Camp gravitatorio

En física, el camp gravitatorio o camp gravitacional és un camp de forces que representa la gravetat. Si es dispon en certa regió de l'espai una massa $M$, l'espai al voltant de $M$ adquirix certes característiques que no disponia quan no estava $M$. Este fet es pot comprovar acostant una atra massa $m$ i constatant que es produïx l'interacció. A la situació física que produïx la massa $M$ li la denomina camp gravitatorio. Afirmar que existix alguna cosa al voltant de $M$ és purament especulatiu, ya que solament es nota el camp quan es coloca l'atra massa $m$, a la que es diu massa testic o massa de prova.

El tractament que rep el camp gravitatorio és diferent segons les necessitats del problema:

• En física newtoniana o física clàssica el camp gravitatorio ve representat per un camp vectorial.
• En física relativista, el camp gravitatorio ve representat per un camp tensorial de segon orde marcea.

Camp gravitatorio en la física clàssica

Podem associar a cada punt de l'espai el vector intensitat del camp gravitatorio creat en el per la presència d'una massa M. El conjunt de tots estos vectores en els distints punts de l'espai constituïx un Camp Gravitatorio.

En física newtoniana, el camp gravitatorio es representa per mig d'un camp vectorial conservativo que les seues llínees de camp són obertes. Pot definir-se com la força per unitat de massa que experimentarà una partícula puntual en presència d'una distribució de massa. Les seues dimensions són, per lo tant, les d'una acceleració, encara que se sol utilisar la dimensió de força per unitat de massa -que és equivalent- i expressar la seua intensitat en N/kg (newtons/quilogram).

Matemàticament, l'intensitat $g$ del camp gravitatorio produït per una distribució de masses qualsevol es definix com:

$g=\underset{m\to 0}{\lim }\frac{F}{m}$

a on:

• $m$ és una massa de prova
• $F$ és la força gravitatoria que actua sobre la massa de prova

Els camps gravitatorios són aditius. L'intensitat del camp gravitatorio creat per una distribució de massa és igual a la suma vectorial de les intensitat dels camps creats pels seus diferents elements constitutius.

Campos gravitatorios

El camp $𝐠$ creat per una massa puntual $M$ o per una esfera homogénea de massa $M$ en un punt exterior a l'esfera està dirigit cap al seu centre i ve dau per l'expressió:

a on $r$ és la distància del punt al centre de l'esfera. Esta equació (1), per la que el camp decreix segons la llei de l'inversa del quadrat solament és vàlida per a punts exteriors a l'esfera.

Càlcul del camp gravitatorio creat per una distribució contínua de matèria.

En l'interior de l'esfera es pot demostrar que el camp varia segons una llei depenent de la distribució de massa; aixina, per al cas d'una esfera homogénea de radi $R$, creix linealment des de zero en el centre de l'esfera fins a la seua superfície, a on val:

(2) $g=-\frac{GM}{R^2}$

El camp $𝐠$ creat per una distribució de massa totalment general en un punt de l'espai $𝐫$ es determina per mig d'integració, sumant vectorialment les aportacions de porcions infinitesimals de massa:

L'interés de descriure l'interacció gravitatoria per mig d'un camp radica en la possibilitat d'expressar l'interacció gravitacional com el producte de dos térmens, un que depén del valor local del camp $𝐠$ i un atre una propietat escalar que representa la resposta de l'objecte que sofrix l'acció del camp. Per eixemple, el moviment d'un planeta es pot descriure com el moviment orbital del planeta en presència d'un camp gravitatorio creat pel Sol.

La divergència i el rotacional del camp gravitatorio valen:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐠=-4\pi G\rho \mathrm{\nabla }\times 𝐠=0$

La primera nos indica que les seues fonts o orígens són escalares (la massa) i el segon nos indica que és conservativo.

Potencial gravitatorio

Artícul principal → Potencial gravitatorio.

Circulació entre dos punts d'un camp de forces centrals. El resultat no depén del camí seguit, sino tan sol de les posicions dels dos punts. En conseqüència, el camp de forces centrals és conservativo.

Podem demostrar que el camp gravitatorio és conservativo sense més que comprovar la seua circulació entre dos punts genèrics A i B és independent del camí o trayectòria que seguim. En efecte, calculant dita circulació (treball per unitat de massa), i d'acort en la notació reflectida en la figura, obtenim:

$\frac{W_{AB}}{m}=\underset{A}{\overset{B}{\int }}𝐠\cdot d𝐫=\underset{A}{\overset{B}{\int }}-G\frac{M}{r^2}{𝐮}_r\cdot d𝐫=-GM\underset{A}{\overset{B}{\int }}\frac{dr}{r^2}={\left[\frac{GM}{r}\right]}_A^B=\frac{GM}{r_B}-\frac{GM}{r_A}$

Açò és, el treball(la circulació) realisat pel camp és funció únicament dels valors que pren una certa funció escalar de punt en els extrems de la trayectòria, en independència del camí seguit. Eixa funció escalar es denomina potencial gravitatorio i, en el cas del camp creat per una massa puntual (o una distribució esfèrica de massa) ve expressat per:

$\varphi (r)=-\frac{GM}{r}$

D'esta manera,

$\frac{W_{AB}}{m}=(\frac{GM}{r_B}-\frac{GM}{r_A})=-(\varphi (r_B)-\varphi (r_A))$

a on el signe negatiu indica que el treball realisat per la força gravitatoria representa una disminució del potencial gravitatorio. Açò és, si la partícula es mou en la direcció del camp, el treball que est realisa sobre ella és positiu i el seu potencial gravitatorio disminuïx.

