Automorfisme

Archiu:Klein-automorphism.svg

Un automorfisme de el grup de quatre de Klein que es mostra com un mapage entre dos gràfics de Cayley , una permutació en notació de cicle i un mapage entre dos taules de Cayley

En matemàtiques, un automorfisme és un isomorfisme d'un objecte matemàtic en sí mateixa. Usualment el conjunt d'automorfismes d'un objecte pot rebre una estructura de grup en l'operació de composició, tal grup rep el nom de grup d'automorfismes i és, a grans traces, el grup de simetria de l'objecte.

Eixemples

Si les estructures són conjunts, llavors els isomorfismes entre dos conjunts X, I són simplement funcions biyectivas.

Els automorfismes són funcions biyectivas de X en X, és dir, permutació del conjunt.

Considerant el conjunt Z d'número entero en l'estructura de grup abeliano (en l'operació suma), els automorfismes són funcions biyectivas f:Z→Z tals que $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Existixen dos úniques funcions en dita propietat: $f(x)=x$ i $f(x)=-x$.

Si ara prenem de nou el conjunt Z d'número entero pero en l'estructura d'anell (operacions suma i producte) llavors els automorfismes seran funcions biyectivas que complixquen $f(x+y)=f(x)+f(y)$ i $f(xy)=f(x)f(y)$. En este cas, l'única funció possible és l'identitat, ya que $f(x)=-x$ només complix la primera condició i no la segona.

En els tres casos, el grup d'automorfismes sugerix certa simetria en l'objecte. En el cas de conjunts, en carir d'estructura, es pren qualsevol reordenamiento dels seus elements (permutació). En el cas dels número entero, quan es considera únicament l'estructura de la suma s'obté una simetria entre els números positius i negatius, pero tal simetria desapareix quan es pren en conte l'estructura que impon la multiplicació, ya que el comportament dels números positius i negatius és diferent respecte a ella.

Vore també

• Endomorfisme
• Morfismo