Equacions de Panofsky-Phillips

En electromagnetisme, les equacions de Panofsky-Phillips, nomenades en honor a Wolfgang Panofsky i Melba Phillips, donen l'expressió del camp elèctric I i del camp magnètic B creats per una distribució arbitrària de càrregues i de corrents elèctriques en l'espai. Es tracta d'una generalisació depenent del temps de la llei de Coulomb per al camp elèctric, i de la llei de Biot-Savart per al camp magnètic. Estes equacions són la solució general de les equacions de Maxwell per a qualsevol distribució arbitrària de càrregues i de corrents, i tenen en conte en particular el retardo lligat a la propagació a velocitat finita dels camps I i B en l'espai (estos últims propagant-se a la velocitat de la llum en el buit, anotada c).

Estes equacions varen aparéixer per primera volta en 1962 en la segona edició del llibre «Classical Electricity and Magnetism» de Panofsky i Phillips, i cal senyalar que són equivalents a les equacions de Jefimenko (publicades en 1966), encara que les seues expressions formals per al camp I siguen diferents.

Les equacions

Es nota respectivament ρ la densitat volumètrica de càrrega elèctrica en cada punt d'un volum V de l'espai, i J la densitat volumètrica de corrent elèctrica.

Si s'estudien els camps I i B engendrats en un punt M per una distribució arbitrària de càrregues i de corrents contingudes en el volum V, llavors, anotant r la distància entre cada punt font i M, i n el vector unitari apuntant des de cada punt font cap a M, les equacions de Panofsky-Phillips donen (en el punt M) :

$𝐄=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\iiint (\frac{[\rho ]𝐧}{r^2}+\frac{(\left[𝐉\right]\cdot 𝐧)𝐧+(\left[𝐉\right]\times 𝐧)\times 𝐧}{c{r}^2}+\frac{(\left[\dot{𝐉}\right]\times 𝐧)\times 𝐧}{c^{2}r})d{V}^{\prime }$

$𝐁=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\iiint (\frac{\left[𝐉\right]\times 𝐧}{c^2{r}^2}+\frac{\left[\dot{𝐉}\right]\times 𝐧}{c^{3}r})d{V}^{\prime }$

en : $[\rho ]=\rho (t-\frac{r}{c})$ , $[𝐉]=𝐉(t-\frac{r}{c})$ i $\left[\dot{𝐉}\right]=\dot{𝐉}(t-\frac{r}{c})$

En estes equacions :

• ${\epsilon }_0$ és la permitividad del buit (${\epsilon }_0$ = 8,854 187 82 $\times$10^-12 F/m)
• c és la velocitat de la llum en el buit (c = 299 792 458 m/s)
• $\dot{𝐉}$ és la derivada temporal del vector densitat de corrent $𝐉$ en un punt

Anàlisis

Quatre conclusions principals poden ser extretes d'estes equacions :

Propagació i retardo

Si s'observen les diferents fonts del camp electromagnètic que apareixen en les equacions de Panofsky-Phillips (ρ, $𝐉$ i $\dot{𝐉}$), s'observa que estes últimes estan sistemàticament escrites entre corchetes [ ], lo que implica que cal considerar sempre el seu estat en l'instant passat (cridat instant retardado) t' = (t - r/c), i no en l'instant present t.

Açò traduïx el fet de que els camps elèctric i magnètic es propaguen a la velocitat finita c, és dir a 299 792 458 m/s. Existix per tant sempre un cert retart entre una variació a nivell de les fonts i els efectes que estes poden engendrar en un atre punt de l'espai. Este retart és igual al temps de propagació dels camps entre la font i el receptor, r/c.

Interpretació física de cada terme

Tres térmens apareixen en la fòrmula del camp elèctric I :

• el primer terme està lligat a la posició retardada de les càrregues elèctriques font (es reconeix la llei de Coulomb expressada en l'instant retardado t') ;

• el segon terme està lligat a la velocitat retardada de les carregues font. Aporta una correcció al camp coulombiano retardado (primer terme) compensant els efectes de retardo quan les corrents són constants en el temps ($\dot{𝐉}$ = 0). Una de les propietats notables d'este terme és anular-se quan es té al mateix temps div(J) = 0 i $\dot{𝐉}$ = 0 (és dir en règim estacionario) ;
• el tercer terme està provocat per la acceleració (en el temps retardado) de les carregues font (es pot parlar de « camp d'acceleració »).

