Llei de Coulomb

La llei de Coulomb, nomenada en reconeiximent del físic francés Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806), que va enunciar en 1785 i forma la base de l'electrostàtica, pot expressar-se com:

La magnitut de les forces elèctriques en les que interactuen dos càrregues puntuals en repòs és directament proporcional al producte de la magnitut d'abdós càrregues i inversamente proporcional al quadrat de la distància que les separa i té la direcció de la llínea que les unix. La força és de repulsió si les càrregues són d'igual signe, i d'atracció si són de signe contrari.

La constant de proporcionalitat depén de la constant dielèctrica del mig en el que es troben les càrregues.

Desenroll de la llei

Charles-Augustin de Coulomb va desenrollar la balança de torsió, en la qual va determinar les propietats de la força electrostàtica. Este instrument consistix en una barra que penja d'una fibra capaç d'endoblegar-se. Si la barra gira, la fibra tendix a fer-la retornar a la seua posició original, en lo que coneixent la força de torsió que la fibra eixercix sobre la barra, es pot determinar la força eixercida en un punt de la barra. La llei de Coulomb, també coneguda com a llei de càrregues, té que vore en les càrregues elèctriques d'un material, és dir, depén de si les seues càrregues són negatives o positives.

En la barra de la balança, Coulomb va colocar una chicoteta esfera carregada i va posicionar a diferents distàncies una atra esfera també carregada. Després va medir la força entre elles observant l'àngul que girava la barra.

Dites medicions varen permetre determinar que:

La força d'interacció entre dos càrregues $q_{1}$ i $q_{2}$ duplica la seua magnitut si alguna de les càrregues dobla el seu valor, la triplica si alguna de les càrregues aumenta el seu valor en un factor de tres, i aixina successivament. Va concloure llavors que el valor de la força era directament proporcional al producte de les càrregues:

F

\propto

q_{1}

i

F

\propto

q_{2}

en conseqüència:

F

\propto

q_{1} q_{2}

Si la distància entre les càrregues és $r$ , en duplicar-la, la força d'interacció disminuïx en un factor de 4 (2²); en triplicar-la, disminuïx en un factor de 9 (3²), al cuadriplicarla, disminuïx en un factor de 16 (4²), i aixina successivament. En conseqüència, la força d'interacció entre dos càrregues puntuals, és inversamente proporcional al quadrat de la distància:

F

\propto

\frac{1}{r^{2}}

Associant abdós relacions:

F

\propto

\frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}

Finalment, s'introduïx una constant de proporcionalitat per a transformar la relació anterior en una igualtat:

F = - κ \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}

a on per al sistema internacional d'unitats equival a:^[1]

κ = 8.9875517923 (14) \times 1 0^{9} \frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}

A on:

q_{1}

i

q_{2}

són els valors de les càrregues en coulombs (C).

r

és la distància que separa a les càrregues en metros (m).

F

és la força d'atracció o repulsió en newtons (N) (càrregues del mateix signe es repelixen, càrregues de signe opost s'atrauen, d'ahí el signe negatiu).

En resum, si la llei de coulomb desapareix deixant únicament la força nuclear que manté als àtoms units, el resultat serà el fenomen astronòmic que solament es dona durant el colapse gravitacional d'estreles super massives, no una supernova, sino una hipernova, capaç de destruir estreles a decenes d'anys llum de distància, que pot alcançar temperatures de 100 mil millons a 1 billó de graus Celsius. Una atra conseqüència de la desaparició de la llei de Coulomb seria que els àtoms, que contenen càrregues positives i negatives, se separarien i dispersarien com dos pols oposts de manera violenta, lliberant grans cantitats d'energia.

Enunciat de la llei

La llei de Coulomb és vàlida solament en condicions estacionarias, és dir:

Quan no hi ha moviment de les càrregues o, com a aproximació, quan el moviment es realisa a velocitats baixes i en trayectòries rectilíneas uniformes. És per açò que la força relacionada a esta llei és cridada força electrostàtica.

