Sistema iterativo de funcions

Archiu:KIFS OpenCL 8K HQ 20200503 13m 8,3s.png

Sistema iterativo de funcions

Archiu:Xerox Sierpinski.jpg

Compacte inicial i 6 iteraciones d'un SIF format per 3 aplicacions contractivas. En la primera iteración el requadro inicial es fa correspondre en l'unió dels requadros A, B i C.

Archiu:SierpinskiTriangle-2.png

Únic punt fix de l'aplicació induïda per l'anterior SIF, fractal al que es coneix com triàngul de Sierpinski. Observe's que està format per l'unió de 3 còpies de sí mateixa.

Un sistema iterativo de funcions (SIF o IFS acrònim de l'anglés Iterated function system) és una construcció matemàtica usada per a representar de manera simple certs conjunts fractales que presenten autosimilitud. Molts fractales clàssics autosimilares, autoafines i autoconformes poden representar-se com l'únic conjunt compacte invariante per un sistema iterativo de funcions contractivas.

Definició

Un sistema iterativo de funcions (SIF) sobre ${ℝ}^n$ (es pot generalisar a qualsevol espai mètric complet) es definix a partir d'un conjunt finito de contracció $\{F_1,\dots ,F_n\}$ en $n\ge 2$. El caràcter contractivo d'estes funcions implica que:

Si sobre un conjunt s'apliquen reiteradament les anteriors aplicacions contractivas (iterativamente), lo que resultarà en un sistema iterativo de funcions (SIF).

Estes aplicacions induïxen una aplicació sobre el conjunt de parts de l'espai mètric:

Una propietat fonamental dels SIFs és que existix un "punt fix" o que és un conjunt compacte I tal que:

Observem que esta condició nos indica que el conjunt és igual a l'unió de còpies de sí mateixa de menor tamany. Per eixa raó, freqüentment eixe conjunt és un conjunt fractal i la seua dimensió de Hausdorff D pot determinar-se fàcilment, ya que és l'única solució del sistema:

El conjunt de Cantor pot obtindre's com el "punt fix" d'un sistema iterativo de funcions. Donades les dos funcions contractivas:

De fet, el conjunt de Cantor és l'únic conjunt compacte tal que:

I per tant la seua dimensió fractal pot calcular-se fàcilment:

Distància de Hausdorff

Artícul principal → Distància de Hausdorff.

Si consideren tots els conjunts compactes $𝒦$ d'un espai topològic es pot definir un espai mètric $(𝒦,d_H)$ format per dits conjunts i en la distància de Hausdorff com a funció distancia de dit espai.

Pot comprovar-se que l'espai mètric $(𝒦,d_H)$ és un espai complet. Tot sistema iterativo de funcions permet definir una contracció en l'espai mètric anterior:

Esta funció és la restricció a conjunts compactes de la contracció induïda per el SIF. Com tota contracció presenta un punt fix, l'aplicació anterior presenta un "punt fix" o atractor, és dir, un conjunt compacte invariante per l'aplicació anterior. El atractor o punt fix de l'aplicació anterior pot representar-se com:

O equivalentemente com a llímit de la successió:

Dit conjunt compacte usualment és un conjunt fractal. La autosimilitud de K, una de les característiques dels fractales, es deriva de la condició de "punt fix":

en la que observem que K estarà format per unió de k copies de sí mateixa, possiblement deformades, i de menor tamany (si les aplicacions són contractivas), que poden solaparse o no.