Teoria del caos

Archiu:Lorenz system r28 s10 b2-6666.png

Teoria del caos

La teoria del caos és la branca de la matemàtica, la física i unes atres cièncias (biologia, meteorologia, entre elles) que tracta certs tipos de sistemes complexos i sistemes dinàmics no llineals molt sensibles a les variacions en les condicions inicials.

Menudes variacions en dites condicions inicials poden implicar grans diferències en el comportament futur, impossibilitant la predicció a llarc determini. Açò succeïx encara que estos sistemes són en rigor determinista, és dir, el seu comportament pot ser completament determinat coneixent les seues condicions inicials.

La disciplina associada als sistemes caòtics aclarix per qué existix cert tipo de sistemes el comportament dels quals és pràcticament impossible de predir, no només perque són complexos formats per molts elements, sino també aclarix per qué sistemes relativament simples i en pocs graus de llibertat poden ser difícils de predir a llarc determini.

El comportament caòtic existix en molts sistemes naturals, incloent el fluix de decorreguts, les irregularitats del ritme cardíac, el clima i el temps. També ocorre espontàneament en alguns sistemes en components artificials, com el tràfic vehicular. Este comportament pot estudiar-se per mig de l'anàlisis d'un model matemàtic caòtic o per mig de tècniques analítiques com els diagrames de recurrencia i els mapes de Poincaré. La teoria del caos té aplicacions en diverses disciplines, incloent la meteorologia, l'antropologia, la sociologia, la ciència ambiental, l'informàtica, l'ingenieria, l'economia, l'ecologia i la gestió de crisis pandémicas. La teoria va formar la base per a camps d'estudi com els sistemes complexos, la teoria de la vora del caos i els processos de autoensamblaje.

Classificació dels sistemes

Els sistemes dinàmics es poden classificar com:

• Estables, quan dos solucions en condicions inicials suficientment propenques seguixen sent propenques a lo llarc del temps. Aixina, un sistema estable tendix a lo llarc del temps a un punt, o òrbita, segons la seua dimensió (atractor o sumidero).
• Inestables, quan dos solucions en condicions inicials diferents acaben divergint per menudes que siguen les diferències entre les condicions inicials. Aixina un sistema inestable «escapa» dels atractores.
• Caòtics, quan el sistema no és inestable i si ben dos solucions es mantenen a una distància «finita» propenca a un atractor del sistema dinàmic, les solucions es mouen entorn al atractor de manera irregular i passat el temps abdós solucions no són propenques, si be solen ser cualitativamente similars. D'eixa manera, el sistema permaneix confinat en una zona de la seua espai d'estats, pero sense tendir a un atractor fix.

Una de les principals característiques tant dels sistemes inestables com els caòtics és que tenen una gran dependència de les condicions inicials (açò diferencia a abdós tipos dels sistemes estables). D'un sistema del que es coneixen els seus equacions d'evolució temporal característiques, i en unes condicions inicials fixes, es pot conéixer exactament la seua evolució en el temps. Pero en el cas dels sistemes caòtics, una mínima diferència en eixes condicions fa que el sistema evolucione de manera totalment distinta. Eixemples de tals sistemes són el Sistema Solar, les plaques tectónicas, els decorreguts en règim turbulento i els increments de població.

Caos determinista

El caos determinista comprén una série de fenomens trobats en la teoria de sistemes dinàmics, la teoria d'equacions diferencials i la mecànica clàssica. En térmens generals el caos determinista dona lloc a trayectòries associades a l'evolució temporal de forma molt irregular i aparentment azarosa que no obstant són totalment determinista, a diferència del encert genuí. L'irregularitat de les trayectòrias està associada a l'impossibilitat pràctica de predir l'evolució futura del sistema, encara que esta evolució siga totalment determinista.

Definició de caos i atractores

No hi ha una definició universal sobre el caos, pero hi ha tres ingredients en els que tots els científics estan d'acort:

1. Moviment oscilante. Les trayectòrias no s'ajusten a un punt fix, òrbita periòdica o òrbita cuasiperiódica quan el temps tendix a infinit.
2. Determinisme. El sistema no és encertorso sino determinista. El comportament irregular, en dimensió finita, sorgix de la no linealidad. Per això es definix com determinista.
3. Sensibilitat a les condicions. Les trayectòries que comencen prop, en el temps se separen exponencialment. És dir, condicions inicials molt similars acaben donant lloc a comportaments diferents passat un temps suficientment llarc.