En térmens matemàtics, la magnitut $F$ de la força que cada una de les dos càrregues puntuals $q_{1}$ i $q_{2}$ , separades per una distància $d$ , eixercix sobre l'atra s'expressa com:

Donades dos càrregues puntuals $q_{1}$ i $q_{2}$ separades una distància $d$ en el buit, s'atrauen o repelixen entre sí en una força la magnitut de la qual està donada per:

La llei de Coulomb s'expressa millor en magnituts vectorials:

Representació gràfica de la llei de Coulomb per a dos càrregues del mateix signe

A on

𝐮_{d}

és un vector unitari (que va de la càrrega 1 a la càrrega 2), sent la seua direcció des de la càrrega que produïx la força cap a la càrrega que l'experimenta; i

𝐫_{12}

és el vector de separació entre les càrregues. En aplicar esta fòrmula en un eixercici, és necessari colocar el signe de les càrregues segons siguen estes positives o negatives.

L'exponent de la distància de la llei de Coulomb és, fins a a on se sap actualment, exactament 2. Experimentalment se sap que, si l'exponent anara de la forma $(2 + δ)$ , llavors $| δ | < 1 0^{- 16}$ .

Observe's que açò satisfà la tercera llei de Newton, degut a que implica que forces d'igual magnitut actuen sobre $q_{1}$ i $q_{2}$ . L'equació de la llei de Coulomb és una equació vectorial, i inclou el fet de que la força actua a lo llarc de la llínea d'unió entre les càrregues.

Constant de Coulomb

Artícul principal → Constant de Coulomb.

La constant $κ$ és la constant de Coulomb, i el seu valor per a unitats SI és $1 / (4 π ε)$ N m²/C².

A la seua volta, la constant $ε = ε_{r} ε_{0}$ a on $ε_{r}$ és la permitividad relativa, $ε_{r} \geq 1$ , i $ε_{0} = 8, 85 \times 1 0^{- 12}$ F/m és la permitividad del buit. Quan el mig que rodeja a les càrregues no és el buit, cal tindre en conte la constant dielèctrica i la permitividad del material. Finalment, l'equació de la llei de Coulomb queda expressada de la següent manera:

$F = κ \frac{| q_{1} | | q_{2} |}{r^{2}}$

Si les unitats de les càrregues es troben en coulombs, la constant és la següent: $K = 9 \cdot 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ i el seu resultat serà en sistema MKS ( $N / C$ ). En canvi, si l'unitat de les càrregues estan en UES (q), la constant s'expressa de la següent forma: $K = {d y n \cdot c m^{2} / u e s}^{2} (q)$ i el seu resultat serà en sistema CGS ( $D / U E S (q)$ ).

Potencial de Coulomb

La llei de Coulomb establix que la presència d'una càrrega puntual general induïx en tot l'espai l'aparició d'un camp de forças que decau segons la llei de l'inversa del quadrat. Per a modelizar el camp generat per vàries càrregues elèctriques puntuals estàtiques pot usar-se el principi de superposició, donada l'activitat de les forces sobre una partícula. No obstant, matemàticament, el maneig d'expressions vectorials d'eixe tipo pot aplegar a ser complicat, per lo que freqüentment resulta més senzill definir un potencial elèctric. Per a això, a una càrrega puntual $q_{1}$ se li assigna una funció escalar o potencial de Coulomb $ϕ_{1}$ , tal que la força donada per la llei de Coulomb siga expressable com:

De la llei de Coulomb es deduïx que la funció escalar que satisfà l'anterior equació és:

a on:

𝐫

és el vector posició genèric d'un punt a on es pretén definir el potencial de Coulomb.

𝐫_{q_{1}}

és el vector de posició de la càrrega elèctrica

q_{1}

el camp de la qual pretén caracterisar-se per mig del potencial.

