Filosofia de les matemàtiques

Principia Mathematica, una de les obres més importants sobre filosofia de les matemàtiques.

La filosofia de les matemàtiques és un àrea de la filosofia teòrica que tracta de comprendre i explicar els requisits, l'objecte, el método i la naturalea de les matemàticas. Com a àrea d'estudi pot ser aproximada des de dos direccions: el punt de vista dels filòsofs i el dels matemàtics. Des del punt de vista filosòfic, l'objectiu principal és dilucidar una varietat d'aspectes problemàtics en la relació entre les matemàtiques i la filosofia. Des del punt de vista matemàtic, l'interés principal és proveir al coneiximent matemàtic de fonaments ferms. És important mantindre present que encara que estos dos enfocaments poden implicar diferents esquemes i interessos, no són oposts, sino més be complementaris: «Quan els matemàtics professionals s'ocupen dels fonaments de la seua disciplina, es diu que es dediquen a la investigació fonamental (o treball fundacional o de fonaments.- vore Metamatemática). Quan els filòsofs professionals investiguen qüestions filosòfiques relatives a les matemàtiques, es diu que contribuïxen a la filosofia de les matemàtiques. Per supost, la distinció entre la filosofia de les matemàtiques i els fonaments de les matemàtiques és vaga, i quant major interacció hi haja entre els filòsofs i els matemàtics que treballen en qüestions relatives a la naturalea de les matemàtiques, millor.».

• D'acort a Jeremy Avigad (professor de ciències matemàtiques i de filosofia en l'Universitat Carnegie Mellon) “el coneiximent matemàtic ha segut considerat per molt temps com un paradigma del coneiximent humà en veritatés que són al mateix temps necessàries i certes, per lo que donar una explicació del coneiximent matemàtic és una part important de l'epistemologia. Els objectes matemàtics, tals com els números i els conjunts, són eixemples arquetípicos de abstracció, ya que el tractament que reben en el nostre discurs és el d'objectes independents del temps i l'espai. Trobar un lloc per als objectes d'este tipo en un marc més ampli del pensament és una tasca central de l'ontologia, o metafísica. El rigor i la precisió del llenguage matemàtic es deu a que està basat en un vocabulari llimitat i una gramàtica molt estructurades, i les explicacions semànticas del discurs matemàtic a sovint servixen com a punt de partida de la filosofia del llenguage. Encara que el pensament matemàtic ha demostrat un alt grau d'estabilitat a través de l'història, la seua pràctica també ha evolucionat en el temps, i alguns desenrolls han provocat controvèrsia i debat; clarificar els objectius bàsics d'esta pràctica i els métodos apropiats és, per lo tant, una tasca metodològica i fundacional important que situa a la filosofia de les matemàtiques dins de la filosofia general de la ciència.

• D'acort en Bertrand Russell, les matemàtiques són una disciplina que, quan es partix de les seues porcions més familiars, pot portar-se a terme en qualsevol de dos direccions opostes (una busca l'expansió del coneiximent, l'atra donar-li fonaments: Nota del traductor). Pero es deu entendre que la distinció és una, no en la matèria objecte, sino en l'estat de la ment de l'investigador...(...)... aixina com necessitem dos tipos d'instruments, el telescopi i el microscopi, per a l'ampliació de les nostres capacitats visuals, de la mateixa manera necessitem dos tipos d'instruments per a l'ampliació de les nostres capacitats llògiques, un per a fer-nos alvançar cap a les matemàtiques superiors, i l'atre que nos duga cap a arrere, cap als fonaments llògics d'allò que estem inclinats a donar per assentat en les matemàtiques. Vorem que per mig de l'anàlisis de les nocions matemàtiques ordinàries s'adquirix una nova perspectiva, nous poders, i els mijos d'aplegar a nous temes matemàtics complets, per mig de l'adopció de noves llínees d'alvanç, seguint el nostre viage cap a arrere.

Com ya s'ha sugerit, estes aproximacions no són conflictives. En les paraules d'Imre Lakatos:

«En discutir els esforços moderns per establir els fonaments del coneiximent matemàtic un tendix a oblidar-se de que es tracta solament d'un capítul en el gran esforç de superació del escepticisme establint els fonaments per al coneiximent en general. L'objecte de la meua contribució és mostrar que la filosofia matemàtica moderna està profundament arrelada en l'epistemologia general i solament es pot comprendre en eixe context». (émfasis de Lakatos).