Els sistemes caòtics típicament es caracterisen per ser modelizables per mig d'un sistema dinàmic que posseïx un atractor. Per a definir pròpiament un atractor cal recórrer a tecnicismos, i és difícil donar una idea intuïtiva sense ells. En una primera aproximació pot dir-se que un atractor és un conjunt en el que totes les trayectòries propenques convergixen. Els punts fixos i círculs llímit són un eixemple d'això. De la mateixa manera que en la definició del caos, hi ha 3 ingredients universals:

1. Qualsevol trayectòria que estiga en un atractor, estarà en ell per a $t\to \mathrm{\infty }$.
2. Atrauen un conjunt de condicions inicials. El conjunt ho componen les condicions inicials de la seua trayectòria que acabe en el atractor quan $t\to \mathrm{\infty }$.
3. No existixen condicions inicials que satisfacen les dos regles anteriors.

Dins dels atractores es definix com atractor estrany o caòtic al atractor que exhibix dependència sensible en les condicions inicials.

L'importància de la no linealidad en dimensió finita

AP Hi ha dos importants tipos de sistemes dinàmics: les equacions diferencials i els sistemes iterativos de funcions. Les equacions diferencials descriuen l'evolució d'un sistema a temps real i els mapes iterados evolucionen en problemes a on el temps és discret. Abdós són útils per a donar eixemples del caos i també per a analisar solucions periòdiques o caòtiques de les equacions diferencials.

Es diu que un sistema és no llineal quan la potència de les variables d'eixe sistema és diferent a un, hi ha productes entre diferents variables o funcions de les variables, per eixemple:

La majoria de sistemes no llineals són analíticamente irresolubles. En estos casos es pot conseguir alguna solució fent una aproximació, pero es perden solucions físiques. La raó de que les equacions llineals siguen més fàcils d'analisar és que els sistemes llineals es poden separar en parts, resoldre cada una d'elles i juntar les solucions per a obtindre la solució final. El fet és que molts fenomens en la naturalea actuen de forma no llineal.

L'importància que tenen els sistemes en el caos és el següent: es diu que un sistema dinàmic és no sensible quan menuts canvis en les condicions inicials del sistema no originen grans canvis en el procés i resultat final del mateix.

Divergència exponencial de trayectòries propenques

Els atractorés exhibixen una dependència sensible de les condicions inicials. Açò significa que dos trayectòrias que comencen prop una de l'atra divergixen, i cada una tindrà un futur totalment diferent de l'atra. Fent estudis numèrics dels atractores estranys es pot trobar la següent proporció:

a on $\delta (t)$ és el vector que separa 2 trayectòries, ${\delta }_0$ és la separació inicial i $\lambda$ és el exponent Lyapunov. Quan el sistema té un exponent de Lyapunov positiu ($\lambda >0$), es troba un temps d'horisó a on la predicció deixa de ser vàlida. Si es pren $a$ com el valor màxim de la distància acceptable entre dos trayectòries (la predicció serà intolerable quan $\Vert \delta (t)\Vert \ge a$), llavors el temps d'horisó es definix com

Lo pijor del temps d'horisó és que, per molt que es minimise la separació inicial, no conseguirà ser molt més gran. Açò és, encara que es conseguixca una precisió molt bona, l'increment del temps d'horisó que es conseguix serà insignificant comparat en la disminució de ${\delta }_0$. Per açò, Edward Lorenz va dir que era tan difícil predir el temps. Este obstàcul de la predicció es coneix en el nom efecte palometa per una charrada de Lorenz en el títul: ¿Pot el batre de les ales d'una palometa en Brasil donar lloc a un tornado en Texas?.

La sensibilitat a les condicions és tan extremadament exagerada que, aparte del provocatiu títul de la charrada de Lorenz, es troben atres frases com,

Per perdre una tacha, el cavall va perdre la ferradura, el ginet va perdre al cavall, el ginet no va combatre, la batalla es va perdre, i en ella vàrem perdre el regne.

Si es dibuixa una gràfica en els eixos $\ln ||\delta ||$ i $t$, s'observa que per a un curt determini de $t$, la funció es mou al voltant d'una pendent. El valor d'esta pendent equival a l'exponent de Lyapunov. Com s'observa en l'eixemple d'avall, despuix d'un temps la funció no continua prop de la pendent. Açò és degut a que, com el atractor està acotat en un espai del espai de fases, la distància no pot aumentar fins al infinit.

