Funció de Cantor

Funció de Cantor

En matemàtiques, la funció de Cantor, cridada aixina en honor del matemàtic alemà Georg Cantor, és un eixemple de funció matemàtica que és contínua pero no absolutament contínua. També li la coneix com la escala del Diable.

La funció de Cantor guarda una estreta relació en el conjunt de Cantor.

Definició

La funció de Cantor $c:[0,1]\to [0,1]$ es definix com seguix:

1. Expressa $x$ en base 3.
2. Si en $x$ apareix algun 1, substituïx per 0 tots els dígits estrictament a la dreta del primer 1.
3. Substituïx tots els dígits 2 que queden per 1.
4. Interpreta el resultat com un número binario. El resultat és $c(x)$.

Per eixemple:

• 1/4 es convertix en 0.02020202... base 3; no hi ha uns aixina que el següent pas és encara 0.02020202...; açò es reescriu com 0.01010101...; llegit en base 2, açò és 1/3 aixina que $c(1/4)=1/3$.
• 1/5 es convertix en 0.01210121... base 3; el primer un es canvia a 2 seguit de zeros per a produir 0.02000000...; açò es reescriu com 0.01000000...; llegit en base 2, açò és 1/4 aixina que $c(1/5)=1/4$.

És molt més fàcil comprendre la definició si mirem al gràfic següent:

Propietats

• La funció de Cantor desafia l'intuïció més ingènua sobre la continuïtat i la medida; encara que és contínua en tots els punts i té derivada zero en casi tot punt, $c$ va de 0 a 1 a mida que $x$ va de 0 a 1, i pren tots els valors intermijos. La funció de Cantor és l'eixemple més comunament citat d'una funció real que és uniformemente contínua (i per tant també contínua) pero no absolutament contínua. No té derivada en cap punt del conjunt de Cantor; és constant en els intervals de la forma:

i qualsevol punt que no estiga en el conjunt de Cantor està en un de dits intervals, en que la seua derivada fòra del conjunt de Cantor és zero.

• Estesa per l'esquerra en valor 0 i per la dreta en valor 1, és la funció de distribució acumulativa d'una variable aleatòria uniformemente distribuïda en el complement del conjunt de Cantor en l'interval [0,1]. Esta distribució, cridada la distribució de Cantor, no posseïx part discreta.
• No obstant, cap part no constant de la funció de Cantor es pot representar com l'integral d'una funció de densitat de provabilitat.
• La funció de Cantor és l'eixemple estàndar de funció singular.
• La funció de Cantor és monòtona creixent, per lo que en particular la seua gràfica definix una curva rectificable. La llongitut d'arc de la mateixa és 2.