Introducció

Des de l'antiguetat la filosofia ha tingut interés en, per lo manco, certs aspectes de la matemàtica. En les paraules de Miguel de Guzmán: "Pero hi ha atres aspectes interessants de la matemàtica que atrauen de modo natural al filòsof. La dinàmica interna del pensament matemàtic, la llògica de la seua estructura, simple, tersa, sòbria, clara, fan d'ella un model de reflexió fiable que suscita el consens de tots. Els filòsofs interessats en aclarir els misteris del coneiximent humà han vist en el pensament matemàtic un camp ideal de treball a on posar a prova les seues hipòtesis i teories.". Mario Bunge va més llunt i aplega a sugerir que les matemàtiques són no només el fonament del quefer científic sino també del filosòfic.

Per molt d'eixe temps l'opinió general era la que Carl Friedrich Gauss va resumir: «La matemàtica és la reina de les ciències i l'aritmètica és la reina de les matemàtiques. Ella a sovint es digna a prestar un servici a l'astronomia i a atres ciències naturals, pero en totes les relacions, té dret a la primera fila». Esta preeminència es devia a una percepció que, últimament, emana de Platón: "En les matemàtiques es troba l'orige i fonament de la teoria platònica de les formes o idees. En esta l'idealisació dels ents matemàtics es transforma en l'idealisació dels ents físics i psíquics. La veritat matemàtica, per la seua invariabilidad en el temps, era el model a seguir en tot coneiximent intelectual. El método deductivo, que partint d'axioma i definicionés aplegava a la demostració de teoremas, era el model prestigiós de raonament per a tot saber. En el diàlec "Menón" Sócrates,  a través de preguntes i respostes, fa que un esclau alcance pel seu propi raonament una veritat matemàtica; aixina, d'una manera popular, expon Platón que les matemàtiques estan en l'ànima humana, ya que en esta es troba present el logos que governa el món material per mig de les proporcions aritmètiques i geomètriques. Només es requerix l'introspecció per a tornar-nos conscients d'eixe saber intern.".

Eixa posició és generalment coneguda com realisme; platonisme o realisme platònic i "de manera molt esquemàtica, pot sintetisar-se en la creència de que els objectes matemàtics són reals i la seua existència és un fet objectiu i independent del nostre coneiximent dels mateixos.... existixen fòra del espai i del temps de l'experiència física i qualsevol pregunta significativa sobre ells té una resposta definida. Aixina el matemàtic és, en este sentit, com un científic empíric que no pot inventar ni construir sino solament descobrir alguna cosa que ya existix. D'acort en el físic Paul Davies: "Els científics no usen les matemàtiques simplement com una forma convenient d'organisar les senyes. Creuen que les relacions matemàtiques reflectixen aspectes reals del món físic."

No obstant, cap a fins de el XIX esta situació va començar a canviar, procés que eventualment va culminar, a fins de el XIX i començ de el XX, en l'anomenada crisis dels fonaments: "L'image tradicional de les matemàtiques (formal i infalible) va ser qüestionada a raïl de la cridada "crisis dels fonaments de les matemàtiques", que va succeir en el sigle XIX. Dita "crisis" es va originar principalment per dos descobriments: primer el de les geometria no euclidianas i, segon, el de la teoria dels conjunts."

Eixa situació ha segut resumida de la següent manera

"Fins a ben entrat el XIX, la geometria era universalment considerada la branca més ferma del coneiximent.... La Geometria era, simplement, l'estudi de les propietats de l'espai. Estes es manifestaven com a veritats objectives, universalment vàlides per a la ment humana.

Durant el XIX varen succeir “varis desastres que anaven a canviar completament esta situació. El primer va ser el descobriment de geometria no euclídeas, al que immediatament va seguir un atre desastre major: el desenroll del anàlisis per camins contraris a l'intuïció geomètrica (curves que omplin l'espai, funcions contínues no diferenciables, etc.) lo que va posar de manifest la gran vulnerabilitat de l'únic fonament que fins a llavors tenien les Matemàtiques: l'intuïció geomètrica. Açò era una autèntica catàstrofe posat que en algun sentit implicava la pèrdua de la certea, no solament en la Matemàtica sino en tot el coneiximent humà.

