Cope de neu de Koch

Archiu:Koch snowflake ( caps block 0 ).jpg

Concepció artística d'un Cope de Koch. Cridem cope de Koch a la curva que descriu el contorn de la figura.

El cope de neu de Koch, també cridat estrela de Koch o illa de Koch,^[1] és una curva tancada contínua pero no diferenciable en cap punt, descrita pel matemàtic suec Helge von Koch en 1904 en un artícul titulat «Sobre una curva contínua que no posseïx tangentes i obtinguda pels métodos de la geometria elemental».^[2] ^[3]

En llenguage actual, diríem que és una curva fractal. La seua construcció més simple es realisa per mig d'un procés iterativo que s'inicia partint en tres un segment de recta i insertant dos més en el tercer mig a manera d'un triàngul equilátero, el procés es repetix infinitat de voltes. La curva de Koch és un cas particular de curva de De Rham.

Construcció

Vejam el procés que du a substituir cada costat per la cridada curva de Koch: Es pren un segment, li'l dividix en tres parts iguals, es remplaza la part central per dos parts d'igual llongitut fent un àngul de 60 graus. Després, en els quatre segments, es procedix de la mateixa manera, lo que dona lloc a 16 segments més menuts en la segona iteración. I aixina successivament. La figura representa les sis primeres etapes de la construcció. L'última curva és una bona aproximació de la curva final.

**Construcció de la curva de Koch**
1.ª iteración	Archiu:Von koch 2 etapes.svg 2.ª iteración	Archiu:Von koch 3 etapes.svg 3.ª iteración

Archiu:Von koch 4 etapes.svg 4.ª iteración	Archiu:Von koch 5 etapes.svg 5.ª iteración	Archiu:Von koch 6 etapes.svg 6.ª iteración

Tres d'estes curves unides formen el cope de neu de Koch i el anticopo de neu de Koch:

Archiu:Von Koch curve.gif

Cope de neu de Koch (6 iteraciones)

Archiu:Koch antisnowflake caps block 4 .gif

Anticopo de neu de Koch (5 iteraciones)

Representació com a sistema Lindenmayer

La curva de Koch es pot expressar en el sistema Lindenmayer

   Alfabet : F
   Constants : +, −
   Axioma : F++F++F
   Regles de producció:
   F → F−F++F−F

Ací, F significa «contínua dibuixant», + «gira 60 graus a la dreta, i - «gira 60 graus a l'esquerra» (vore gràfiques tortuga)

Propietats

Perímetro del cope de neu de Koch

Cada iteración multiplica el número de costats en el cope de neu de Koch per quatre, per lo que el número de costats despuix de les iteraciones $n$ ve dau per:

N_{n} = N_{n - 1} \cdot 4 = 3 \cdot 4^{n} .

Si el triàngul equilátero original té costats de llongitut $s$ , la llongitut de cada costat del cope de neu despuix de les iteraciones $n$ és:

S_{n} = \frac{S_{n - 1}}{3} = \frac{s}{3^{n}},

un invers potència de tres múltiple de la llongitut original. El perímetro del cope de neu despuix de les iteraciones $n$ és:

P_{n} = N_{n} \cdot S_{n} = 3 \cdot s \cdot {(\frac{4}{3})}^{n} .

La curva de Koch té una llongitut infinita, perque la llongitut total de la curva aumenta en un factor de Plantilla:Sfrac en cada iteración. Cada iteración crea quatre voltes més segments de llínea que en la iteración anterior, sent la llongitut de cada u Plantilla:Sfrac la llongitut dels segments en l'etapa anterior. Per lo tant, la llongitut de la curva despuix de $n$ iteraciones serà (Plantilla:Sfrac) ^$n$ voltes el perímetro del triàngul original i és illimitat, ya que $n$ tendix a l'infinit.

Llímit del perímetro

Com el número de iteraciones tendix a l'infinit, el llímit del perímetro és:

\lim_{n \to \infty} P_{n} = \lim_{n \to \infty} 3 \cdot s \cdot {(\frac{4}{3})}^{n} = \infty,

ya que |Plantilla:Sfrac| > 1.

Existix una mida dimensional Plantilla:Sfrac, pero fins ara no s'ha calculat. Solament s'han inventat els llímits superior i inferior.^[4]

Àrea del cope de neu de Koch

En cada iteración s'agrega un nou triàngul a cada costat de la iteración anterior, per lo que el número de triànguls nous agregats en la iteración $n$ és:

T_{n} = N_{n - 1} = 3 \cdot 4^{n - 1} = \frac{3}{4} \cdot 4^{n} .

