Espai-temps

Archiu:Spacetime curvature2.png

Espai-temps

Archiu:Spacetime curvature.png

Analogia bidimensional de la distorsió de l'espai-temps per un objecte de gran massa.

El espai-temps (també: espaciotiempo) és el model matemàtic que combina l'espai i el temps en un sol objecte continu de quatre dimensions. En este espai-temps és en a on ocorren tots els successos físics del Univers, d'acort en la teoria de la relativitat d'Einstein.

La teoria de la relativitat d'Einstein es basa en dos postulats. El primer sosté que les lleis de la física són idèntiques per a tots els observadors en sistemes de referència inerciales, mentres que el segon afirma que la velocitat de la llum en el buit és una constant. Com a conseqüència directa l'espai i el temps no poden ser independents. Açò es pot apreciar, per eixemple, en les transformacions de Lorentz i du a efectes interessants com la contracció de Lorentz.

Contrari a la creència popular, Einstein no va aplegar a la conclusió de que l'espai i el temps degueren considerar-se com una sola entitat; sino que va ser Hermann Minkowski (el professor de matemàtiques d'Einstein), qui va introduir el concepte en un célebre coloqui en 1908 titulat «Espai i temps» per mig de la frase:

«A partir d'ara, l'espai per sí mateix i el temps per sí mateixa estan condenats a desvanir-se en meres ombres, i només una espècie d'unió d'abdós preservarà una realitat independent».

La reacció inicial d'Einstein davant esta visió de l'espai-temps no va ser del tot favorable, acusant al treball de Minkowski com superfluo. Pese a açò, Einstein va terminar per adoptar la física del espai-temps de Minkowski, sent esta un element crucial per a la revolucionària teoria de la relativitat general d'Einstein, a on l'espai-temps es torna dinàmic i adquirix curvatura.

El treball de Minkowski va demostrar l'utilitat de considerar a l'espai i al temps com un ent matemàtic únic i continu, considerant al Univers com un espai de quatre dimensions, format per tres dimensions espacials físiques i per una «quarta dimensió» temporal; dit de manera més precisa: com una varietat lorentziana de quatre dimensions. L'eixemple més simple d'una varietat d'este tipo és l'espai-temps de Minkowski, usat en relativitat especial.

Introducció

En general, un succés pot ser descrit per una o més coordenades espacials i una temporal. Per eixemple, per a identificar de manera única un accident automovilístic, es poden donar el punt kilométrico a on va ocórrer (una coordenada espacial), i quàn va ocórrer (una coordenada temporal). En l'espai tridimensional, es requerixen tres coordenades espacials. Aixina un model simple d'espai temps és l'espai-temps de Minkowski:

a on t és la coordenada temporal mida per un cert observador, i x, i, z les coordenades cartesianas espacials mides pel mateix observador.

En la visió tradicional en la qual es basa la mecànica clàssica, els principis fonamentals de la qual varen ser establits per Newton, el temps és una coordenada independent de les coordenades espacials i és una magnitut idèntica per a qualsevol observador. Açò diferix del tractament de Minkowski, a on les coordenades medides per un segon observador $(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ diferixen de les mides pel primer observador $(t,x,y,z)$, d'una manera tal que en general $t\ne t^{\prime }$ (les transformacions que permeten relacionar les coordenades de dos observadors diferents en l'espai de Minkowski es diuen transformacions de Lorentz).

Resultats obtinguts tant en l'experiment de Michelson i Morley com en les equacions de Maxwell per a l'electrodinàmica sugerien, a principis de el XX, que la velocitat de la llum és constant i independent de la velocitat de l'emissor o observador, en contradicció en lo postulat per la mecànica clàssica. Açò és una conseqüència del caràcter relatiu de la distància i el temps, de tal manera que dos observadors mediran temps diferents entre dos events si un està movent-se respecte a l'atre (usualment eixa diferència és molt menuda, imperceptible en mijos convencionals, pero detectable per mig de rellonges atòmics d'alta precisió).

Einstein va propondre com a solució a est i atres problemes de la mecànica clàssica considerar com postulat la constància de la velocitat de la llum, i prescindir de la noció del temps com una coordenada independent de l'observador. En la Teoria de la Relativitat, espai i temps tenen caràcter relatiu o convencional, depenent de l'estat de moviment de l'observador. Això es reflectix, per eixemple, en que les transformacions de coordenades entre observadors inerciales (les Transformacions de Lorentz) involucren una combinació de les coordenades espacials i temporal. El mateix fet s'aprecia en la medició d'un camp electromagnètic, que està format per una part elèctrica i una atra magnètica, puix depenent de l'estat de moviment de l'observador el camp és vist de forma distinta.

L'expressió espai-temps arreplega llavors la noció de que l'espai i el temps ya no poden ser considerats entitats independents o absolutes.

Les conseqüències d'esta relativitat del temps han tingut diverses comprovacions experimentals. Una d'elles es va realisar utilisant dos rellonges atòmics d'elevada precisió, inicialment sincronisats, un dels quals es va mantindre fix mentres que l'atre va ser transportat en un avió. En retornar del viage es va constatar que mostraven una lleu diferència de 184 nanosegundos, havent transcorregut el temps «més llentament» per al rellonge en moviment.