Es va pensar llavors buscar una atra “base segura” per a fonamentar les Matemàtiques, i aixina Dedekind i Weierstrass varen mostrar com era possible construir l'anàlisis -el continu- a partir de l'Aritmètica. Semblava que tot tornava a estar en orde, puix ningú dubtava de la certea proporcionada per la nostra intuïció de contar i aixina els número entero serien la nova base segura per a tot l'edifici matemàtic... (vore programa de Hilbert).

Pero l'intent de fonamentar rigorosament la Matemàtica anava a ser dut un pas més llunt per Frege, qui va començar un ambiciós programa per a basar les Matemàtiques en la Llògica -a través de l'Aritmètica. Est va ser el punt de partida de la escola logicista que més vesprada seria continuada per Russell i Whitehead. L'idea logicista consistia en demostrar que la Matemàtica clàssica era part de la llògica, de modo que una volta culminat el seu programa podria assegurar-se que la Matemàtica estava lliure de contradicció a lo manco en la mateixa mida que la pròpia llògica.

No obstant, ya en eixe moment s'havien fet descobriments que anaven a sacsar completament este optimisme deixant de nou a la Matemàtica sense fonaments segurs. En efecte, la construcció del continu a partir de l'Aritmètica es basava en la Teoria de Conjunts de Cantor (vore hipòtesis del continu), que també havia segut utilisada per Frege en els seus fundamentación de l'Aritmètica. Pero la teoria de Cantor, i en particular la seua hipòtesis bàsica sobre l'existència de conjunts tancada en la seua definició: “un conjunt és qualsevol colecció d'objectes distints de la nostra intuïció o el nostre pensament”, que pot ser traduïda per “qualsevol condició determina un conjunt”, anava a revelar-se inconsistente."

Eixa crisis va donar orige a vàries tentatives de resolució, lo que, a la seua volta, va donar orige a tres corrents principals: les escoles intuicionista, logicista i formalista (eixa és la visió general o comuna, alguns inclouen atres escoles, tals com el fenomenalismo d'Husserl). Argumentablemente eixes tentatives varen ser infructuoses lo que va donar orige a atres escoles, tant derivades de les anteriors com d'atres percepcions bàsiques -per eixemple, del empirisme. No obstant, i argumentablemente, la situació encara no s'ha resolt del tot.

Problemes

En referència a tot lo anterior hi ha algunes interrogants fonamentals i sistemàtiques, tals com:

1. el modo de ser dels objectes matemàtics: ¿acàs estos existixen realment i independentment de qualsevol ocupació específica? I, si és aixina, ¿en quin sentit? I ¿qué significa referir-se a un objecte matemàtic? ¿Quin és el caràcter de les teoremes matemàtiques? ¿Quin és la relació entre la llògica i les matemàtiques? Ací es tracta de qüestions ontològiques;

1. l'orige del coneiximent matemàtic: ¿quins són la font i l'essència de la veritat matemàtica? ¿Quins són les condicions de la ciència matemàtica? ¿Quins són, en lo fonamental, els seus métodos d'investigació? ¿Quin paper, en relació en lo anterior, té la naturalea del ser humà? Ací es tracta de qüestions epistemològiques;
2. la relació entre les matemàtiques i la realitat: ¿quin és la relació entre el món abstracte de les matemàtiques i l'univers material? ¿Tenen les matemàtiques les seues raïls en l'experiència? I, si és aixina, ¿cóm? ¿Cóm és que les matemàtiques «calcen tan be en els objectes de la realitat» (Albert Einstein)? ¿De quina manera els conceptes tals com número, punt, infinit, etc. adquirixen un significat que transcendix l'àmbit estrictament matemàtic? William Lane Craig va argumentar que l'eficàcia de les matemàtiques en la naturalea s'explica millor apelant a l'existència d'un Deu.

El punt de partida és casi sempre la concepció de que les proposicions matemàtiques són certes per principi, de manera atemporal i exacta, i que la seua veracitat no depén ni d'evidències empíriques ni de punts de vista personals. La tasca consistix tant en determinar les condicions de la possibilitat d'adquirir eixe coneiximent com en qüestionar críticament este punt de partida.