L'àrea de cada nou triàngul agregat en una iteración és Plantilla:Sfrac de l'àrea de cada triàngul agregat en la iteración anterior, per lo que l'àrea de cada triàngul agregat en la iteración $n$ és:

a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{9} = \frac{a_{0}}{9^{n}} .

a on $a 0$ és l'àrea del triàngul original. L'àrea nova total agregada en la iteración $n$ és per lo tant:

b_{n} = T_{n} \cdot a_{n} = \frac{3}{4} \cdot {(\frac{4}{9})}^{n} \cdot a_{0}

L'àrea total del cope de neu despuix de les iteraciones $n$ és:

A_{n} = a_{0} + \sum_{k = 1}^{n} b_{k} = a_{0} (1 + \frac{3}{4} \sum_{k = 1}^{n} {(\frac{4}{9})}^{k}) = a_{0} (1 + \frac{1}{3} \sum_{k = 0}^{n - 1} {(\frac{4}{9})}^{k}) .

Colapsant la suma geomètrica dona:

A_{n} = a_{0} (1 + \frac{3}{5} (1 - {(\frac{4}{9})}^{n})) = \frac{a_{0}}{5} (8 - 3 {(\frac{4}{9})}^{n}) .

Llímits d'àrea

El llímit de l'àrea és:

\lim_{n \to \infty} A_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{0}}{5} \cdot (8 - 3 {(\frac{4}{9})}^{n}) = \frac{8}{5} \cdot a_{0},

a on |Plantilla:Sfrac| < 1.

Per lo tant, l'àrea del cope de neu de Koch és Plantilla:Sfrac de l'àrea del triàngul original. Expressat en térmens de la llongitut lateral $s$ del triàngul original, açò és:^[5]

\frac{2 s^{2} \sqrt{3}}{5} .

Propietats fractales

Archiu:Kochsim.gif

Autosimilitud exacta del Cope de neu de Koch a totes les escales

La característica anterior, típica de moltes curves fractales, afegida al fet de que la curva dona l'impressió de tindre certa gruixa a causa dels seus constants canvis de direcció, sugerix que esta figura, en algun sentit, no és unidimensional. Per a això usarem una generalisació del concepte de dimensió: la dimensió fractal de Hausdorff.

La seua dimensió de Hausdorff té que estar entre 1, la d'una recta, i 2, la del pla. Per a trobar-la mirem l'última curva: Si engrandim (per mig d'una homotecia) tres voltes la secció A'B' obtenim exactament la secció AB. En la curva final, obtindríem la secció A'C, és dir quatre voltes la secció inicial.

Se sap que una homotecia de raó tres multiplica les llongituts per 3, les superfícies per 3² = 9, els volums per 3³ = 27, i més generalment, el "volum" d'objecte de dimensió d per 3^d. Llavors tenim 3^d = 4 per al cope de Koch, lo que dona:

La dimensió de homotecia anterior coincidix en este cas en la dimensió fractal de Hausdorff. La configuració oposta-complementària d'un cope de neu de Koch o cope de neu fractal sol ser denominada anticopo de neu.

Referències

↑ Addison, Paul S.. Fractals and Chaos: An Illustrated Course, Institute of Physics, p. 19. ISBN 0-7503-0400-6.
↑ Koch, H. von. Sur unix courbe continue sans tangente, obtenue parell unix construction géometrique élémentaire. Arkiv för Matematik Astronomi och Fysik 1 (1904) 681-704.
↑ Koch, H. von. Unix méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie dones courbes plans. Acta Math. 30, 145-174, 1906. (Reproduïx i amplia l'artícul de 1904, pot consultar-se online en archive.org)
↑ “On the Lower Bound of the Hausdorff Measure of the Koch Curve” . Acta Mathematica Sinica 19 (4): 715–728. doi:10.1007/s10114-003-0310-2.
↑ «Koch Snowflake».

Este artícul conté una traducció derivada de «Copo de nieve de Koch» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Addison, Paul S.. Fractals and Chaos: An Illustrated Course, Institute of Physics, p. 19. ISBN 0-7503-0400-6.

[2] Koch, H. von. Sur unix courbe continue sans tangente, obtenue parell unix construction géometrique élémentaire. Arkiv för Matematik Astronomi och Fysik 1 (1904) 681-704.

[3] Koch, H. von. Unix méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie dones courbes plans. Acta Math. 30, 145-174, 1906. (Reproduïx i amplia l'artícul de 1904, pot consultar-se online en archive.org)

[4] “On the Lower Bound of the Hausdorff Measure of the Koch Curve” . Acta Mathematica Sinica 19 (4): 715–728. doi:10.1007/s10114-003-0310-2.

[5] «Koch Snowflake».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]