Autosimilitud

Una curva de Koch presenta una autosimilitud exacta infinitament repitiente a mida que s'aumenta el seu tamany.

En Matemàtica, la autosimilitud, a voltes cridada autosemejanza, és la propietat d'un objecte (cridat objecte autosimilar) en el que el tot és exacte o aproximadament similar a una part de sí mateixa, per eixemple, quan el tot té la mateixa forma que una o vàries de les seues parts. Molts objectes del món real, com les costes marítimes, són estadísticament autosimilares: parts d'ella mostren les mateixes propietats estadístiques en diverses escales.

La autosimilitud és una propietat dels fractales.

Tipos de autosimilitud

El terme autosimilitud s'usa informalment per a diferents conceptes des del punt de vista matemàtic. Informalment, totes les formes de autosimilitud entranyen una semblança estructural entre un objecte geomètric i una part del mateix, és dir, existix semblat a diferents escales. Matemàticament poden distinguir-se els següents tipos:

• Autosimilitud exacta (estricta)
• Autosimilitud estadística
• Autoafinidad
• Autoconformidad

Autosimilitud exacta

Els triànguls de Sierpiński permeten observar la autosimilitud exacta.

Es diu que hi ha autosimilitud exacta quan una o vàries parts d'un tot repetixen exactament la seua similitut en eixe tot. La autosimilitud exacta permet l'amplificament successiu en repetició exacta única, múltiple o infinita de les propietats inicials.

La autosimilitud exacta apareix a voltes en sistemes de funcions iteradas (IFS).

l'invariancia d'escala és una forma exacta de autosimilitud en la que, en amplificar el tamany, apareix una chicoteta part de l'objecte que és similar a la totalitat. Per eixemple, un costat del cope de neu de Koch és al mateix temps simètric i invariante d'escala; el seu tamany pot multiplicar-se contínuament per tres sense que canvie la seua forma.

Autosimilitud aproximada

El brócoli romanesco o coliflor romana és un eixemple de autosimilitud aproximada natural.

La autosimilitud aproximada o cuasi-autosimilitud es troba freqüentment en la naturalea (autosimilitud natural). Per eixemple, quan la forma de la part i la forma del tot presenten lleus diferències en la similitut. Generalment solament es complix dins d'una porció llimitada d'eixe tot. Pot generar-se artificialment incorporant un factor de soroll aleatori a l'expressió d'una autosimilitud exacta.

Autosimilitud estadística

S'observa autosimilitud estadística en les montanyes.

La autosimilitud estadística és la menys exigent. Solament es conserven algunes propietats estadístiques durant el canvi d'escala, com en les montanyes o en els cràters llunars.

Definició

Un conjunt compacte X és autosimilar (exacte) si existix un conjunt finito d'homeomorfismes no sobreyectivos $\{F_1,\dots ,F_n\}$ per al qual:

Si $X\subset Y$, diem que X és autosimilar si és l'únic subconjunt no buit de I tal que l'equació anterior és vàlida per a $\{F_k{\}}_{k=1\dots n}$. Diem que

és una estructura autosimilar. Diferents tipos de similitut poden obtindre's segons la naturalea de les funcions:

• Si els homeomorfismes $\{F_k{\}}_{k=1\dots n}$ són semblances exactes llavors el sentit és autosimilar exacte.
• Si els homeomorfismes són aplicacions afins llavors, el conjunt presentarà autoafinidad.
• Si els homeomorfismes són aplicacions conformes llavors, el conjunt presentarà autoconformidad.

Sistemes iterativos de funcions

Molts conjunts autosimilares poden ser construïts per mig d'una construcció anomenada sistema iterativo de funcions (SIF) sobre ${ℝ}^n$. En dit sistema es considera un conjunt d'homeomorfismes, com en la definició (*), que siguen contracció $\{f_1,\dots ,f_n\}$ en $n\ge 2$:

Si sobre un conjunt s'apliquen reiteradament els anteriors homeomorfismes contractivos (iterativamente), lo que resultarà en un sistema iterativo de funcions (SIF). Una propietat fonamental dels SIFs és que existix un "punt fix" que és un conjunt compacte I tal que:

Freqüentment eixe conjunt és un conjunt fractal i la seua dimensió de Hausdorff D pot determinar-se fàcilment, ya que és l'única solució del sistema:

El conjunt de Cantor pot obtindre's pot obtindre's com el "punt fix" d'un iterativo de funcions. Donades les dos funcions contractivas:

De fet, el conjunt de Cantor és l'únic conjunt compacte tal que:

I per tant la seua dimensió fractal pot calcular-se fàcilment:

La composició de funcions produïx l'estructura algebraica d'un monoide. Si $n=2$, el monoide és cridat monoide diàdic. Este pot vore's com un arbre binario infinit. En general, per a qualsevol número d'elements el monoide pot ser representat com un arbre n-ádico.

Els automorfismes del monoide diàdic formen el grup modular. Els automorfismes poden representar-se com una rotació hiperbòlica de l'arbre binario.