Corrents

Artístic

La visió que sosté que les matemàtiques són la combinació estètica de suposicions, i després també afirma que les matemàtiques són un art, va ser compartida pel matemàtic britànic G. H. Hardy i també metafòricament pel francés Henri Poincaré. Para Hardy, en el seu llibre Apologia d'un matemàtic, la definició de matemàtiques s'assemblava més a la combinació estètica de conceptes.

Platonisme

Kurt Gödel

Archiu:Edward caps block 69 Zalta. 7199285.jpg

Edward Zalta

Matematicisme

Artícul principal → Matematicismo.

La hipòtesis de l'univers matemàtic de Max Tegmark (o matematicismo) va més allà del platonisme en afirmar que no només existixen tots els objectes matemàtics, sino que no existix res més. L'únic postulat de Tegmark és: Totes les estructures que existixen matemàticament també existixen físicament. És dir, en el sentit de que "en eixos [móns] lo suficientment complexos com per a contindre subestructura autoconscientes [ells] es percebran subjetivamente a sí mateixos com existint en un món 'real' físicament".

Aristotelismo

Aristóteles.

En filosofia de les matemàtiques, el realisme aristotèlic sosté que les matemàtiques estudien propietats com la simetria, la continuïtat i l'orde que poden realisar-se lliteralment en el món físic. Per eixemple, el número 4 es realisa en la relació entre un montó de loros i en l'universal "ser un loro" que dividix el montó en tants loros.

Aristóteles considera que els objectes matemàtics són, a diferència de Platón, abstracció d'objectes i realitats materials dependents del món físic i no podien tindre realitat a banda de les coses empíriques. No són o existixen per es, sino en els objectes individuals o en l'intelecte com a sers en potència. Les matemàtiques carixen d'universalitat. Segons Aristóteles en la Metafísica, hi ha "una ciència que estudia el ser mentres que ser i els accidents propis del ser [...] diferent de totes les ciències particulars" que només tracten del ser baix cert punt de vista, els seus accidents, i "en este cas estan les ciències matemàtiques". Per això els sers matemàtics no són substàncies, puix "la forma substancial és l'essència; el número, per lo contrari, expressa la matèria: un número de carn, d'os". En les Categories, flama a estos sers substàncies segones, ya que la categoria de cantitat és posterior a la de substància. Les entitats matemàtiques són tots els objectes potencials de l'intelecte que donen una idea de la bellea i un plaer intelectual.

Aristóteles va criticar les idees platòniques afirmant que el verdader ser es troba no en lo universal, sino en lo individual. Est és l'orige i la base d'un realisme filosòfic moderat, que sosté que els conceptes universals són realitats en la ment i encara que carixen d'existència independent, tenen el seu fonament en les coses existents. Els defensors més coneguts són Alberto Magne i Tomás d'Aquino. La Sydney School va adoptar una noció realista neoaristotélica de les matemàtiques front el platonisme i el nominalisme. També s'ha considerat a Nicolai Hartmann i Penelope Maddy com a aristotèlics en les seues filosofia sobre les matemàtiques. L'aritmètica euclidiana desenrollada per John Penn Mayberry en el seu llibre The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets també cau en la tradició realista aristotèlica.

Formalisme

Artícul principal → Formalisme matemàtic.

David Hilbert.

El formalisme matemàtic entén les matemàtiques “pures” com un joc (en el sentit de Wittgenstein), basat en un cert conjunt de regles per a manipular cadenes de caràcters: "...el programa del formalisme matemàtic consistix en construir la Matemàtica com un sistema llògic-formal pur, la condició fonamental del qual és l'absència de contradicció, prescindint de tot tipo de contingut; es tracta, puix, d'un sistema formal buit. Este sistema formal estaria integrat per un o més conjunts d'elements fonamentals, per relacions definides entre els elements d'estos conjunts i per proposicions reguladores d'estes relacions (proposicions que comprenen els axioma i les demés proposicions d'ells deduïdes: les teoremes). Per eixemple, en el joc de geometria euclidiana s'obté el teorema de Pitágoras combinant certes cadenes (els axiomas) segons determinades regles (les del raonament llògic).

