Llei de Gauss

Archiu:Aplicaciones de la Ley de Gauss. Distribución esférica de la carga..webm En física, la llei de Gauss, relacionada en el teorema de la divergència o teorema de Gauss,^[1] establix que el fluix de certs camps a través d'una superfície tancada és proporcional a la magnitut de les fonts de dit camp que hi ha en l'interior de la mateixa superfície. Estos camps són aquells l'intensitat dels quals decreix com la distància a la font al quadrat. La constant de proporcionalitat depén del sistema d'unitats amprat.

S'aplica al camp electrostàtic i al gravitatorio. Les seues fonts són la càrrega elèctrica i la massa, respectivament. També pot aplicar-se al camp magnetostático.

La llei va ser formulada per Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no va ser publicat fins a 1867.^[2] Esta és una de les quatre equacions de Maxwell, que formen la base d'electrodinàmica clàssica (les atres tres són la llei de Gauss per al magnetisme, la llei de Faraday de l'inducció i la llei de Ampère en la correcció de Maxwell). La llei de Gauss pot ser utilisada per a obtindre la llei de Coulomb,^[3] i viceversa.

Fluix del camp elèctric

Artícul principal → Fluix elèctric.

El fluix (denotat com $Φ$ ) és una propietat de qualsevol camp vectorial referida a una superfície hipotètica que pot ser tancada o oberta. Per a un camp elèctric, el fluix ( $Φ_{E}$ ) es medix pel número de llínees de força que travessen la superfície.

Per a definir al fluix elèctric en precisió considere's la figura, que mostra una superfície tancada arbitrària ubicada dins d'un camp elèctric.

La superfície es troba dividida en quadrats elementals $Δ S$ , cada u dels quals és lo suficientment chicotet com per a que puga ser considerat com un pla. Estos elements d'àrea poden ser representats com vectores $\vec{Δ S}$ , la magnitut de la qual és la pròpia àrea, la direcció és perpendicular a la superfície i cap a fòra.

En cada quadrat elemental també és possible traçar un vector de camp elèctric $\vec{E}$ . Ya que els quadrats són tan menuts com es vullga, $E$ pot considerar-se constant en tots els punts d'un quadrat dau.

$\vec{E}$ i $\vec{Δ S}$ caracterisen a cada quadrat i formen un àngul $θ$ entre sí i la figura mostra una vista amplificada de dos quadrats.

El fluix, llavors, es definix com seguix:

(1) $Φ_{E} = \sum \vec{E} \cdot Δ \vec{S}$

O siga:

(2) $Φ_{E} = \oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{s}$

Fluix per a una superfície cilíndrica en presència d'un camp uniforme

Suponga's una superfície cilíndrica colocada dins d'un camp uniforme $\vec{E}$ tal com mostra la figura:

El fluix $Φ_{E}$ pot escriure's com la suma de tres térmens, (a) una integral en la tapa esquerra del cilindre, (b) una integral en la superfície cilíndrica i (c) una integral en la tapa dreta:

(3) $Φ_{E} = \oint \vec{E} \cdot d \vec{s} = \int_{(a)} \vec{E} \cdot d \vec{S} + \int_{(b)} \vec{E} \cdot d \vec{S} + \int_{(c)} \vec{E} \cdot d \vec{S}$

Para la tapa esquerra, l'àngul $θ$ , per a tots els punts, és de $π$ , $E$ té un valor constant i els vectores $d S$ són tots paralels.

Llavors:

(4) $\int_{(a)} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \int E \cos (π) d S = - E \int d S = - E S$

sent $S = π R^{2}$ l'àrea de la tapa. Análogament, per a la tapa dreta:

(5) $\int_{(c)} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \int E \cos (0) d S = E \int d S = E S$

Finalment, per a la superfície cilíndrica:

(6) $\int_{(b)} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \int E \cos (\frac{π}{2}) d S = 0$

Per tant: dona zero ya que les mateixes llínees de força que entren, despuix ixen del cilindre.

(7) $Φ_{E} = - E S + 0 + E S = 0$

Fluix per a una superfície esfèrica en una càrrega puntual en el seu interior

Considere's una superfície esfèrica de ràdio r en una càrrega puntual q en el seu centre tal com mostra la figura. El camp elèctric $\vec{E}$ és paralel al vector superfície $\vec{d S}$ , i el camp és constant en tots els punts de la superfície esfèrica.

En conseqüència:

(8) $Φ_{E} = \int_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \int_{S} E \cos θ d S = \int_{S} E \cos (0) d S = E \int_{S} d S = E 4 π r^{2}$

Deduccions

Deducció de la llei de Gauss a partir de la llei de Coulomb

Esta teorema aplicada al camp elèctric creat per una càrrega puntual és equivalent a la llei de Coulomb de l'interacció electrostàtica.

E = \frac{Q}{4 π ϵ_{0} r^{2}}

La llei de Gauss pot deduir-se matemàticament a través de l'us del concepte d'àngul sòlit, que és un concepte molt similar als factors de vista coneguts en la transferència de calor per radiació.

L'àngul sòlit $Δ Ω$ que és subtendido per $Δ A$ sobre una superfície esfèrica, es definix com:

$Δ Ω = \frac{Δ A}{r^{2}}$

sent $r$ el radi de l'esfera.

com l'àrea total de l'esfera és $4 π r^{2}$ l'àngul sòlit per a ‘’tota l'esfera’’ és:

$Δ Ω = \frac{Δ A}{r^{2}} = \frac{4 π r^{2}}{r^{2}} = 4 π$

l'unitat d'este àngul és l'estereoradiant (sr)

Si l'àrea $Δ A$ no és perpendicular a les llínees que ixen de l'orige que subtiende a $Δ Ω$ , es busca la proyecció normal, que és:

$Δ Ω = \frac{Δ A \hat{n} \cdot \hat{r}}{r^{2}} = \frac{Δ A \cos θ}{r^{2}}$

Si es té una càrrega "q" rodejada per una superfície qualsevol, per a calcular el fluix que travessa esta superfície és necessari trobar $\vec{E} \cdot \hat{n} Δ A$ per a cada element d'àrea de la superfície, per a després sumar-los. Com la superfície que pot estar rodejant a la càrrega pot ser tan complexa com vullga, és millor trobar una relació senzilla per a esta operació:

$Δ ϕ = \vec{E} \cdot \hat{n} Δ A = \frac{K q}{r^{2}} \hat{r} \cdot \hat{n} Δ A = K q Δ Ω$

D'esta manera $Δ Ω$ és el mateix àngul sòlit subentendido per una superfície esfèrica. com es va mostrar una miqueta més dalt $Δ Ω = 4 π$ per a qualsevol esfera, de qualsevol ràdio. d'esta forma en sumar tots els fluix que travessen a la superfície queda:

$ϕ_{n e t o} = \oint_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} d A = K q \oint_{0}^{4 π} d Ω = 4 π K q = \frac{q}{ϵ_{0}}$

que és la forma integral de la llei de Gauss. La llei de Coulomb també pot deduir-se a través de Llei de Gauss.

Referències

↑ The Feynman Lectures on Physics, Vol II.
↑ Bellone, Enrico (1980). A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution.
↑ (1970) Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, Inc, pp. 452–53.

Este artícul conté una traducció derivada de «Ley de Gauss» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] The Feynman Lectures on Physics, Vol II.

[2] Bellone, Enrico (1980). A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution.

[3] (1970) Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, Inc, pp. 452–53.

[1]

[2]

[3]