Anar al contingut

Objecte matemàtic

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
Diagrama de Schlegel, proyecció tridimensional del teseracto.

Un objecte matemàtic és un objecte abstracte estudiat en matemàtiques. Alguns eixemples típics d'objectes matemàtics són els números, conjunts, funcions i figures geomètriques.[1] L'existència i naturalea dels objectes matemàtics és matèria de debat en la filosofia de la matemàtica i ha donat lloc a corrents de pensament com el logicismo, el platonisme matemàtic i el formalisme matemàtic.

En filosofia de les matemàtiques, el concepte de "objectes matemàtics" toca temes d'existència, identitat i naturalea de la realitat.[2] En metafísica, els objectes solen considerar-se entitats que posseïxen propietats i poden mantindre diverses relacions entre sí.[3] Els filòsofs debaten si els objectes matemàtics tenen una existència independent fora del pensament humà (realisme), o si la seua existència depén de construccions mentals o del llenguage (idealisme i nominalisme). Els objectes poden variar des de lo concret, com els objectes físics que solen estudiar-se en matemàtiques aplicades, fins a lo abstracte, que s'estudia en matemàtiques pures. Lo que constituïx un "objecte" és fonamental per a moltes àrees de la filosofia, des de l'ontologia (l'estudi del ser) fins a l'epistemologia (l'estudi del coneiximent). En matemàtiques, els objectes solen considerar-se entitats que existixen independentment del món físic, lo que planteja preguntes sobre el seu estatus ontològic.[4][5] Hi ha distintes escoles de pensament que oferixen diferents perspectives sobre el tema, i molts matemàtics i filòsofs famosos tenen opinions diferents sobre quin és més correcta.[6]

En filosofia de les matemàtiques

[editar | editar còdic]

Indispensabilidad de Quine-Putnam

[editar | editar còdic]

l'indispensabilidad de Quine-Putnam és un argument a favor de l'existència d'objectes matemàtics basat en el seu eficàcia irrazonable en les ciències naturals. Cada branca de la ciència es basa en gran mida en àrees àmplies i a sovint molt diferents de les matemàtiques. Des de l'us dels espais de Hilbert en la física en la mecànica quàntica i la geometria diferencial en la relativitat general fins a l'us de la teoria del caos i la combinatòria en la biologia (vore biologia matemàtica), les matemàtiques no només ajuden en les prediccions, sino que permeten que estes àrees tinguen un llenguage elegant per a expressar estes idees. Ademés, és difícil imaginar cóm àrees com la mecànica quàntica i la relativitat general podrien haver-se desenrollat sense l'ajuda de les matemàtiques i, per lo tant, es podria argumentar que les matemàtiques són indispensables per a estes teories. És per esta irrazonable eficàcia i indispensabilidad de les matemàtiques que els filòsofs Willard Quine i Hilary Putnam sostenen que deuríem creure que els objectes matemàtics dels que depenen estes teories realment existixen, és dir, deuríem tindre un compromís ontològic en ells. L'argument es descriu per mig del següent silogisme: [7]

  • Premissa 1: Devem tindre un compromís ontològic en totes i només les entitats que són indispensables per a les nostres millors teories científiques.
  • Premissa 2: Les entitats matemàtiques són indispensables per a les nostres millors teories científiques.
  • Conclusió: Deuríem tindre un compromís ontològic en les entitats matemàtiques.

Este argument resona en una filosofia en matemàtiques aplicades cridada naturalisme [8] (o a voltes predicativismo) [9] que establix que els únics estàndars autorisats sobre l'existència són els de la ciència.

Escoles de pensament

[editar | editar còdic]

Platonisme

[editar | editar còdic]
Platón representat en L'Escola d'Atenes de Rafael Sanzio.

