Teoria de models

En matemàtica, teoria de models és l'estudi de (classes de) estructures matemàtiques tals com grups, cossos, grafos, o inclús univers de teoria de conjunts, en relació en les teories axiomàtiques i la llògica matemàtica. La teoria de models permet atribuir una interpretació semàntica a les expressions purament formals dels llenguages formals. Ademés permet estudiar en sí mateixos els conjunts de axioma, el seu completitud, consistència, independència mútua, i permeten introduir un important número de qüestions metalógicas.

Al mateix temps els llenguages en els que s'ha estructurat la noció de veres i dels que parla la teoria de models són, per lo general, sistemes matemàtics. Les «coses» representades en dits llenguages són també sistemes matemàtics. Per açò, la teoria de models és una teoria semàntica que posa en relació uns sistemes matemàtics en atres sistemes matemàtics. Dita teoria nos proporciona algunes pistes sobre aquella semàntica que posa en relació els llenguages naturals en la realitat. No obstant, ha de tindre's sempre present que no hi ha cap substitut matemàtic per als problemes genuinamente filosòfics. I el problema de la veritat és un problema netament filosòfic.

Padilla Gálvez (2007). Veritat i demostració, Plaça i Valdés, p. 229. OCLC 427520428. ISBN 9788496780194.

Introducció

Informalmente, una teoria matemàtica està formada per un conjunt de teoremes i axioma. Les teoremes són proposicions llògicament deduibles dels axioma. En l'enfocament modern, les teories es conceben com un conjunt de proposicions expressables en un cert llenguage formal que arreplega explícitament el conjunt de símbols de la teoria, els axioma i les regles de deducció. El aparataje anterior definix la sintaxis de la teoria.

En eixe punt, la teoria de models permet definir la semàntica d'una teoria. Aixina un model $𝔘$ és una L-estructura $𝔘=(A,\varphi )$ a on una cadena de signes o sentència del llenguage formal de la teoria correctament formada pot ser interpretada i verificada (és dir, o be la proposició o la seua negació se satisfan en el model). Un model $𝔘$ per a una teoria $𝐓$ és una estructura $𝔘\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}𝐓$ a on els axioma i teoremes de la teoria se satisfan. Per eixemple, el conjunt de número natural constituïxen un model per als axioma de Peano. Un grup matemàtic és un model de la teoria de grups (encara que en este cas existix més d'un model possible, cada grup de fet és un model de la teoria).

Per tant, un model és una estructura a on les proposicions formals de la teoria (és dir, una cadena de signes matemàtics) són interpretables i, per tant, les oracions poden considerar-se com a afirmacions sobre el model. Existix un paralel en el llenguage comú i la realitat, una realitat física o un objecte físic real són anàlecs a un model matemàtic, mentres que una descripció verbal d'eixa realitat física és una teoria per a dit model. Si un model per a un llenguage formal satisfà ademés una oració o una teoria (conjunt d'oracions), es diu model de una oració o teoria. La teoria de models té forts llaços en l'àlgebra i l'àlgebra universal.

Teoria de models finitos

La teoria de models finitos és la part de la teoria de models més propenques al àlgebra universal. De la mateixa manera que atres parts de l'àlgebra universal, i a diferència en atres àrees de la teoria de models, està relacionada principalment en àlgebra finitas, o més generalment, en una σ-estructura finita per a signaturas σ que poden contindre símbols relacionals com en el següent eixemple:

La signatura estàndar per a grafos és σ_grph={I}, a on I és un símbol de relació binaria.

Un grafo és una σ_grph-estructura que satisfà les proposicions $\mathrm{\forall }u\mathrm{\forall }v(uEv\to vEu)$ i $\mathrm{\forall }u\mathrm{\neg }(uEu)$.

Un σ-homomorfisme és una aplicació que commuta en les operacions i preserva relacions de σ. Esta definició du a la noció usual d'homomorfisme de grafos, que té la propietat interessant que un homomorfisme biyectivo no necessita tindre invers. Les estructures també formen part de l'àlgebra universal, despuix de tot, algunes estructures algebraiques tals com a grups ordenats admeten una relació binaria del tipo < "menor que". Lo que distinguix a un model finito d'un àlgebra universal és l'us de proposicions llògiques més generals (com l'eixemple anterior) en lloc d'identitats (en un context de teoria de models l'identitat t=t' s'escriu com una proposició $\mathrm{\forall }{u}_1{u}_2\dots u_n(t=t^{\prime })$.)

