Curva de De Rham

Archiu:Curve -0.10 -0.80 -0.30 -0.60.png

Eixemple de curva genèrica afí de la curva de De Rham

En matemàtiques, una curva de De Rham és un cert tipo de curva fractal,^[1] nomenada aixina en honor al matemàtic suís Georges De Rham.

La funció de Cantor, la curva de Cesàro, la funció signe d'interrogat de Minkowski, la curva de Lévy C, la curva del manjar blanc, la curva de Koch i la curva de Osgood són tots casos especials de la curva general de De Rham.^[2]

Construcció

Considere's un espai mètric complet $(M, d)$ (generalment $ℝ$ ² en la distància euclidiana habitual) i un parell d'aplicacions de contracció en M:

d_{0} : M \to M

d_{1} : M \to M .

Pel teorema del punt fix de Banach, posseïxen punts fixos $p_{0}$ i $p_{1}$ respectivament. Siga x un número real en l'interval $[0, 1]$ , que té expansió binaria

x = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{b_{k}}{2^{k}},

a on cada $b_{k}$ és 0 o 1. Considere's l'aplicació:

c_{x} : M \to M

definida per

c_{x} = d_{b_{1}} \circ d_{b_{2}} \circ \dots \circ d_{b_{k}} \circ \dots,

a on $\circ$ denota una funció composta. Es pot demostrar que cada $c_{x}$ descriurà la conca comuna d'atracció de $d_{0}$ i $d_{1}$ a un sol punt $p_{x}$ en $M$ . La colecció de punts $p_{x}$ , parametrizada per un únic paràmetro real x, es coneix com a curva de Rham.

Condició de continuïtat

Quan els punts fixos s'emparellen de manera que

d_{0} (p_{1}) = d_{1} (p_{0})

llavors es pot demostrar que la curva resultant $p_{x}$ és una funció contínua de x. Quan la curva és contínua, en general no és diferenciable.

En el restant d'esta pàgina, s'assumix que les curves són contínues.

Vore també

Referències

↑ I. I︠A︡ Novikov, Igorʹ I︠A︡kovlevich Novikov, I. Ya. Novikov, V. Yu. Protasov, Vladimir I︠O︡rʹevich Protasov, Vladimir I͡Urʹevich Protasov, Marii︠a︡ Aleksandrovna Skopina, M. A. Skopina (2011). Wavelet Theory, American Mathematical Soc., pp. 141 de 506. ISBN 9780821849842.
↑ Paolo Pietro Llava, Giorgio Balzarotti. 103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle sifre i delle relazioni nella matematica contemporanea, HOEPLI EDITORE, pp. 186 de 400. ISBN 9788820358044.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Curva de De Rham» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[IIN-1] I. I︠A︡ Novikov, Igorʹ I︠A︡kovlevich Novikov, I. Ya. Novikov, V. Yu. Protasov, Vladimir I︠O︡rʹevich Protasov, Vladimir I͡Urʹevich Protasov, Marii︠a︡ Aleksandrovna Skopina, M. A. Skopina (2011). Wavelet Theory, American Mathematical Soc., pp. 141 de 506. ISBN 9780821849842.

[PPLGB-2] Paolo Pietro Llava, Giorgio Balzarotti. 103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle sifre i delle relazioni nella matematica contemporanea, HOEPLI EDITORE, pp. 186 de 400. ISBN 9788820358044.

[1]

[2]