El platonisme afirma que els objectes matemàtics són vists com entitats reals i abstractes que existixen independentment del pensament humà, a sovint en algun àmbit platònic. Aixina com existixen objectes físics com els electrons i els planetes, també existixen els números i els conjunts. I aixina com les afirmacions sobre els electrons i els planetes són verdaderes o falses en la mida en que estos objectes contenen propietats perfectament objectives, també ho són les afirmacions sobre els números i els conjunts. Els matemàtics descobrixen estos objectes en lloc d'inventar-los.[10][11] (Vore també: Platonisme matemàtic)

Alguns platònics notables inclouen:

  • Platón: L'antic filòsof grec que, encara que no era matemàtic, va assentar les bases del platonisme en postular l'existència d'un regne abstracte de formes o idees perfectes, lo que va influir en pensadors posteriors en matemàtiques.
  • Kurt Gödel: llògic i matemàtic de el XX, Gödel va ser un ferm defensor del platonisme matemàtic, i el seu treball en la teoria de models va ser una gran influència en el platonisme modern.
  • Roger Penrose: físic matemàtic contemporàneu, Penrose ha defés una visió platònica de les matemàtiques, sugerint que les veritats matemàtiques existixen en un àmbit de realitat abstracta que descobrim.[12]

Nominalisme

[editar | editar còdic]

El nominalisme nega l'existència independent dels objectes matemàtics. Més be, sugerix que són meres ficcions convenients o abreviatures per a descriure relacions i estructures dins del nostre llenguage i les nostres teories. Des d'este punt de vista, els objectes matemàtics no tenen existència més allà dels símbols i conceptes que utilisem.[13][14]

Alguns nominalistas notables inclouen:

  • Nelson Goodman: Filòsof conegut pel seu treball en la filosofia de la ciència i el nominalisme. Va argumentar contra l'existència d'objectes abstractes, proponent en canvi que els objectes matemàtics són merament un producte de les nostres convencions llingüístiques i simbòliques.
  • Hartry Field: Filòsof contemporàneu que va desenrollar una forma de nominalisme denominada "ficcionalismo", que sosté que els enunciats matemàtics són ficcions útils que no corresponen a cap objecte abstracte real.[15]

Logicisme

[editar | editar còdic]

El logicismo afirma que totes les veritats matemàtiques poden reduir-se a veritats llògiques i que tots els objectes que formen el contingut d'eixes branques de les matemàtiques són objectes llògics. En atres paraules, les matemàtiques són fonamentalment una branca de la llògica, i tots els conceptes, teoremes i veritats matemàtiques poden derivar-se de principis i definicions purament llògiques. El logicisme va enfrontar desafius, particularment en els axioma russilianos, l'axioma multiplicativo (ara cridat axioma d'elecció ) i la seua axioma d'infinit, i més vesprada en el descobriment dels teoremes de incompletitud de Gödel, que varen mostrar que qualsevol sistema formal suficientment poderós (com els utilisats per a expressar l'aritmètica) no pot ser al mateix temps complet i consistent. Açò significava que no totes les veritats matemàtiques podien derivar-se purament d'un sistema llògic, lo que socavava el programa logicista.[16]

Alguns logicistas notables inclouen:

  • Gottlob Frege: Frege és considerat a sovint el fundador del logicismo. En la seua obra Grundgesetze der Arithmetik (Lleis bàsiques de l'aritmètica), Frege va intentar demostrar que l'aritmètica podia derivar-se de axioma llògics. Va desenrollar un sistema formal que pretenia expressar tota l'aritmètica en térmens de llògica. El treball de Frege va assentar les bases per a gran part de la llògica moderna i va ser molt influent, encara que va trobar dificultats, la més notable de les quals va anar la paradoxa de Russell, que va revelar inconsistencias en el sistema de Frege.[17]
  • Bertrand Russell: Russell, junt en Alfred North Whitehead, va desenrollar encara més el logicisme en la seua monumental obra Principia Mathematica. Varen intentar derivar totes les matemàtiques a partir d'un conjunt d'axioma llògics, utilisant una teoria de tipos per a evitar les paradoxes que trobava el sistema de Frege. Encara que els Principia Mathematica varen tindre una enorme influència, l'esforç per reduir totes les matemàtiques a la llògica va ser considerat en última instància com a incomplet. No obstant, sí va impulsar el desenroll de la llògica matemàtica i la filosofia analítica.[18]

Formalisme

[editar | editar còdic]

El formalisme matemàtic tracta als objectes com a símbols dins d'un sistema formal. L'atenció se centra en la manipulació d'estos símbols segons regles específiques, més que en els objectes en sí. Una comprensió comuna del formalisme considera que les matemàtiques no són un cos de proposicions que representen una part abstracta de la realitat, sino que són molt més semblades a un joc, que no comporta major compromís ontològic d'objectes o propietats que jugar al parchís o al escacs. Des d'este punt de vista, les matemàtiques tracten de la consistència dels sistemes formals més que del descobriment d'objectes preexistentes. Alguns filòsofs consideren que el logicisme és un tipo de formalisme.[19]

