Condició de frontera de Neumann

En matemàtiques, la condició de frontera de Neumann (o de segon tipo) és un tipo de condició de frontera o contorn, cridada aixina en alusió a Carl Neumann. Es presenta quan a una equació diferencial ordinària o en derivades parcials, se li especifiquen els valors de la derivada d'una solució presa sobre la frontera o contorn del domini.

Eixemples

Equacions diferencials ordinàries (EDO)

En el cas d'una equació diferencial ordinària, per eixemple, pot ser:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+3y=1$

sobre l'interval [0,1] les condicions de frontera de Neumann prenen la forma:

$\{\begin{array}{c}\frac{dy}{dx}(0)={\alpha }_1\\ \frac{dy}{dx}(1)={\alpha }_2\end{array}$

a on ${\alpha }_1$ i ${\alpha }_2$ són números donats.

Equacions diferencials en derivades parcials (EDP)

Per a una equació diferencial en derivades parcials sobre un domini $\Omega \subset {ℝ}^n$ tal com:

${\mathrm{\nabla }}^{2}y=0$

a on ${\mathrm{\nabla }}^2$ és el laplaciano, la condició de frontera de Neumann pren la forma:

$\frac{\partial y}{\partial 𝐧}(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in \partial \Omega .$

Ací $𝐧$ és la normal a la frontera $\partial \Omega$ i $f$ és una funció escalar.

La derivada normal $\frac{\partial }{\partial 𝐧}$ es definix com:

$\frac{\partial y}{\partial 𝐧}(x)=\mathrm{\nabla }y(x)\cdot 𝐧(x)$

a on $\mathrm{\nabla }$ és el gradient (vector) i el punt és el producte intern en el vector normal unitari n.

Vore també

• Condició de frontera de Dirichlet
• Condició de frontera mixta
• Condició de frontera de Cauchy
• Condició de frontera de Robin