Atractores

AP

El comportament o moviment en un sistema dinàmic pot representar-se sobre el espai de fases. Els diagrames de fases no mostren una trayectòria ben definida, sino que esta és errabunda al voltant d'algun moviment ben definit. Quan açò succeïx es diu que el sistema és atret cap a un tipo de moviment, és dir, que hi ha un atractor.

En parlar de atractores no es fa referència única i exclusivament als atractores caòtics, ya que ans que apareguera el caos es coneixien atres tipos de atractores. D'acort a la forma en que les seues trayectòries evolucionen, els atractores poden ser classificats com:

• Atractor de punt fix: Correspon al més simple, el sistema que tinga un atractor de punt fix tendirà a estabilisar-se en un únic punt. Un eixemple comú és el péndola, que tendix al punt en el que el àngul és nul respecte a la vertical, pel rozamiento en l'aire.
• Atractor de cicle llímit o atractor periòdic: És el segon tipo de atractor més senzill. Este tipo de atractor tendix a mantindre's en un periodo igual per a sempre. Com a eixemple, es pot prendre una péndola alimentada per a contrarrestar la força de rozamiento, per #lo que oscilaria de costat a costat.

• Atractor caòtic: Apareix en sistemes no llineals que tenen una gran sensibilitat a les condicions. Un famós eixemple d'estos atractores és el atractor de Lorenz.

Estos noms es relacionen exactament en el tipo de moviment que provoquen en els sistemes. Un atractor periòdic, per eixemple, pot guiar el moviment d'un péndola en oscilacions periòdiques; no obstant, la péndola seguirà trayectòries erráticas al voltant d'estes oscilacions degudes a atres factors menors no considerats.

Eixemples de atractores

Es vorà una introducció d'estos distints tipos de atractores en un model matemàtic molt usat per a explicar el caos. Consistix en una vareta d'acer en un extrem fixat a un soport i l'atre lliure per a oscilar entre dos imans colocats simétricamente. El soport de la vareta es troba somés a una força harmònica $F=f\cos \omega t$, com s'observa en la figura del model matemàtic.

És fàcilment observable que quan la vareta està en posició vertical, hi ha un punt d'equilibri inestable entre dos punts d'equilibri estables situats simétricamente. El potencial d'este sistema és

de modo que l'equació de moviment serà,

Si ara s'agrega una força de rozamiento de l'aire proporcional a la velocitat (-$\gamma \dot{x}$) i una força externa harmònica, es conseguix l'equació de Duffing:

$\begin{array}{c}\ddot{x}+\gamma \dot{x}-x+x^3=f\cos \omega t\end{array}$

A continuació es veu cóm el terme no llineal $x^3$ té conseqüències dinàmiques sorprenents.

γ = 0, f = 0.	γ = 0.2, f = 0.

Suponent que inicialment no es té fricció ($\gamma =0$) ni força externa ($f=0$), el sistema és conservativo i es tindrà una integral primera que proporciona les trayectòries en el espai de fases $(x,\dot{x})$:

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\dot{x}}^2-\frac{1}{4}{x}^2(2-x^2)=E\end{array}$

En els mínims de la energia potencial s'observa que els punts són estables mentres que el màxim correspon a un punt de cadira inestable. Les trayectòrias d'energia nula són òrbites homoclínicas que es troben tant en la varietat estable com en l'inestable. Les demés trayectòries corresponen a oscilacions periòdiques les òrbites de les quals tanquen un sol punt estable ($E<0$) o abdós ($E>0$).

Si ara es té en conte el rozamiento, s'obtindran oscilacions amortiguadas, per #lo que és llògic pensar que el sistema perdrà energia monòtonament, mentres el temps transcórrega. En conseqüència, les trayectòries tendiran a un dels atractores de punt fix.

Si ara, ademés del rozamiento, s'introduïx una força externa harmònica que contrarresta a la força de rozamiento, el sistema ya no tendirà a l'equilibri. En ser una força harmònica es troben solucions periòdiques (cicles llímit), pero res a vore en els periodos dels que es parla quan el sistema és conservativo ($\gamma =f=0$). En este cas els periodos són independents de l'energia per la força de rozamiento i l'harmònica, aixina que els periodos depenen de la força harmònica externa.

En aumentar la força externa ($f=0.3$), les òrbites periòdiques desapareixen i oscilen sense cessar sense cap regularitat. Ademés de l'irregularitat del sistema, est exhibix una gran sensibilitat a les condicions inicials per lo que nos trobem davant un atractor estrany (o caòtic).