David Hilbert és generalment considerat fundador del formalisme modern. El seu interés era la construcció axiomàtica consistent i completa de la totalitat de les matemàtiques, seleccionant com a punt de partida els número natural i assumint que per mig de l'us de axioma es obvía la necessitat de definir els objectes bàsics (op. cit) en la finalitat de conseguir un sistema complet i consistent (vore Programa de Hilbert).

En esta visió els enunciats matemàtics perden el caràcter de veritats; deixen de ser, en última instància, proposicions "sobre alguna cosa". Lo que importa són les relacions que s'establixen entre ells: "Hilbert sosté que la verdadera importància en la construcció dels sabers matemàtics no és el resultat numèric, sino la llei de cóm estructurar les relacions entre els objectes matemàtics.... Les regles que enllacen funcionalmente els objectes en el seu sistema de referència formaran part d'un Sistema Formalisat Matemàtic; en a on, s'entén com a formalisació a un conjunt de lleis descobertes en el sí de la seua mateixa estructura, la que manté la seua consistència en les demostracions."

Un atre matemàtic que va ser inspirat pel formalisme va ser Haskell Curry, generalment considerat el fundador de la llògica combinatòria.

A pesar de que esta proposta va ser de curta duració, pel teorema de incompletitud de Gödel, que va demostrar que qualsevol sistema de axioma que incloga els número natural és o ben incomplet o ben contradictori, va aplegar, de facto, a constituir la posició més acceptada entre els matemàtics fins a l'últim quarto de el XX: "Els anys setanta varen vore decaure la tendència formalista, representada pel grup Bourbaki, seudònim de vàries generacions de matemàtics francesos,"

Convencionalisme

Artícul principal → Convencionalisme.

El matemàtic francés Henri Poincaré va ser un dels primers en articular una visió convencionalista. L'us de Poincaré de geometria no euclidianas en el seu treball sobre equacions diferencials ho va convéncer de que la geometria euclidiana no deuria considerar-se una veritat a priori. Va sostindre que els axioma en geometria deurien elegir-se pels resultats que produïxen, no per la seua aparent coherència en les intuïcions humanes sobre el món físic.

Intuicionismo

Artícul principal → Intuicionismo.

Michael Dummett.

El intuicionismo matemàtic rebuja tant la sugerència logicista com la formalista, proponent que el coneiximent matemàtic es basa en l'aprehensió -que antecedix qualsevol llenguage o llògica- d'alguns conceptes matemàtics bàsics. Este intuicionismo s'origina sobre la base de les idees de Kant i Schopenhauer en la proposta de L. E. J. Brouwer que el saber matemàtic es basa en la intuïció primordial dels número natural ( 1, 2, 3... ). Cada u d'eixos números pot, a partir de l'intuïció bàsica de l'1, ser "construït" agregant 1 a l'anterior. (Note's que açò introduïx un element temporal - vore D. Parella. op. ci).

A partir de lo anterior, el restant de la matemàtica pugues (i deu) ser construïda de forma explícita i rigorosa, lo que requerix un método clar i precís- Solament entitats l'existència de les quals (positiva o negativa) haja segut demostrada de tal manera, o per mig de tal método, tenen validea matemàtica. Parafraseando el dit platonista, es podria dir que, des del punt de vista intuicionista, les veritats matemàtiques no es descobrixen, es creen.

Entre atres conseqüències de lo anterior es troba la restricció del principi del tercer exclós: saber que una proposició és falsa implica, per als intuicionistas, poder demostrar eixa falsetat. (vore, per eixemple, Llògica intuicionista). Seguix que, en un moment donat (per eixemple, el present) és perfectament possible que hi haja proposicions sobre les quals no tenim certea sobre si són correctes o no. (note's que açò introduïx, novament, un element temporal en la "veritat" matemàtica). (Lo anterior no és un rebuig absolut del principi. Els intuicionistas ho utilisen en situacions específiques -per eixemple, en el cas de conjunts ben definits i finitos. Vore: Aritmètica de Heyting).