Propietats geomètriques de l'espai-temps

Mètrica

En la teoria de la relativitat general l'espai-temps es modela com un parell (M, g) a on M és una varietat diferenciable semiriemanniana també coneguda banda lorentziana i g és un tensor mètric de signatura (3,1). Fixat un sistema de coordenades (x⁰, x¹, x², x³, ) per a una regió de l'espai-temps el tensor mètric es pot expressar com:

I per a tot punt de l'espai-temps existix un observador galileano tal que en eixe punt el tensor mètric té les següents components:

En absència de camp gravitatorio existix un sistema de coordenades tal que el tensor té la forma anterior per a tots els punts de l'espai temps simultàneament. Pero si existix un camp gravitatorio això no és possible i fixat qualsevol sistema de coordenades natural el tensor inevitablement diferirà d'un punt a un atre, i el tensor de curvatura associat a la mètrica serà no nul, la qual cosa és percebut com un camp gravitatorio per l'observador.

Contingut material de l'espai-temps

El contingut material de dit univers ve dau pel tensor energia-impulse que pot ser calculat directament a partir de magnituts geomètriques derivades del tensor mètric. Les equacions escrites component a component relacionen el tensor energia impulse en el tensor de curvatura de Ricci i les components del propi tensor mètric:

L'equació anterior expressa que el contingut material determina la curvatura de l'espai-temps.

Espai-temps

L'espai-temps és un model matemàtic que combina l'espai i el temps en un únic continu com dos conceptes inseparablemente relacionats. En este continu espai-temporal es representen tots els successos físics de l'Univers, d'acort en la teoria de la relativitat i atres teories físiques. L'expressió espai-temps ha devingut d'us corrent a partir de la teoria de la relativitat especial formulada per Einstein en 1905, sent esta concepció de l'espai i el temps un dels alvanços més importants de el XX en el camp de la física.

D'acort en les teories de la relativitat d'Einstein, el temps no pot estar separat de les tres dimensions espacials, sino que de la mateixa manera que elles, est depén de l'estat de moviment de l'observador. En essència, dos observadors mediran temps diferents per a l'interval entre dos successos, la diferència entre els temps medits depén de la velocitat relativa entre els observadors. Si ademés existix un camp gravitatorio també dependrà la diferència de intensitat de dit camp gravitatorio per als dos observadors. El treball de Minkowski va provar l'utilitat de considerar el temps com un ent matemàtic únic i continu que es pot entendre des d'una perspectiva pseudoeuclidiana, la qual considera a l'Univers com un «espai de quatre dimensions» format per tres dimensions espacials físiques observables i per una «quarta dimensió» temporal (més exactament una varietat lorentziana de quatre dimensions). Un cas simple és l'espai-temps usat en relativitat especial, a on en combinar espai i temps en un espai tetradimensional, s'obté l'espai-temps de Minkowski.

A on els símbols de Christoffel Γ es calculen a partir de les derivades del tensor mètric g i el tensor invers del tensor mètric:

Si ademés existira alguna força deguda a l'acció del camp electromagnètic, la trayectòria de la partícula vindria donada per:

A on:
$e:$ càrrega elèctrica de la partícula.
$F_{\rho }^{\mu }:$ el tensor de camp electromagnètic:

• Interval, principi de invarianza de l'interval

Homogeneïtat, isotropía i grups de simetria

Certs espais-temps admeten grups d'isometría no trivials. Per eixemple l'espai-temps de Minkowski, usat en la relativitat especial, té un grup d'isometría cridat grup de Poincaré que és un grup de Lie de dimensió dèu. Normalment, els espais-temps tenen grups d'isometría molt menors, és dir, de dimensionalidad menor.

Una propietat interessant és que si un espai-temps admet un grup d'isometría continu, format per un grup de Lie de dimensió n llavors existixen n camps vectorials, cridats camp vectorial de Killing $X^{(a)}$ que satisfan les següents propietats:

${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{X}_{\beta }^{(a)}+{\mathrm{\nabla }}_{\beta }{X}_{\alpha }^{(a)}=0{ℒ}_{X^{(a)}}{g}_{\alpha \beta }$

A on ${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }$ representa la derivada covariant i ${ℒ}_{X^{(a)}}$ la derivada de Lie segons un d'eixos vectores de Killing.

Relacionat en lo anterior; estan les relacions d'isotropía i homogeneïtat. Un espai temps presenta isotropía general en algun dels seus punts si existix un subgrup del seu grup d'isometría, que és homeomorfo a SO(3) i deixa invariante dit punt. Una atra propietat interessant és quan el grup de simetria inclou un subgrup homeomorfo a ${ℝ}^3$ que afecta a les coordenades espacials, en eixe cas l'espai-temps resulta ser homogéneu.

Topología

Vore també: Singularitat espaciotemporal, Principi de causalitat, Viage a través del temps, Estructura causal, i Globalment hiperbòlic

La topología en l'espai temps té que vore en l'estructura causal del mateix. Per eixemple és interessant conéixer SI en un espai-temps:

• Existix la curva temporal tancada; eixe tipo d'ocurrència permetria que a una partícula puga influir en el seu propi passat. Algunes solucions exactes de les equacions d'Einstein com l'Univers de Gödel, que descriu un univers ple d'un decorregut perfecte en rotació, permeten dites curves temporals tancades (vore curva tancada de tipo temps).
• Existixen hipersuperficies de Cauchy, la qual cosa permet, en principi, conegut l'estat del sistema sobre una d'estes superfícies, conéixer l'estat en un instant futur. Sempre i quan els efectes quàntics tinguen efectes llimitats, l'existència de hipersuperficies comporta l'evolució determinista.
• Existixen geodèsiques incompletes, la qual cosa està relacionat en l'ocurrència de singularitats espaciotemporales.