D'igual forma, per al camp magnètic B, es reconeix un primer terme lligat a la velocitat de les carregues font (llei de Biot-Savart retardada), i un segon terme provocat pel seu acceleració.

Distinció entre camp propenc i camp radiado

Podem separar els diferents térmens d'estos camps en dos categories : uns posseïxen una disminució en 1/r², inversamente proporcional al quadrat de la distància (podem per tant calificar estos térmens de « camps propencs », ya que solament són significatius en la proximitat immediata de les fonts), mentres que els atres posseïxen una disminució en 1/r (es tracta dels camps d'acceleració, també cridats camps « radiados », que es tornen cada volta més predominants a mida que un s'allunta de les fonts, per la seua disminució més llenta en la distància).

$𝐄=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\iiint \left(\frac{[\rho ]𝐧}{r^2}+\frac{(\left[𝐉\right]\cdot 𝐧)𝐧+(\left[𝐉\right]\times 𝐧)\times 𝐧}{c{r}^2}+\frac{(\left[\dot{𝐉}\right]\times 𝐧)\times 𝐧}{c^{2}r}\right)d{V}^{\prime }$

$𝐁=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\iiint \left(\frac{\left[𝐉\right]\times 𝐧}{c^2{r}^2}+\frac{\left[\dot{𝐉}\right]\times 𝐧}{c^{3}r}\right)d{V}^{\prime }$

• En vert, tenim els camps propencs (disminució en 1/r²).
• En roig, tenim els camps radiados (disminució en 1/r).

Notem que els camps lligats a la posició i a la velocitat de les carregues font posseïxen una disminució en 1/r², i que aquells lligats a l'acceleració de les carregues font posseïxen una disminució en 1/r.

• En la zona de camp lluntà (és dir quan r >> λ), es pot considerar els térmens en 1/r² com a despreciables front als térmens en 1/r, lo que permet simplificació en el càlcul del camp electromagnètic (vore camp pròxim i camp lluntà). En este cas, l'expressió dels camps emesos pot reduir-se a :

$𝐄=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \left(\frac{(\left[\dot{𝐉}\right]\times 𝐧)\times 𝐧}{r}\right)d{V}^{\prime }$

$𝐁=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^3}\iiint \left(\frac{\left[\dot{𝐉}\right]\times 𝐧}{r}\right)d{V}^{\prime }$

a on solament es conserven els camps radiados.

• En la zona de camp propenc (r << λ), els camps poden calcular-se utilisant l'aproximació de règims cuasi estacionarios. És en esta zona a on apareixen fenomens com l'inducció electromagnètica i la força de Abraham-Lorentz.

Propietats dels camps radiados

• Els térmens « radiados », que constituïxen lo que es diu el radiació electromagnètica, són sempre generats per variacions temporals de corrent, és dir per càrregues accelerades. Una càrrega elèctrica que no s'accelera no produirà cap camp I o B en disminució en 1/r.

• Ademés, l'emissió és direccional (o anisótropa) : l'amplitut dels camps emesos depén de la direcció d'observació (és nula en l'eix d'acceleració, i màxima en el pla ortogonal a l'acceleració). Podem ilustrar esta propietat observant els camps emesos per un dipol oscilante :

Radiació d'una antena dipol

Diagrama de radiació d'una antena dipol

(Un tal dipol oscilante és incapaç d'emetre o detectar radiació a lo llarc del seu eix, mentres que l'eficàcia d'esta operació és màxima en el pla equatorial).

• Es notarà igualment que estos térmens són ortogonals a n, lo que implica que són sempre travesseres sobre la direcció de propagació dels camps electromagnètics radiados, com es pot vore a continuació :

Propagació dels camps radiados en l'espai

• Les equacions de Panofsky-Phillips mostren ademés que el camp magnètic radiado està lligat al camp elèctric radiado per la relació :

$${𝐁}_{\text{rad}}=\frac{𝐧\times {𝐄}_{\text{rad}}}{c}$$

Per tant, en la zona de camp lluntà (r >> λ), el camp magnètic està lligat al camp elèctric per :

$$𝐁=\frac{𝐧\times 𝐄}{c}$$

Es té llavors $𝐄\perp 𝐁\perp 𝐧$ .