Atres diferències en lo que es pot considerar matemàtiques clàssiques es troben en la concepció del infinit i la del continu. Per als intuicionistas un (qualsevol) ent és vàlit si i solament si pot ser construït per mig d'un procediment especificat i en un número finito de passos o operacions (este procediment pot ser un algoritme o algun atre que seguixca una regla: per eixemple: tirar un dau vint mil voltes a fi de generar qualsevol número). Pero ¿quin procediment específic i finito pot generar l'infinit? Qualsevol procediment que triem solament nos donarà algun número concret. Conseqüentment, l'infinit intuicionista és solament potencial, a diferència de el "infinit oficial" que ho concep com "una totalitat completa i acabada.". Si be esta diferència és més be metafísica (op. cit), argumentablemente sense conseqüències majors per a la pràctica matemàtica, és l'introducció a la diferència sobre la concepció del continu, que si té tals conseqüències. (op. cit, esp p 108).

El concepte intuicionista del continu rebuja la concepció axiomàtica clàssica (de Cantor i Zermelo, etc vore Hipòtesis del continu, etc), basada en la teoria de conjunts i sugerix utilisar una espècie de "principi d'elecció" (choice principles que Brouwer flama "seqüències d'eleccions lliures"), basat en l'intuïció que, entre dos punts (o números) qualsevol, un matemàtic pot elegir lliurement un atre punt o número, i aixina indefinidament: “El continu llineal no pot ser agotat per l'interpolació de noves unitats. I no pot per lo tant ser pensat com una mera colecció d'unitats.”. (en referència a tot açò, vore: "L'Error de Cantor").

L'introducció de seqüències d'eleccions té vàries conseqüències difícils d'acceptar per a la matemàtica no intuicionista. Com a eixemples, la demostració intuicionista de la teorema de la barra (bar theorema) i la teorema del palmito (fan theoreme).

Aparte d'Arend Heyting, atres matemàtics i llògics de nota influïts per esta visió inclouen: Hermann Weyl, qui va promoure una visió constructivista de la matemàtiques. L'aplicació del intuicionismo a la topología per Alfred Tarski; els treballs matemàtics d'Andréi Kolmogórov i els d'Andréi Márkov i els desenrolls d'una llògica intuicionista per Saul Kripke.

Entre els filòsofs que continuen esta tradició trobem Michael Dummett.

Logicisme

Bertrand Russell.

Empirisme

Archiu:JohnStuartMill. caps block 209

John Stuart Mill.

L'empirisme matemàtic pot traçar-se a l'obra Un sistema de llògica de John Stuart Mill en afirmar que les matemàtiques són "ciència empírica de validea més general". Per a Mill, els conceptes matemàtics procedixen del món físic i les veritats de la matemàtica són veritats sobre el món físic, encara que d'un caràcter més general. Les veritats matemàtiques serien les veritats més generals de totes (Dummett 1998, pp. 125-126). Mill va propondre que els principis matemàtics i les conclusions de la ciència deductiva (com la geometria, aritmètica, àlgebra...) són inductivas. Els axioma es basen en l'observació i en generalisacions a partir d'experiències repetides. Per eixemple, 2 + 2 i 3 + 1 són necessàriament iguals perque un grup de 4 coses pot dispondre's en dos grups de 2 coses i en un grup de 3 coses i un atre d'1. l'epicúreo Zenón de Sidón va anticipar a Mill en esta teoria matemàtica inductiva. Mill creu que este punt de vista "deu esperar-se la recepció més desfavorable". Gottlob Frege reprendió moltes de les idees de Mill sobre la filosofia de les matemàtiques en la seua obra Els fonaments de l'aritmètica.

A pesar de que la sugerència de Mill no va despertar gran interés entre matemàtics (P Kitcher: "el problema que moltes de les seues formulació són imprecises (casi invitant les ben conegudes ironies de Frege) i, en adició, Mill solament considera les més rudimentàries parts de la matemàtiques"), l'idea bàsica va ser eventualment represa per dos autors: Stephan Körner i László Kalmár. Per a Körner, "les teories científiques integrades en la matemàtica funcionen i estan justificades, junt en el seu marc de treball matemàtic com a constituents sincategoremáticos de les proposicions empíriques ". Per a Kalmar "els axioma de qualsevol branca interessant de les matemàtiques varen ser originalment extrets, més o menys directament, dels fets empírics, i les regles d'inferència utilisades en ella originalment varen manifestar la seua validea universal en la nostra pràctica del pensament; III) la consistència de la majoria dels nostres sistemes formals és un fet empíric, (i) aun cuando s'ha demostrat, la aceptabilidad dels métodos metamatemáticos utilisats en la prova (per eixemple inducció transfinita fins a cert ordinal constructiu) és de nou un fet empíric.".

