Axioma de l'infinit

En teoria de conjunts, el axioma de l'infinit és un axioma que garantisa l'existència d'un conjunt en un número infinit d'elements.

Enunciat

L'axioma de l'infinit assegura l'existència d'un conjunt infinit en el sentit de Dedekind: un conjunt que pot posar-se en correspondència biyectiva en un subconjunt propi de sí mateixa. L'enunciat més habitual es basa en propietat equivalent del conjunt inductivo:

És dir, es postula l'existència d'un conjunt inductivo, és dir, que conté al conjunt buit, i al «successor» x ∪ {x} de cada u dels seus elements x. D'esta manera s'assegura l'existència d'un conjunt que conté als número natural en la construcció conjuntista habitual:

$\mathbb{N}=\bigcap \{Y:Y\text{ es inductivo }\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\dots \}$

Independència

L'axioma de l'infinit (AI) no pot demostrar-se a partir del restant de axioma de la teoria de Zermelo-Fraenkel (ZF), si estos són consistents —denotats en conjunt com ZF−AI—. Pot provar-se que tots ells són certs en restringir-se a un «univers» de conjunts finitos triats en esment (els conjunts hereditariamente finitos). És dir, els axioma de ZF —incloent AI— demostren l'existència d'un modele para ZF−AI+¬AI —ZF substituint AI per la seua negació—. Per lo tant, una demostració de AI a partir de ZF−AI donaria lloc a una demostració de la consistència de ZF−AI, en contradicció en el segon teorema de incompletitud de Gödel. La situació és idèntica en la teoria de conjunts de Von Neumann-Bernays-Gödel.

Referències

• .
• Kunen, Kenneth (1980). «IV. Easy consistency proofs», Set Theory: an introduction to independence proofs (en anglés), Elsevier Science. ISBN 0-444-86839-9.