Conjunt rectificable

Un conjunt rectificable és un conjunt que intuitivamente pot ser aproximat en l'entorn de cada punt per un espai euclídeo.

Molts objectes matemàtics definits per mig d'aplicacions diferenciables són rectificables (també cridats suaus). Mentres que els objectes fractalés d'aspecte irregular no solen ser rectificables.

Definició

Un conjunt de ${ℝ}^n$ és rectificable si en casi en tots els llocs del seu frontera topològica admet un espai tangente.

Un subconjunt de ${ℝ}^n$ és rectificable si dit conjunt pot ser recobert casi en tots els llocs per una colecció numerable de peces de Lipschitz $E_1,E_2,\dots$ tals que:

a on:

${\mathscr{H}}^s(\cdot )$ és la mida de Hausdorff.

Eixemples

• Una circumferència és un eixemple de curva contínua, tancada i diferenciable que ademés és rectificable.
• La frontera d'un polígon tancat és un eixemple de curva contínua, tancada encara que no diferenciable en els vèrtiços que aixina i tot és rectificable, i per tant dau un polígon de n costats el seu perímetro té una llongitut finita.
• La curva de Koch és una curva no rectificable, la seua llongitut no és finita, no obstant tanca un àrea finita.