Esta visió ha segut expandida per, entre uns atres, Philip Kitcher, qui busca sistematisar-la; Carl E. Behrens, qui sugerix que "En rehabilitar l'empirisme de John Stuart Mill i combinar-ho en el coneiximent cada volta major de la naturalea de la ment humana, podem escapar del indefinible univers platònic de la consciència immaterial i abandonar la vana busca per la certea que ha plagat la filosofia des dels temps dels grecs.

Cuasi-empirisme

Artícul principal → Cuasi-empirisme matemàtic.

El terme cuasi-empirisme va ser introduït per Imre Lakatos a fi d'emfatisar un punt crucial de la seua sugerència: "Una teoria euclidiana pot ser proclamada verdadera. Una teoria cuasi-empírica pugues —a lo més— ser ben corroborada, pero és sempre conjectural. Adicionalment, en una teoria Euclidiana els postulats verdaders bàsics en "el cim" del sistema deductivo (generalment cridats 'axioma') demostren, per aixina dir-ho, el restant del sistema; en una teoria cuasi-empírica els postulats bàsics (verdaders) són explicats pel restant del sistema." (op cit, secció 2).

"El cuasi-empirisme postula que per a entendre i explicar les matemàtiques no n'hi ha prou en analisar la seua estructura llògica ni el seu llenguage sino que cal estudiar la seua pràctica real, la manera en que efectivament les apliquen els matemàtics, les ensenyen els professors i les deprenen els estudiants, la seua història, les revolucions que ocorren en elles, els paradigmes i els programes que dominen, les comunitats de matemàtics, el tipo de retòrica que s'ampra en elles i el paper que juga el coneiximent matemàtic en les distintes societats i cultures."

• El cuasi empirisme de Lakatos: Lakatos planteja que la suposta necessitat llògica (o veritat a priori) de les matemàtiques deriva de que nos hem oblidat, no coneixem, o no valorem adequadament el procés de proves i refutació informals, sempre falibles, per mig del com s'aplega a les proves formals que despuix donen lloc a les axiomatizaciones. Lakatos propon que: 1) les proves formals són falseables per mig de les proves informals; 2) el procedir de les matemàtiques no és axiomàtic, com plantegen els formalistes, sino basat en una successió de proves i refutació que només apleguen a resultats falibles; 3) l'intent de proveir de fonaments a les matemàtiques comporta una reculada a l'infinit; 4) l'història de les matemàtiques deu ser estudiada no a través de teories aïllades sino de séries de teories o, millor encara, de programes d'investigació que inclouen un núcleu ferm no falseable i un cinturó protector d'hipòtesis auxiliars que sí són falseables, pero que són modificables;10 5) devem preferir no el programa matemàtic que estiga completament axiomatizado sino el que siga progressiu, açò és, el que permeta descobrir fets nous i inesperats.

• El cuasi empirisme de Putman: Hilary Putnam part de les tesis quineanas sobre el holismo de les teories i la naturalización de l'epistemologia, pero també, com el seu mestre Reichenbach, de l'impacte de la física moderna en la nostra concepció de la ciència i de la realitat. En les matemàtiques, segons Putnam, hi ha un joc entre postulació, proves informals o cuasi-empíriques i revolució conceptual. Putnam reconeix que les matemàtiques no són ciències experimentals i que són més a priori que, per eixemple, la física, no obstant senyala que la distinció entre lo a priori i lo a posteriori és més be relativa: que alguna cosa siga a priori significa, simplement, que juga un paper fonamental en la nostra concepció del món o en la nostra forma de vida i que, per tant, no estem disposts a renunciar a això. Concretament, la teoria de conjunts és indispensable per a la física^{cita requerida}, per això, les entitats sobre les quals quantifica, a saber, els conjunts, deuen ser considerats com a reals, puix no es pot acceptar el coneiximent que proporciona la física sense acceptar dites entitats o, millor dit, en acceptar el coneiximent de la física, ya s'ha acceptat, implícitament, la teoria de conjunts. Aixina, les matemàtiques compartixen el contingut empíric en les teories físiques de les que formen part i es modifiquen junt en elles.