Alguns formalistes notables inclouen:


  • David Hilbert: matemàtic destacat de principis de el XX, Hilbert és un dels defensors més destacats del formalisme com a fonament de les matemàtiques (vore el programa de Hilbert). Creïa que les matemàtiques són un sistema de regles formals i que la seua veritat residix en la consistència d'estes regles més que en qualsevol conexió en una realitat abstracta.[20]
  • Hermann Weyl: matemàtic i filòsof alemà que, encara que no era estrictament un formaliste, va contribuir a les idees formalistes, particularment en el seu treball sobre els fonaments de les matemàtiques.[21] Freeman Dyson va escriure que només Weyl podia comparar-se en els "últims grans matemàtics universals del sigle XIX", Henri Poincaré i David Hilbert.[22]

Constructivisme

[editar | editar còdic]

El constructivisme matemàtic afirma que és necessari trobar (o "construir") un eixemple específic d'un objecte matemàtic per a demostrar que existix un eixemple. Pel contrari, en les matemàtiques clàssiques, es pot provar l'existència d'un objecte matemàtic sense "trobar" eixe objecte explícitament, assumint la seua no existència i després derivant una contradicció d'eixa suposició. Una prova per contradicció d'este tipo podria considerar-se no constructiva i un constructivista podria rebujar-la. El punt de vista constructiu implica una interpretació verificacional del quantificador existencial, la qual cosa està en desacort en la seua interpretació clàssica.[23] Existixen moltes formes de constructivisme.[24] Entre ells s'inclouen el programa d'intuicionismo de Brouwer, el finitismo d'Hilbert i Bernays, les matemàtiques recursivas constructives dels matemàtics Shanin i Markov, i el programa d'anàlisis constructiu de Bishop.[25] El constructivisme també inclou l'estudi de teories de conjunts constructius com el Zermelo-Fraenkel constructiu i l'estudi de la filosofia.

Alguns constructivista notables inclouen:


  • L. E. J. Brouwer: matemàtic i filòsof holandés considerat un dels més grans matemàtics de el XX, conegut (entre atres coses) per ser pioner del moviment intuicionista cap a la llògica matemàtica i per opondre's al moviment formaliste de David Hilbert (vore: controvèrsia Brouwer-Hilbert).
  • Errett Bishop: matemàtic nortamericà conegut pel seu treball sobre anàlisis. És més conegut per desenrollar l'anàlisis constructiu en el seu llibre Fonaments de l'anàlisis constructiu de 1967, a on va demostrar la majoria de les teoremes importants en l'anàlisis real utilisant métodos constructivista.

Estructuralisme

[editar | editar còdic]

l'estructuralisme sugerix que els objectes matemàtics es definixen pel seu lloc dins d'una estructura o sistema. La naturalea d'un número, per eixemple, no està lligada a cap cosa en particular, sino al seu paper dins del sistema de l'aritmètica. En cert sentit, la tesis és que els objectes matemàtics (si existixen tals objectes) simplement no tenen naturalea intrínseca.[26][27]

Alguns estructuralista notables inclouen:

  • Paul Benacerraf: Filòsof conegut pel seu treball en la filosofia de les matemàtiques, particularment el seu artícul "What Numbers Could Not Be", que advoca per una visió estructuralista dels objectes matemàtics.
  • Stewart Shapiro: Un atre filòsof destacat que ha desenrollat i defés l'estructuralisme, especialment en el seu llibre Filosofia de les matemàtiques: estructura i ontologia.[28]

Objectes versus assignació

[editar | editar còdic]
En matemàtiques, un mapa o mapage és una funció en sentit general; ací com en l'associació de qualsevol de les quatre formes coloreadas en X en el seu color en Y.[29]

Frege va fer una famosa distinció entre funcions i objectes.[30] Segons el seu punt de vista, una funció és un tipo d'entitat "incompleta" que assigna arguments a valors i es denota per mig d'una expressió incompleta, mentres que un objecte és una entitat "completa" i pot denotar-se per mig d'un terme singular. Frege va reduir les propietats i relacions a funcions i per això estes entitats no s'inclouen entre els objectes. Alguns autors utilisen la noció de «objecte» de Frege quan parlen d'objectes abstractes.[31] Pero encara que el sentit de "objecte" de Frege és important, no és l'única manera d'utilisar el terme. Atres filòsofs inclouen propietats i relacions entre els objectes abstractes. I quan el context de fondo per a discutir objectes és la teoria de tipos, les propietats i relacions de tipo superior (per eixemple, propietats de propietats i propietats de relacions) poden ser totes considerades "objectes". Este últim us de «objecte» és intercanviable en el de «entitat». És esta interpretació més àmplia a la que es referixen els matemàtics quan utilisen el terme «objecte».[5]

