Equacions de Maxwell

Equacions de Maxwell

Les quatre equacions de Maxwell descriuen tots els fenomens electromagnètics; ací es mostra la inducció magnètica per mig d'una corrent elèctrica.

Retrat de Maxwell.

Les equacions de Maxwell són un conjunt de quatre equacions (originalment vint equacions) que descriuen per complet els fenomens electromagnètics. La gran contribució de James Clerk Maxwell va ser reunir en estes equacions llarcs anys de resultats experimentals, deguts a Charles-Augustin de Coulomb, Carl Friederich Gauss, André-Marie Ampère i Michael Faraday entre uns atres, introduint els conceptes de camp i corrent de desplaçament, unificant els camps elèctrics i magnètics en un sol concepte: el camp electromagnètic.

Les solucions generals de les equacions de Maxwell estan donades per les equacions de Panofsky-Phillips aixina com per les equacions de Jefimenko, abdós permeten expressar directament els camps elèctric i magnètic en funció de les seues fonts físiques (és dir, densitat de càrrega i de corrent elèctrica que poden variar en el temps).

Desenroll històric de les equacions de Maxwell

Archiu:Oheaviside.jpg

Oliver Heaviside va agrupar les equacions de Maxwell i les va reformular en la notació vectorial actual.

Vore també: Electromagnetisme

Des de finals de el XVIII diversos científics varen formular lleis quantitatives que relacionaven les interaccions entre els camps elèctrics, els camps magnètics i les corrents sobre conductors. Entre estes lleis estan la llei de Ampère, la llei de Faraday i la llei de Lenz. Maxwell conseguiria unificar totes estes lleis en una descripció coherent del camp electromagnètic.

Maxwell es va donar conte de que la conservació de la càrrega elèctrica semblava requerir introduir un terme adicional en la llei de Ampère. De fet, actualment es considera que un dels aspectes més importants del treball de Maxwell en el electromagnetisme és el terme que va introduir en dita llei: la derivada temporal d'un camp elèctric, coneguda com corrent de desplaçament. El treball que Maxwell va publicar en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificava la versió de la llei de Ampère en lo que es predia com l'existència d'ones electromagnètiques propagant-se, depenent del mig material, a la velocitat de la llum en dit mig. D'esta forma Maxwell va identificar la llum com una ona electromagnètica, unificant aixina l'òptica en l'electromagnetisme.

Exceptuant la modificació a la llei de Ampère, cap de les atres equacions era original. Lo que va fer Maxwell va ser reobtener dites equacions a partir de models mecànics i hidrodinàmics usant el seu model de vórtices de llínees de força de Faraday.

En 1884, Oliver Heaviside junt en Willard Gibbs va agrupar estes equacions i les va reformular en la notació vectorial actual. No obstant, és important conéixer que en fer això, Heaviside va usar derivades parcials temporals, diferents a les derivades totals usades per Maxwell, en l'equació (54). Això va provocar que es perguera el terme $v\times B$ que apareixia en l'equació posterior del treball de Maxwell (número 77). En l'actualitat, este terme s'usa com a complementari a estes equacions i es coneix com força de Lorentz.

L'història és encara confusa, degut a que el terme equacions de Maxwell s'usa també per a un conjunt de huit equacions en la publicació de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, i esta confusió es deu a que sis de les huit equacions són escrites com tres equacions per a cada eix de coordenades; aixina es pot un confondre en trobar vint equacions en vint incògnites. Els dos tipos d'equacions són casi equivalents, a pesar del terme eliminat per Heaviside en les actuals quatre equacions.

Detall de les equacions

Llei de Gauss per al camp elèctric

Artícul principal → Llei de Gauss.

Archiu:LeyGauss1.jpg

Fluix elèctric d'una càrrega puntual en una superfície tancada.

La llei de Gauss explica la relació entre el fluix del camp elèctric a través una superfície tancada i la càrrega neta tancada per dita superfície. Es definix com fluix elèctric (${\Phi }_E$) la cantitat de decorregut elèctric que travessa una superfície donada. Anàlec al fluix de la mecànica de decorreguts, este decorregut elèctric no transporta matèria, pero ajuda a analisar la cantitat de camp elèctric ($\overrightarrow{E}$) que passa per una superfície S. Matemàticament s'expressa com:

${\Phi }_E={\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}$

La llei diu que el fluix del camp elèctric a través d'una superfície tancada és igual al cocient entre la càrrega (q) o la suma de les càrregues que hi ha en l'interior de la superfície i la permitividad elèctrica en el buit (${\epsilon }_0$), aixina:

${\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=\frac{q}{{\epsilon }_0}$

La forma diferencial de la llei de Gauss, en forma local, afirma que pel teorema de Gauss-Ostrogradsky, la divergència del camp elèctric és proporcional a la densitat de càrrega elèctrica; és dir,

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

a on $\rho$ és la densitat de càrrega en el mig interior a la superfície tancada. Intuitivamente significa que el camp I divergix o ix des d'una càrrega $\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$, lo que es representa gràficament com vectores que ixen de la font que les genera en totes direccions.

Per convenció, si el valor de l'expressió és positiu (+), llavors els vectores ixen; si és negatiu (−), estos entren a la càrrega.

Per a casos generals es deu introduir una cantitat anomenada densitat de fluix elèctric ($\overrightarrow{D}$) i la nostra expressió obté la forma:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{D}=\rho$

Llei de Gauss per al camp magnètic

Artícul principal → Llei de Gauss.