En conclusió, per a que hi haja caos en dimensió finita es necessita que es complixquen els següents 3 punts en un sistema:

1. El sistema deu ser no llineal.
2. El sistema deu tindre mínim 3 variables (pot ser per eixemple de 2 variables i no autònom).
3. El sistema deu tindre dependència sensible a les condicions inicials.

γ = 0.2, f = 0.3.	γ = 0.2, f = 0.23.

Quan el model matemàtic tenia $f=0$ era un sistema no llineal, pero en introduir $f=0.23$ es conseguix la tercera variable, el temps. Encara que no tenia dependència a les condicions inicials. Per això s'ha de remarcar que el caos implica que el sistema siga de 3 o més variables, pero 3 o més variables no impliquen que hi haja caos.

Una manera de visualisar el moviment caòtic, o qualsevol tipo de moviment, és fer un diagrama de fases del moviment. En tal diagrama el temps està implícit i cada eix representa una dimensió de l'estat. Per eixemple, un sistema en repòs serà dibuixat com un punt, i un sistema en moviment periòdic serà dibuixat com un círcul.

Atractores estranys

La majoria dels tipos de moviments mencionats en la teoria anterior succeïxen al voltant de atractores molt simples, tals com a punts i curves circulares cridades cicles llímit. En canvi, el moviment caòtic està lligat a lo que es coneix com atractores estranys, que poden aplegar a tindre una enorme complexitat com, per eixemple, el model tridimensional del sistema climàtic de Lorenz, que du al famós atractor de Lorenz. El atractor de Lorenz és, potser, un dels diagrames de sistemes caòtics més coneguts, no solament perque va ser un dels primers, sino també perque és un dels més complexos i peculiars, puix desenvuelve una forma particular, semblada a les ales d'una palometa.

Els atractores estranys estan presents tant en els sistemes continus dinàmics (tals com el sistema de Lorenz) com en alguns sistemes discrets (per eixemple, la aplicació de Hénon). Atres sistemes dinàmics discrets tenen una estructura repelent, de tipo conjunt de Julia, la qual es forma en el llímit entre les conques de dos punts d'atracció fixos. Julia pot ser no obstant un atractor estrany. Abdós, atractores estranys i atractores tipo conjunt de Julia, tenen típicament una estructura de fractal.

El teorema de Poincaré-Bendixson mostra que un atractor estrany solament pot presentar-se com un sistema continu dinàmic si té tres o més dimensions. No obstant, tal restricció no s'aplica als sistemes discrets, els quals poden exhibir atractores estranys en dos o inclús una dimensió.

Una miqueta més de atractores

Els atractores estranys són curves del espai de fases que descriuen la trayectòria elíptica d'un sistema en moviment caòtic. Un sistema en estes característiques és impredictible, conéixer la seua configuració en un moment donat no permet predir-la en certea en un moment posterior. De tots modos, el moviment no és absolutament aleatori.

En la majoria de sistemes dinàmics es troben elements que permeten un tipo de moviment repetitiu i, a voltes, geomètricament establit. Els atractores són els encarregats de que les variables que inicien en un punt de partida mantinguen una trayectòria establida, i lo que no es pot establir d'una manera precisa són les oscilacions que les variables puguen tindre en recórrer les òrbites que apleguen a establir els atractores. Per eixemple, és possible vore i de certa manera prevore la trayectòria d'un satèlit al voltant de la Terra; lo que apareix, en este cas, com alguna cosa indeterminat són els moviments i inconvenients varis que se li poden presentar a l'objecte per a efectuar este recorregut.

Transformació del panader

En els atractorés estranys s'observen òrbites irregulars, que les trayectòrias divergixen exponencialment i que permaneixen en un espai de fases acotat. Per a explicar estes propietats s'usarà la transformació del panader que consistix en un doble procés d'estirar i plegar.

Este procés doble d'estirar (per a separar exponencialment les trayectòries) i plegar (per a que la regió de l'espai de fases es mantinga acotat) és un mecanisme fonamental del caos determinista. A este procés se li denomina transformació del panader, perque el procés de homogeneizar la massa consistix també en estirar (per a homogeneizar) i plegar (per a tindre unes dimensions manejables) la massa repetides voltes.

En repetir infinites voltes el procés, es conseguixen infinites capes que li donen al atractor una estructura fractal. Un eixemple d'açò es pot apreciar en el atractor de Rössler. Veent el gràfic s'observa cóm en el número 1 s'estira i en el 3 es plega. Agarrant el 3 i tornant a aplicar el procés, s'obté el doble de capes.