Llectures adicionals

[editar | editar còdic]
  • Azzouni, J., 1994. Metaphysical Myths, Mathematical Practice. Cambridge University Press.
  • Burgess, John, and Rosen, Gideon, 1997. A Subject with No Object. Oxford Univ. Press.
  • Davis, Philip and Reuben Hersh, 1999 [1981]. The Mathematical Experience. Mariner Books: 156–62.
  • Gold, Bonnie, and Simons, Roger A., 2011. Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. Mathematical Association of America.
  • Hersh, Reuben, 1997. What is Mathematics, Really? Oxford University Press.
  • Sfard, A., 2000, "Symbolizing mathematical reality into being, Or how mathematical discourse and mathematical objects create each other," in Cobb, P., et al., Symbolizing and communicating in mathematics classrooms: Perspectives on discourse, tools and instructional design. Lawrence Erlbaum.
  • Stewart Shapiro, 2000. Thinking about mathematics: The philosophy of mathematics. Oxford University Press.

Vore també

[editar | editar còdic]

Referències

[editar | editar còdic]
  1. ↑ Scheinerman, Edward (2000). «I», Matemàtiques Discretes (en és), International Thomson, pp. 479. ISBN 0-534-35638-9.
  2. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
  3. ↑ Carroll, John W.; Markosian, {{{nom2}}} (2010). An introduction to metaphysics, 1. publ edició, Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82629-7.
  4. ↑ Burgess, John, and Rosen, Gideon, 1997. A Subject with No Object: Strategies for Nominalistic Reconstrual of Mathematics. Oxford University Press. ISBN 0198236158
  5. ↑ 5,0 5,1 Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
  6. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
  7. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
  8. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
  9. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
  10. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
  11. ↑ «Platonism, Mathematical | Internet Encyclopedia of Philosophy» (en en-us). Consultat el 2024-08-28.
  12. ↑ Roibu. «Sir Roger Penrose» (en en-us). Geometry Matters. Consultat el 2024-08-27.
  13. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
  14. ↑ «Mathematical Nominalism | Internet Encyclopedia of Philosophy» (en en-us). Consultat el 2024-08-28.
  15. ↑ Field, Hartry (2016-10-27). Science without Numbers, Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:orso/9780198777915.001.0001. ISBN 978-0-19-877791-5.
  16. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
  17. ↑ «Frege, Gottlob | Internet Encyclopedia of Philosophy» (en en-us). Consultat el 2024-08-29.
  18. ↑ Glock, H.J. (2008). What is Analytic Philosophy?, Cambridge University Press, p. 1. ISBN 978-0-521-87267-6.
  19. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
  20. ↑ Simons, Peter (2009). «Formalism», Philosophy of Mathematics (en en), Elsevier, pp. 292. ISBN 9780080930589.
  21. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
  22. ↑ Nature.177(4506)
    457–458.doi:10.1038/177457a0.
  23. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
  24. ↑ Troelstra, Anne Sjerp (1977a). "Aspects of Constructive Mathematics". Handbook of Mathematical Logic. 90: 973–1052. doi:10.1016/S0049-237X(08)71127-3
  25. ↑ Bishop, Errett (1967). Foundations of Constructive Analysis. New York: Academic Press. ISBN 4-87187-714-0.
  26. ↑ «Structuralism, Mathematical | Internet Encyclopedia of Philosophy» (en en-us). Consultat el 2024-08-28.
  27. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
  28. ↑ Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford University Press, 1997. ISBN 0-19-513930-5
  29. ↑ Halmos, Paul R. (1974). Naive set theory, New York: Springer-Verlag, pp. 30. ISBN 978-0-387-90092-6.
  30. ↑ The Philosophical Review.62(3)
    374–390.ISSN 0031-8108.doi:10.2307/2182877.
  31. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».


Referències

[editar | editar còdic]


Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Objecte_matemàtic&oldid=832208»