Llimitacions de la llei de Coulomb

L'expressió matemàtica solament és aplicable a càrregues puntuals estacionarias, i per a casos estàtics més complicats de càrrega necessita ser generalisada per mig del potencial elèctric. El camp elèctric creat per una distribució de càrrega donada per $ρ$ :

Quan les càrregues elèctriques estan en moviment és necessari reemplaçar inclús el potencial de Coulomb pel potencial vector de Liénard-Wiechert, especialment si les velocitats de les partícules són propenques a la velocitat de la llum. El camp elèctric queda llavors determinat per les equacions de Panofsky-Phillips o per les equacions de Jefimenko.
Per a càrregues a distàncies chicotetes (de l'orde del tamany dels àtoms), la força electrostàtica efectiva deu ser corregida per factors quàntics.
Per a camps molt intensos pot ocórrer el fenomen de la creació espontànea de parells de partícula-antipartícula que requerixen corregir el camp per a distàncies molt curtes.

Verificació experimental de la llei de Coulomb

És possible verificar la llei de Coulomb per mig d'un experiment senzill. Consideren-se dos chicotetes esferes de massa m en càrregues iguals del mateix signe, que pengen de dos fils de llongitut l, tal com s'indica en la figura. Sobre cada esfera actuen tres forces en un respal: el pes mg, la tensió de la cuerdo T i la força de repulsió elèctrica entre les esferes $F_{1}$ . En l'equilibri:

i també:

Dividint (1) entre (2) membre a membre, s'obté:

Sent $L_{1}$ la separació d'equilibri entre les esferes carregades, la força $F_{1}$ de repulsió entre elles val, d'acort en la llei de Coulomb, $F_{1} = q^{2} / (4 π ε_{0} L_{1}^{2})$ , i per lo tant, es complix la següent igualtat:

En descarregar una de les esferes i posar-la en contacte en l'esfera carregada, cada una d'elles adquirix una carrega q/2. En l'equilibri la seua separació serà $L_{2} < L_{1}$ i la força de repulsió entre les mateixes estarà donada per:

Per estar en equilibri, tal com es va deduir més dalt: $F_{2} = m g . \tan θ_{2}$ . I de modo similar s'obté:

Dividint (3) entre (4), membre a membre, s'aplega a la següent igualtat:

Medint els ànguls $θ_{1}$ i $θ_{2}$ i les separacions entre les càrregues $L_{1}$ i $L_{2}$ , és possible verificar que l'igualtat es complix dins del error experimental. En la pràctica, els ànguls poden resultar difícils de medir, aixina que si la llongitut dels fils que sostenen les esferes són lo suficientment llarcs, els ànguls resultaran lo prou menuts com per a fer la següent aproximació:

$\tan θ \approx \sin θ = \frac{\frac{L}{2}}{l} = \frac{L}{2 l} ⟹ \frac{\tan θ_{1}}{\tan θ_{2}} \approx \frac{\frac{L_{1}}{2 l}}{\frac{L_{2}}{2 l}}$

En esta aproximació, la relació (5) es transforma en una atra molt més simple:

$\frac{\frac{L_{1}}{2 l}}{\frac{L_{2}}{2 l}} \approx 4 {(\frac{L_{2}}{L_{1}})}^{2} ⟹$ $\frac{L_{1}}{L_{2}} \approx 4 {(\frac{L_{2}}{L_{1}})}^{2} ⟹ \frac{L_{1}}{L_{2}} \approx \sqrt[3]{4}$

D'esta forma, la verificació es reduïx a medir la separació entre càrregues i comprovar que el seu cocient s'aproxima al valor indicat.

Vore també

Referències

↑ «CODATA Value: vacuum electric permitivity».

Bibliografia

(2008) Physics for Scientists and Engineers, 6th edició, New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-8964-7.
(2010) Sears and Zemansky's University Physics : With Modern Physics, 13th edició, Addison-Wesley (Pearson). ISBN 978-0-321-69686-1.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ley de Coulomb» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «CODATA Value: vacuum electric permitivity».

[1]