Un atre eixemple per a explicar la trasformación és la equació de Duffing. En este cas com $f\ne 0$ l'espai de fases és tridimensional. Pero en aparéixer $t$ en un coseno, una dimensió és cíclica, per #lo que per a visualisar el atractor es considera una secció estroboscópica per a valors $t=t_0+2n\pi$, ($n=0,1,\mathrm{...})$.

En el següent dibuix hi ha 16 seccions per lo que $t_0=(k-1)\pi /8$, ($k=1,2,\mathrm{...},16$)

Breu història

El caos i els fractalés són part d'un tema més ampli, la dinàmica, branca de la física que va escomençar a mitan de 1600 quan Isaac Newton va descobrir les equacions diferencials, les lleis de moviment i la gravitació general. En estos elements Newton va resoldre problemes de dos cossos que interactuen per mig de la gravetat pero, #lo que de veres li cridava l'atenció era el moviment de la Lluna i la seua generalisació coneguda en el nom de problema dels tres cossos. Les següents generacions de matemàtics i físics varen tractar problemes de tres cossos i varen notar que resultaven molt més difícils que els problemes de dos cossos, fins al punt de donar-los com a impossibles.

El determinisme laplaciano

AP En 1776 el matemàtic francés Pierre Simon de Laplace va començar a publicar els 5 volums del Traité de Mécanique Céleste, a on l'autor afirmava categòricament que, si es coneguera la velocitat i la posició de totes les partícules del univers en un instant, es podria predir el seu passat i el seu futur. Durant més de 100 anys la seua afirmació va semblar correcta i, per això, es va aplegar a la conclusió de que el lliure albir no tenia espai en mecànica clàssica, ya que tot estava determinat per l'estat de l'univers en un temps anterior.

El determinisme laplaciano consistia en afirmar que, si es coneixen les lleis que governen els fenomens estudiats (i estes són determinista com en mecànica clàssica), es coneixen les condicions inicials i s'és capaç de calcular la solució, llavors es pot predir en total certea el futur del sistema estudiat.

El cuestionamiento de Poincaré

A finals de el XIX Henri Poincaré (1854-1912), matemàtic francés, va introduir un nou punt de vista en preguntar-se si el Sistema Solar seria estable per a sempre. Poincaré va ser el primer en pensar en la possibilitat del caos, en el sentit d'un comportament que depenguera sensiblement en les condicions inicials. En 1903 Poincaré postulava sobre lo aleatori i de l'encert en els següents térmens:

L'encert no és més que la mida de l'ignorança de l'home.

reconeixent, al mateix temps, l'existència d'innumerables fenomens que no eren completament aleatoris, sino que simplement no responien a una dinàmica llineal; aquells a on menuts canvis en les condicions inicials conduïen a enormes canvis en el resultat.

Algunes propietats identificades per Poincaré i que feyen impossible la predicció a llarc determini es varen trobar en la pràctica en sistemes físics tals com el clima, la sanc fluint a través del cor, les turbulèncias, les formacions geològiques, els emboços de vehículs, les epidèmias, la bossa i la forma en que les flors florixen en un prat.

L'aporte de Lorenz

El començ de la recent història del caos se situa en la década de 1950 quan es varen inventar els ordenadorés i es varen desenrollar algunes intuïcions sobre el comportament dels sistemes no llineals. Açò és, quan es varen vore les primeres gràficas sobre el comportament d'estos sistemes per mig de métodos numèrics. En 1963 Edward Lorenz treballava en unes equacions, les mundialment conegudes com equacions de Lorenz, que esperava predigueren el temps en la atmòsfera, i va tractar per mig dels ordenadors de vore gràficament el comportament de les seues equacions. Els ordenadors d'aquella época eren molt llents, per això es diu que Lorenz va ser a prendre un té mentres l'ordenador feya els càlculs, i quan va tornar es va trobar en una figura que ara es coneix com atractor de Lorenz.

Va pensar que s'havia comés algun error en eixecutar el programa i ho va intentar repetides voltes, conseguint sempre el mateix resultat fins que es va donar conte de que alguna cosa passava en el sistema d'equacions simplificat en el que estava treballant. Despuix d'estudiar detenidamente el problema i fer proves en diferents paràmetros (tant inicials com les constants del sistema), Lorenz va aplegar a la conclusió de que les simulacions eren molt diferents per a condicions inicials molt pròximes. En aplegar a la mateixa, va recordar que en el programa que ell havia creat per al seu sistema de meteorologia en la computadora o ordenador Royal McBee, es podien introduir un màxim de 3 decimals per a les condicions inicials, encara que el programa treballava en 6 decimals i els 3 últims decimals que faltaven s'introduïen aleatoriamente. Lorenz va publicar els seus descobriments en revistes de meteorologia, passant desapercebuts durant casi una década.

