\cos (\alpha )\approx T.$

$T_{2x}=T_2\cos (\beta )\approx T.$

Si abdós ànguls són menuts, llavors les tensions en cada extrem són iguals i la força neta horisontal és nula. Aplicant la segona Llei de Newton per a la component vertical, la massa d'este tros multiplicada per la seua acceleració, $a$, serà igual a la força neta eixercida sobre el tros de corda:

$\Sigma F_y=-T_{2y}-T_{1y}=-T_2\sin (\beta )-T_1\sin (\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}.$

Dividint esta expressió per $T$ i substituyendo la primera i la segona equació resulta

$-\frac{\mu \Delta x}{T}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\frac{T_2\sin (\beta )}{T_2\cos (\beta )}+\frac{T_1\sin (\alpha )}{T_1\cos (\alpha )}=\tan (\beta )+\tan (\alpha )$

Les tangentes dels ànguls en els extrems del tros de corda són iguals a les pendents en els extrems, en un signe negatiu adicional a causa de la definició de beta. En esta senya i reordenando s'obté

$\frac{1}{\Delta x}({\frac{\partial y}{\partial x}|}^{x+\Delta x}-{\frac{\partial y}{\partial x}|}^x)=\frac{\mu }{T}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}$

En el llímit quan $\Delta x$ tendix a zero, el costat esquerre de l'igualtat és la definició de la derivada segona de $y$:

$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=\frac{\mu }{T}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}.$

Esta és l'equació d'ona per a $y(x,t)$, i el coeficient de la derivada segona en el temps és $v^{-2}$; per lo tant

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }},$

a on $v$ és la velocitat de propagació de l'ona en la corda. (vore l'artícul sobre l'equació d'ona para majors detalls). No obstant, este desenroll és sol vàlit per a vibracions d'amplitut menuda; en el cas de amplitut grans, $\Delta x$ no és una bona aproximació de la llongitut del tros de corda, la component horisontal de la tensió no és necessàriament constant, i no és correcte aproximar les tensions horisontals en $T$.

Freqüència de l'ona

Una volta que es coneix la velocitat de propagació, es pot calcular la freqüència del sò produït per la corda. La velocitat de propagació de l'ona és igual a la llongitut d'ona $\lambda$ dividida pel periodo $\tau$, o multiplicada per la freqüència $f$ :

$v=\frac{\lambda }{\tau }=\lambda f.$

Si la llongitut de la corda és $L$, la harmònica fonamental és la que es produïx per la vibració que els seus nodos són els dos extrems de la corda, per la qual cosa $L$ és la mitat de la llongitut d'ona de l'harmònica fonamental. Per lo tant es verifiquen les lleis de Mersenne:

$f=\frac{v}{2L}=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu }}$

a on $T$ és la tensió, $\mu$ és la densitat llineal (o siga la massa per unitat de llongitut de corda), i $L$ és la llongitut de la part vibrant de la corda. Per lo tant:

• quant més curta la corda, més alta és la freqüència del modo fonamental
• quant més gran la tensió, més alta és la freqüència del modo fonamental
• quant més llaugera la corda, més alta és la freqüència del modo fonamental

Ademés, si l'harmònica enèsima té una llongitut d'ona que obedix a l'expressió ${\lambda }_n=2L/n$, llavors resulta que la freqüència de l'harmònica enèsima és:

$f_n=\frac{nv}{2L}$

I per a una corda subjecta a una tensió T en densitat $\mu$, llavors

$f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu }}$

Vore també

• Instruments musicals en trast
• Acústica musical
• Vibracions d'un tambor circular
• Experiment de Melde
• Tercer pont (resonància harmònica basada en la divisió de la corda en sectors iguals)

Referències

• American Journal of Physics.72(9)

1157–1169.doi:10.1119/1.1764557.

• (1989).American Journal of Physics.57(5)doi:10.1119/1.16011.