Psicologismo

Artícul principal → Psicologismo.

El psicologismo en la filosofia de les matemàtiques és la posició en la que els conceptes i / o veritats matemàtics es basen en fets (o lleis) sicològics o es deriven d'ells o s'expliquen per ells. John Stuart Mill sembla haver segut un defensor d'un tipo de psicologismo llògic, de la mateixa manera que molts llògics alemans de el XIX com Christoph Sigwart i Johann Eduard Erdmann, aixina com una série de sicòlecs, per eixemple, Gustave Li Bon.

Gottlob Frege va criticar el psicologismo en els seus Els fonaments de l'aritmètica i en moltes de les seues obres i ensajos, inclosa la seua revisió de la Filosofia de l'aritmètica d'Husserl. Edmund Husserl, en el primer volum de les seues Investigacions llògiques, cridat "Prolegómenos a la llògica pura", va criticar a fondo el psicologismo i va buscar distanciar-se d'ell. El psicologismo també va ser criticat per Charles Sanders Peirce i Maurice Merleau-Ponty. No obstant, modernes revisions han acusat a les crítiques de Frege i Husserl de cometre peticions de principi, ademés de criticar les opinions d'abdós sobre la naturalea de les lleis llògiques, especialment que siguen necessàries i úniques, ya examinats en els artículs de Quine, qui va demanar una famosa tornada al psicologismo.

Vore també

• Filosofia de la ciència
• Fonaments de la matemàtica
• Història de la matemàtica

Bibliografia

• Canó L; Camí (1993): La matemàtica: creació i descobriment
• Casat, Carlos M. Madrit (2022). Materialism, Logic, and Mathematics (en en), Springer International Publishing, pp. 269–301. doi:10.1007/978-3-030-89488-7_9. ISBN 978-3-030-89487-0.
• Collette; Jean-Paul (1993): Història de les matemàtiques, volum 2
• Davis; Philip J. i Hersh; Reuben (1981): Experiència matemàtica (Introducció general no tècnica)

• Dummett, Michael (1998), "The Philosophy of Mathematics" en Grayling, A. C. (ed.)Philosophy 2: Further Through The Subject, Oxford University Press, 1998.
• Gabbay;D. M.- Thagard; P.- Woods; J. (edts): Philosophy of Mathematics
• George; Alexander - Velleman; Daniel (2001) Philosophies of Mathematics
• Kline; Morris (1980): Mathematics: The Loss of Certainty
• Kline; Morris: Matemàtiques. La pèrdua de la certea. Sigle XXI Espanya 1985 (1a Ed.), Mèxic 2000 (5a Ed.)
• Körner, Stephan (1968), Introducció a la filosofia de la matemàtica, Editorial Sigle XXI, 1968
• Lakatos, Imre. (1978 / 1986) Proves i Refutació: La Llògica Del Descobriment Matemàtic.- Aliança Universitat
• Lakatos, Imre. "La metodologia dels Programes d'investigació científica". Aliança. Madrit. 1993.
• Lorenzo, Javier. de: La matemàtica: dels seus fonaments i crisis.- Tecnos, Madrit.
• Lorenzo, J. de (1992), Kant i la matemàtica. L'us constructiu de la raó pura, Editorial Tecnos, 1992
• Maza Gómez, C. (2008), Matemàtiques en l'antiguetat
• Macbeth; Danielle: Logic and the Foundations of Mathematics
• Ruiz Zúñiga; Ángel: ^{[enllaç trencat]}
• Shabel, Lisa (1997), Mathematics in Kant’s Critical Philosophy. Reflections on Mathematical Practice, London: Routledge, 2003
• Shapiro; Stewart (1997). Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford University Press.
• Shapiro, Stewart (2000). Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics. Oxford University Press.
• Shapiro; Stewart (Edtr -2005): The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic
• Solís, Carlos i Sellés, Manuel (2005), Història de la ciència, Editorial Espasa, 2005
• Zalamea, Fernando (2009), Filosofia sintètica de les matemàtiques contemporànees, Editorial Universitat Nacional de Colòmbia.

Enllaços externs

• Logicismo, en PhilPapers
• Formalisme, en PhilPapers
• Intuitionismo i constructivisme, en PhilPapers
• Estructuralisme, en PhilPapers