La década de 1970 va ser el «auge del caos». En 1971 David Ruelle i Floris Takens varen propondre una nova teoria per a la turbulència de decorreguts basada en un atractor estrany. Anys despuix el ecólogo teòric Robert May en 1976 va trobar eixemples de caos en dinàmica de poblacions usant l'equació llogística discreta. A continuació va aplegar el més sorprenent descobriment de tots de la mà de Feigenbaum. Est va descobrir que hi ha un conjunt de lleis universals concretes que diferencien la transició entre el comportament regular i el caos, per tant, és possible que dos sistemes evolucionen cap a un comportament caòtic semblant.

Equacions de Lorenz

AP El primer sistema d'equacions ben caracterisat que exhibia comportament caòtic va ser el sistema d'equacions propost per Lorenz:

a on $\sigma$ és el número de Prandtl (viscosidad/conductivitat tèrmica), $r$ és el número de Rayleigh (John Strutt) (diferència de temperatura entre base i top) i $b$ és la raó entre la llongitut i altura del sistema.

Lorenz va observar dos coses fonamentals que ocorrien en la seua equació:

1. Qualsevol diferència en les condicions inicials abans dels càlculs, inclús infinitesimal, canviava de forma dràstica els resultats. Tan solament es podia predir el sistema per curts periodos. Duent això a la meteorologia, suponia lo que es va cridar efecte palometa, hipersensibilidad a les condicions inicials.
2. A pesar de lo anterior, la impredecibilidad del sistema, llunt de ser un comportament a l'encert, tenia una curiosa tendència a evolucionar dins d'una zona molt concreta del espai de fases, situant una espècie de pseudocentro de gravetat dels comportaments possibles.

Les equacions de Lorenz varen ser propostes com un model molt simplificat de la convecció en forma d'anells que sembla ocórrer a voltes en la atmòsfera terrestre. Per això, les tres magnituts a les que Lorenz es referix en el seu sistema són,

• $x\to$ Raó de rotació de l'anell.
• $y\to$ Gradient de temperatura.
• $z\to$ Desviació de la temperatura respecte a la seua valor d'equilibri.

Lorenz va descobrir que el seu sistema contenia una dinàmica extremadament errática. Les solucions oscilaven irregularment sense aplegar a repetir-se, encara que ho feyen en una regió acotada de l'espai de fases. Va vore que les trayectòrias rondaven sempre al voltant de lo que ara es definix com atractor estrany. El sistema de Lorenz és disipativo.

Aplicacions

La teoria del caos i la teoria de sistemes dinàmics conten actualment en numeroses aplicacions tant en ciències naturals com en tecnologia i ciències socials. S'han desenrollat aplicacions pràctiques en el camp del control, la caracterisació i la modelació de sistemes complexos. Durant les quatre décades que varen seguir als anys 1960 va aumentar molt la lliteratura sobre els sistemes complexos i la teoria del caos, aixina com les temàtiques i aplicacions allumenades a raïl de l'investigació en dit camp interdisciplinar.

En Teoria del Caos, el tercer paradigma, s'explica cóm la estadística inferencial treballa en models aleatoris per a crear séries caòtiques predictoras per a l'estudi d'events presumiblement caòtics en les ciències socials.

En meteorologia

AP El temps atmosfèric, ademés de ser un sistema dinàmic, és molt sensible als canvis en les variables inicials; és un sistema transitivo i també les seues òrbites periòdiques són denses, #lo que fa del temps un sistema apropiat per a treballar-ho en matemàtica caòtica. La precisió de les prediccions meteorològiques és relativa, i els percentages anunciats tenen poc significat sense una descripció detallada dels criteris amprats per a jujar l'exactitut d'una predicció.

Al final de el XX s'ha tornat comuna atribuir-los una precisió d'entre 80 i 85 % en determinis d'un dia. Els models numèrics estudiats en la teoria del caos han introduït considerables millores en l'exactitut de les previsions meteorològiques en comparació a les prediccions anteriors, realisades per mig de métodos subjectius, en especial per a periodos superiors a un dia. Actualment és possible demostrar la confiabilidad de les prediccions específiques per a periodos de fins a cinc dies gràcies a la densitat entre les òrbites periòdiques del sistema i s'han conseguit alguns èxits en la predicció de variacions anormals de la temperatura i la pluviosidad per a periodos de fins a 30 dies.