Archiu:Caps block 5 Pt cylindrical magnet.svg

Les llínees de camp magnètic comencen i terminen en el mateix lloc, per lo que no existix un monopol magnètic.

Experimentalment es va aplegar al resultat de que els camps magnètics, a diferència dels elèctrics, no comencen i terminen en càrregues diferents. Esta llei primordialmente indica que les llínees dels camps magnètics deuen ser tancades. En atres paraules, es diu que sobre una superfície tancada, siga com siga esta, no serem capaces de tancar una font o sumidero de camp; açò expressa l'inexistència del monopol magnètic. En tancar un dipol en una superfície tancada, no ix ni entra fluix magnètic; per lo tant el camp magnètic no divergix, no ix de la superfície. Llavors la divergència és zero. Matemàticament açò s'expressa aixina:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{B}=0$

a on $\overrightarrow{B}$ és la densitat de fluix magnètic, també cridada inducció magnètica. És clar que la divergència és zero perque no ixen ni entren vectores de camp sino que este fa camins tancats. El camp no divergix; és dir, la divergència de B és nula.

La seua forma integral equivalent:

${\oint }_S\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S}=0$

Com en la forma integral del camp elèctric, esta equació solament funciona si l'integral està definida en una superfície tancada.

Llei de Faraday-Lenz

Artícul principal → Llei de Faraday.

La llei de Faraday nos parla sobre la inducció electromagnètica, la que origina una força electromotriz en un camp magnètic. És habitual cridar-la llei de Faraday-Lenz en honor a Heinrich Lenz ya que el signe menys prové de la llei de Lenz. També se li crida com a llei de Faraday-Henry, degut a que Joseph Henry va descobrir esta inducció de manera separada a Faraday pero casi simultàneament. Lo primer que es deu introduir és la força electromotriz ($ℰ$), si tenim un camp magnètic variable en el temps, una força electromotriz és induïda en qualsevol circuit elèctric; i esta força és igual a menys la derivada temporal del fluix magnètic, aixina:

$ℰ=-\frac{d{\varphi }_B}{dt}$,

com el camp magnètic és depenent de la posició tenim que el fluix magnètic és igual a:

${\varphi }_B=\underset{S}{\int }\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S}$.

Ademés, el que existixca força electromotriz indica que existix un camp elèctric que es representa com:

$ℰ={\oint }_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\ell }$

en lo que finalment s'obté l'expressió de la llei de Faraday:

${\oint }_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\ell }=-\underset{S}{\int }\frac{d\overrightarrow{B}}{dt}\cdot d\overrightarrow{S}$

Lo que indica que un camp magnètic que depén del temps implica l'existència d'un camp elèctric, del que la seua circulació per un camí arbitrari tancat és igual a menys la derivada temporal del fluix magnètic en qualsevol superfície llimitada pel camí tancat.

El signe negatiu explica que el sentit de la corrent induïda és tal que el seu fluix s'opon a la causa que ho produïx, compensant aixina la variació de fluix magnètic (llei de Lenz).

La forma diferencial local d'esta equació és:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$

És dir, el rotacional del camp elèctric és la derivada parcial de l'inducció magnètica sobre el temps.

S'interpreta com seguix: si existix una variació de camp magnètic B llavors est provoca un camp elèctric I o be l'existència d'un camp magnètic no estacionario en l'espai lliure provoca circulacions del vector I a lo llarc de llínees tancades. En presència de càrregues lliures, com els electrons, el camp I pot desplaçar les càrregues i produir una corrent elèctrica. Esta equació relaciona els camps elèctric i magnètic, i té atres aplicacions pràctiques com els motors elèctrics i els generadors elèctrics i explica el seu funcionament. Més precisament, demostra que un voltage pot ser generat variant el fluix magnètic que travessa una superfície donada.

Llei de Ampère generalisada

Artícul principal → Llei de Ampère generalisada.

André-Marie Ampère va formular una relació per a un camp magnètic immòvil i una corrent elèctrica que no varia en el temps. La llei de Ampère diu que la circulació en un camp magnètic ($\overrightarrow{B}$) a lo llarc d'una curva tancada C és igual a la densitat de corrent ($\overrightarrow{J}$) sobre la superfície tancada en la curva C, matemàticament aixina:

${\oint }_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\ell }={\mu }_0\underset{S}{\int }\overrightarrow{J}\cdot d\overrightarrow{S}$

a on ${\mu }_0$ és la permeabilidad magnètica en el buit.

Pero quan esta relació li la considera en camps que sí varien a lo llarc del temps aplega a càlculs erròneus, com el de violar la conservació de la càrrega. Maxwell va corregir esta equació per a conseguir adaptar-la a camps no estacionarios i posteriorment va poder ser comprovada experimentalment per Heinrich Rudolf Hertz.

Maxwell va reformular esta llei aixina:

${\oint }_C\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }={\mu }_0\underset{S}{\int }\overrightarrow{J}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{d}{\mathrm{d}t}\underset{S}{\int }\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}$.

En el cas específic estacionario esta relació correspon a la llei de Ampère, ademés confirma que un camp elèctric que varia en el temps produïx un camp magnètic i ademés és conseqüent en el principi de conservació de la càrrega.

En forma diferencial, esta equació pren la forma:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$.

En forma senzilla esta equació explica que si es té un conductor, un aram recte pel que circula una densitat de corrent J, esta provoca l'aparició d'un camp magnètic B rotacional al voltant de l'aram i que el rotor de B apunta en el mateix sentit que J.