La llògica empleada en una teoria de models finitos generalment és més expressiva que una llògica de primer orde, o la llògica estàndar per a la teoria de models més general o les estructures infinites.

Models per a teories llògiques de primer orde

Este artícul s'enfoca en teoria finitaria de models de primer orde d'estructures infinites. La teoria de models finitos, la qual es concentra en estructures finitas, divergix significativament de l'estudi d'estructures infinites tant en els problemes estudiats com en les tècniques usades. La teoria de models en llògiques d'orde superior o llògiques infinitarias està obstaculisada pel fet de que la completitud no es complix per a estes llògiques. Actualment existix un número important de resultats sobre les propietats dels sistemes llògics, tant de primer orde com de segon orde.

Deu tindre's presente que donada una teoria llògica de primer orde, generalment existix més d'un model per a dita teoria, i dits models usualment no són isomorfos. Això significa que els axioma d'una determinada teoria caracterisen en realitat aspectes de diferents tipos d'estructures. Moltes voltes açò és un resultat buscat. Per eixemple, la teoria de grups i els seus axioma definitorios admeten diversos models (cada grup matemàtic de fet és un model de dita teoria). En atres ocasions com en l'intent de formalisar els número real per mig d'una teoria de primer orde es buscava que essencialment existira un model únic, no obstant, el teorema de Löwenheim-Skolem permet vore que existixen diversos models no isomorfos, entre ells els número real convencionals, pero també els números hiperreales constituïxen un atre model no isomorfo a l'anterior que també satisfà els mateixos axioma i teoremes que els número real.

L'existència d'un model permet establir la consistència d'una teoria. L'existència de diferents models pot permetre establir l'independència d'alguns axioma. Essencialment, això és lo que pot establir la teoria de models aplicada a la teoria de conjunts axiomàtica, per eixemple.

Models de ZFC

L'existència de diferents models possibles per als axioma de Zermelo-Fraenkel (ZFC) ha permés establir l'independència del axioma d'elecció i de la hipòtesis del continu d'atres axioma de la teoria de conjunts (els principals resultats es deuen a Paul Cohen (1963) i Kurt Gödel (1938)).

S'ha provat que tant l'axioma d'elecció com la seua negació són consistents en els axioma de Zermelo-Fraenkel de la teoria de conjunts. I l'hipòtesis del continu, és llògicament independent, dels axioma de Zermelo-Fraenkel i l'axioma d'elecció. Estos resultats són eixemples d'aplicacions de la teoria de models a la teoria axiomàtica de conjunts.

Models per a la teoria dels número real

Un eixemple dels conceptes de la teoria de models és la teoria dels número real. Comencem en un conjunt d'individus, a on cada individu és un número real i un conjunt de relacions i/o funcions com { ×, +, −, ., 0, 1 }. Si fem una pregunta "∃ i (i × i = 1 + 1)" en este llenguage, llavors està clar que la sentència és verdadera per a reals, ya que existix tal número real i, a saber la raïl quadrada de 2. Per als número racional, no obstant, la sentència és falsa. Una proposició similar, "∃ i (i × i = 0 − 1)", és falsa en els reals, pero és verdadera en els número complejo, a on i × i = 0 − 1.

Teoria de la demostració

La teoria de models pot amprar-se com a ferramenta en la teoria de la demostració que s'ocupa de lo que es pot provar en sistemes matemàtics daus, i cóm estos sistemes es relacionen entre sí. En principi la teoria de la demostració s'ocupa de la complexitat sintàctica de les teories a diferència de la teoria de models que s'ocupa principalment de les possibilitats semàntiques de la teoria.

Vore també

• Llista de teories de primer orde

Bibliografia

• Wilfrid Hodges, A shorter model theory (1997) Cambridge University Press ISBN 0-521-58713-1
• Wilfrid Hodges, Model theory (1993) Cambridge University Press.
• C. C. Chang, H. J. Keisler Model theory (1977) ISBN 0-7204-0692-7
• David Marker Model Theory: An Introduction (2002) Springer-Verlag, ISBN 0-387-98760-6
• María Manzano, Teoria de Models, (1989), Madrit, Aliança, ISBN 84-206-8126-1
• María Manzano, Model Theory, (1999), Oxford, Oxford University Press, ISBN 0-19-853851-0