Abans de l'aparició de la teoria del caos, es pensava que per a que el temps aplegara a ser predit en exactitut newtoniana no era més que una qüestió d'introduir més i més variables en un ordenador lo suficientment potent com per a processar-les. No obstant, d'unes poques variables de fa tan sol unes décades s'ha passat a considerar centenars de mils de variables sense conseguir la predictibilidad esperada. El temps atmosfèric, com a sistema caòtic, ha d'entendre's com un sistema impredictible dins d'un atractor que li conferix cert orde a través de les estacions. Més recentment s'ha provat que el caràcter caòtic del temps atmosfèric té que vore en les propietats geomètriques del grup d'evolució del sistema climàtic terrestre, en concret dit grup pot dotar-se de l'estructura d'una varietat de Riemann de dimensió infinita en curvatura negativa, la qual cosa implica que curves arbitrariamente propenques acaben divergint en el temps. Estos resultats sugerixen una impossibilitat pràctica de predir el temps atmosfèric a mig i llarc determini. S'ha estimat que una predicció a dos mesos vista requeriria conéixer les condicions inicials en una precisió unes 100 mil voltes superior a la precisió obtinguda per dita predicció. El clima, per una atra part, en tractar-se del temps atmosfèric promig no és tan sensible a les condicions inicials, #lo que resulta en un sistema no caòtic. En conseqüència, la capacitat de predicció del clima, a diferència de la del temps, depén del coneiximent de tots els forzamientos radiativos que alteren el balanç energètic de la Terra i no d'una gran precisió en la mida dels valors inicials.

En economia

És possible que els models econòmics també puguen millorar-se per mig de l'aplicació de la teoria del caos, pero predir l'estat d'un sistema econòmic i quins factors influïxen més en ell és una tasca extremadament complexa.

Segons algunes interpretacions, els sistemes econòmics i financers són fonamentalment diferents dels de les ciències naturals clàssiques, ya que els primers són inherentemente de naturalea estocàstica, ya que resulten de les interaccions de les persones i, per lo tant, és poc provable que els models determinista purs proporcionen representacions precises. de les senyes. La lliteratura empírica que prova el caos en economia i finances presenta resultats molt variats, en part per la confusió entre proves específiques per al caos i proves més generals per a relacions no llineals.

El caos es pot trobar en l'economia per mig de recurrence quantification analysis (i.i. anàlisis de quantificació de recurrencia). De fet, Orlando et al. per mig del cridat índex de correlació de quantificació de recurrencia varen ser capaces de detectar canvis amagats en les séries temporals. Després, es va amprar la mateixa tècnica per a detectar transicions de fases laminares (regulars) a turbulentas (caòtiques), aixina com diferències entre variables macroeconòmiques i resaltar característiques amagades de la dinàmica econòmica. Finalment, el caos podria ajudar a modelar el funcionament de l'economia, aixina com a incorporar shocks per events externs com el COVID-19.

En medicina

L'anàlisis de les séries temporals procedents d'electrocardiogramas i encefalogramas que en alguns detalls presenten detalls aparentment aleatoris, semblen estar generats per una dinàmica que de fet és un sistema caòtic. Els exponents i paràmetros matemàtics que caracterisen dites séries han pogut ser usats com a mig de diagnòstic de certes patologies. Açò permet un diagnòstic precoç d'algunes d'eixes patologies.

Previsió provabilística i anàlisis de riscs

Molts sistemes caòtics, com a terremots, incendis forestals, fluctuacions de preus en els mercats de valors, etc., exhibixen distribucions de lleis de potència subjacents. Per a estos sistemes, el pronòstic provabilístic, basat en el coneiximent de la distribució, pot tindre èxit inclús quan les prediccions determinista no són viables. Este enfocament s'ha utilisat habitualment en les últimes décades per a l'anàlisis de riscs en camps com l'ingenieria sísmica, els estudis migambientals, l'economia i les finances. Per eixemple, en colocar una orde de compra o venda d'accions o atres productes financers, no podem saber si la variació del preu serà favorable. No obstant, en base en el coneiximent de la distribució de provabilitat de les fluctuacions de preus (en valor absolut), podem estimar la provabilitat de que nostra pèrdua supere un llindar determinat dins d'un ranc de temps específic, com a diari, semanal, anual, etc.