Estes propietats permeten per eixemple explicar l'orige de la pressió de radiació.

La freqüència d'oscilació de la font determinarà a quin domini del espectre electromagnètic pertany la radiació emesa :

Espectre electromagnètic

Enllaç en els potencials retardados

L'estudi de les equacions de Maxwell, en particular les de Maxwell-Thomson i Maxwell-Faraday, nos mostra (utilisant el teorema de Helmholtz) que els camps I i B poden calcular-se a partir de potencials V i A tals que :

$𝐄=-\mathrm{grad}\left(V\right)-\frac{\partial 𝐀}{\partial t}$

$𝐁=\mathrm{rot}\left(𝐀\right)$

En elegir la gauge de Lorenz, s'obté com a expressió d'estos [[Potencial retardado |potencials retardados]] :

$V=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\iiint \left(\frac{[\rho ]}{r}\right)d{V}^{\prime }$

$𝐀=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \left(\frac{\left[𝐉\right]}{r}\right)d{V}^{\prime }$

a on V és el potencial escalar, i A el potencial vectorial.

Per a calcular els camps emesos per una càrrega puntual q, s'utilisaran els potencials de Liénard-Wiechert.

Expressió dels camps propencs i dels camps radiados a partir dels potencials

Es pot descompondre el potencial vectorial A en una component radial A_n (soportada pel vector n) i en una component travessera A_$\perp$ (ortogonal al vector n) :

${𝐀}_n=(𝐀\cdot 𝐧)𝐧$

${𝐀}_{\perp }=-(𝐀\times 𝐧)\times 𝐧$

• Si es nota respectivament I_prox i B_prox la part dels camps elèctric i magnètic que posseïx una disminució en 1/r² en les equacions de Panofsky-Phillips, estos estan lligats als potencials retardados per les relacions :

${𝐄}_{\text{prox}}=-\mathrm{grad}\left(V\right)-\frac{\partial {𝐀}_n}{\partial t}$

${𝐁}_{\text{prox}}=\mathrm{rot}\left({𝐀}_n\right)$

• Si es nota respectivament I_rad i B_rad la part dels camps elèctric i magnètic que posseïx una disminució en 1/r en les equacions de Panofsky-Phillips, estos estan lligats als potencials retardados per les relacions :

${𝐄}_{\text{rad}}=-\frac{\partial {𝐀}_{\perp }}{\partial t}$

${𝐁}_{\text{rad}}=\mathrm{rot}\left({𝐀}_{\perp }\right)$

La component radial de A està per tant lligada al camp propenc, mentres que la component travessera de A està lligada al camp radiado.

Comparació en les equacions de Jefimenko

Si es comparen les equacions de Panofsky-Phillips i les de Jefimenko, s'observa que les seues expressions són idèntiques per al camp magnètic B, pero diferixen per al camp elèctric I, encara que les dos fòrmules siguen equivalents.

Ademés, es pot constatar que l'equació de Panofsky-Phillips per al camp I oferix un interés pedagògic superior a la de Jefimenko, en la mida en que posa en evidència la separació entre els camps propencs i els camps radiados, i permet identificar directament les característiques generals dels camps radiados, cosa que no permet l'expressió de Jefimenko. Permet en particular una millor comprensió qualitativa del fenomen de radiació electromagnètica.

En canvi, l'equació de Jefimenko, per la seua escritura més compacta, és en la majoria dels casos més fàcil d'utilisar que la de Panofsky-Phillips per a calcular el valor del camp I en una situació donada. Una de les úniques excepcions és el cas de la radiació dipolar.

Les equacions de Panofsky-Phillips i de Jefimenko oferixen per tant interessos complementaris.

Complement

Les equacions de Panofsky-Phillips permeten determinar l'expressió del camp elèctric I i del camp magnètic B en tot punt de l'espai.

Una volta coneguts estos camps, es pot deduir la força que actua sobre una partícula de càrrega q i de velocitat v situada en el punt M calculant la força de Lorentz :

$$𝐅=q(𝐄+𝐯\times 𝐁)$$

Vore també

• camp elèctric
• camp magnètic
• Llei de Coulomb
• Llei de Biot-Savart
• Equacions de Maxwell
• Teorema de Helmholtz
• Potencial retardado
• Equacions de Jefimenko
• radiació electromagnètica
• camp pròxim i camp lluntà