Vejau també

• Artículs sobre teories vàries.
• Oscilador de van der Pol
• Aleatoriedad
• Caos
• Fractal
• Dinàmica de sistemes
• Problema dels tres cossos
• Problema dels n cossos
• Estabilitat del sistema solar
• Ilya Prigogine
• René Thom

Referències

Bibliografia

• (anglés) Kathleen T. Alligood, Tim Sauer et James A. Yorke, Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1997 ISBN 978-0-387-94677-1
• (anglés) Vladimir Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, 2Plantilla:I édition, 1989 ISBN 0-387-96890-3.
• (anglés) Vladimir Arnold, V.V. Kozlov et A.I. Neishtadt, Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag (2Plantilla:I édition-1993). Unix synthèse de l'état de l'art en mécanique céleste, parell l'un dones plus brillants mathématiciens du domaine (Arnold) et ses collaborateurs. À partir du second cycle universitaire.
• (anglés) Vladimir Arnold i André Avez, Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley, 1988.
• (anglés) Vladimir Damgov, Nonlinear and parametric phenomena - Applications in radiophysical and mechanical systems, World Scientific, Séries on Nonlinear Sciences, 2004.
• González-Miranda, J. M. (2004). Synchronization and Control of Chaos. An introduction for scientists and engineers, Imperial College Press.
• Gutzwiller, Martin (1990). Chaos in Classical and Quàntum Mechanics, Springer-Verlag New York, LLC.
• (anglés) Robert May, Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics, Nature, Vol. 261, p. 459, 10 de juny de 1976.
• Moon, Francis (1990). Chaotic and Fractal Dynamics, Springer-Verlag New York, LLC.
• Perpinyà, Núria (2021). Caos, virus, calma. La Teoria del Caos aplicada al desórden artístic, social i polític. Pàgines de Bromera. ISBN 978-84-8393-288-9
• Orlando G., Pisarchik A., Stoop R. (2021). Nonlinearities in Economics: An Interdisciplinary Approach to Economic Dynamics, Growth and Cycles, Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-030-70982-2.
• Ott, Edward (2002). Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press New, York.
• (en francés) Henri Poincaré, Els méthodes nouvelles de la mécanique céleste, 3 volumes, Éditions Gauthiers-Villars, 1892
• (en francés) Jacques Hadamard, Els surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de mathématiques pures et appliquées 4 (1898), 27. Pour unix revue plus resen-te, voir i.g. la référence suivante : Pierre Pansu, Li flot géodésique dones variétés Riemanniennes à courbure négative, Séminaire Bourbaki 738 (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.
• Hoover, William Graham (1999,2001). Clave Reversibility, Computer Simulation, and Chaos, World Scientific.

• (anglés) T. W. B. Kibble et F.H. Berkshire, Classical Mechanics, Prentice Hall, 4Plantilla:I édition, 1997 ISBN 0-582-25972-X.
• (anglés) David Ruelle, Deterministic chaos: the science and the fiction, Proceedings of the Royal Society London A 427 (1990), 241-248
• (anglés) David Ruelle et Jean-Pierre Eckman, Ergodic theory of chaos and strange attractors, Review of Modern Physisc 57 (1985), 617-656
• Solé, R. V., i Manrubia, S. C. (2001). Orde i caos en sistemes complexos. Universitat Politècnica de Catalunya, ISBN 9788483014301
• Sants-Burguete (2018). Física del caos en la predicció meteorològica, 2019-06-21 edició (en Espanyol), Madrit: Agència Estatal de Meteorologia (AEMET), pp. 1198.http://dx.doi.org/10.31978/014-18-009-X

Enllaços externs

Commons

• Archiu:Commons-logo.svg Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Teoria del caos.
• Artícul divulgatiu sobre el creixent aporte de la Teoria del Caos en Medicina Servici de divulgació científica DivulgaUNED (Universitat Nacional d'Educació a Distància d'Espanya, octubre de 2009).
• #Alcanç i llimitacions de la Teoria del Caos aplicada a l'anàlisis del Comportament Organizacional, Cultural i la necessitat del canvi De l'Universitat Peruana de Ciències Aplicades
• Fonaments matemàtics de la sinergética. Caos, estructures i simulació per ordenador
• Modelat i Simulació d'un Oscilador Caòtic usant MatLab [1] archivat en Wayback Machine.