Aixina a cada punt de l'espai se li pot assignar un potencial gravitatorio $\varphi$ relacionat en la densitat de la distribució de massa per mig de la seua laplaciano i en el camp gravitatorio per mig del seu gradient per:

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\Delta \varphi =4\pi G\rho \mathrm{\nabla }\varphi =-𝐠$

Llínees de camp

Artícul principal → Llínea de força.

Una llínea de força o llínea de camp, normalment en el context del electromagnetisme, és la curva que la seua tangente proporciona la direcció del camp en eixe punt. Com a resultat, també és perpendicular a les llínees equipotencialés en la direcció convencional de major a menor potencial. Suponen una forma útil de esquematizar gràficament un camp, encara que són imaginàries i no tenen presència física.

Camp gravitatorio en física relativista

Flamm Paraboloide (solució exterior de Schwarzschild)

En la teoria de la relativitat general el camp gravitatorio no es descriu com un camp de forces, sino que les trayectòries curves que els cossos seguixen en l'espai tridimensional, són solament un reflex de que l'espai-temps és curve. D'acort en la teoria de la relativitat general, una partícula puntual en caiguda lliure en un camp gravitatorio està seguint una llínea de mínima curvatura, cridada geodèsica, sobre un espai-temps curve. Per tant, la curvatura de les trayectòries tridimensionals es deu a que la llínea més recta possible en l'espai-temps de quatre dimensions no es proyecta com una recta, vista des del espai tridimensional.

El camp gravitatorio s'interpreta en relativitat com la curvatura de l'espai-temps que, en presència de matèria, deixa de ser pla. Allí a on l'espai-temps no és pla, es percep eixe fet com a camp gravitatorio local, i viceversa, allí a on es percep camp gravitatorio es té una geometria curva de l'espai-temps. Aixina, la teoria relativista d'Einstein del camp gravitatorio és una teoria de l'estructura geomètrica local de l'espai-temps. En esta teoria el tensor de curvatura de Ricci està associat al tensor d'energia-moment de la matèria:

A on:

$R_{ik}$ són les components del tensor de curvatura de Ricci.

$g_{ik}$ són les components del tensor mètric que permet medir distàncies en l'espai-temps curve.

$R$ és l'escalar de curvatura de Ricci.

$T_{ik}$ són les components del tensor d'energia-impulse de la matèria que crea el camp.

$G,c$ són la constant de la gravitació universal i la velocitat de la llum.

Aproximació de camps dèbils

AP

Per a camps gravitatorios dèbils, que donen lloc a un espai temps asintóticamente pla i cossos movent-se en ells a velocitats chicotetes comparades en la velocitat de la llum (des del punt de vista dels observadors estacionarios molt alluntats de la font gravitatoria), pot representar-se la geometria de l'espai-temps curve per mig d'una mètrica molt propenca a a el mètrica euclídea donada per:

Les equacions del moviment d'una partícula en un camp gravitatorio dèbil del tipo anterior vénen donades per:

La primera de les anteriors implica que les coordenades espacials varien similarment al cas clàssic, encara que afectats per un factor de ralentisació temporal $({\dot{t}}^2)$, mentres que la relació entre el temps propi i la coordenada temporal s'obté integrant la segona equació:

Espai-temps estacionario

En el cas general d'un espai-temps no estacionario no és possible aproximar el camp per mig d'un camp de forces derivades d'un potencial. No obstant, en el cas d'un espai-temps estàtic és possible trobar un anàlec al potencial gravitatorio, que en el llímit de camps dèbils es reduïx al potencial newtoniano. Per a vore açò, es partix de la forma general de la mètrica en un espai-temps estàtic que ve donada per:

A partir de la relació fonamental per a l'energia-moment, es té que:

es pot definir un "potencial gravitatorio efectiu" ${\varphi }_g$ tal que:

De les dos últimes equacions es té que:

Per a camps dèbils, esta última equació es pot reescriure, usant l'aproximació $\sqrt{1+x}\approx 1+x/2$, com:

que coincidix en l'expressió clàssica de l'energia mecànica newtoniana més la massa en repòs. Si no s'usa esta aproximació es pot escriure l'energia potencial efectiva per a un espai-temps estàtic com:

Per al cas, una miqueta més general d'un espai-temps estacionario poden usar-se els dos potencials de Hansen, un dels quals eixercita un paper anàlec al potencial newtoniano i l'atre dona l'efecte gravitomagnético.

Espai-temps general

Si l'espai temps no és estacionario no existix cap anàlec local de l'energia gravitatoria. De fet, en el cas més general en relativitat general no pot definir-se un tensor d'energia-impulse per al camp gravitatorio, per lo que la noció de conservació de l'energia en cas general no és anàloga al cas clàssic. Si be existix una llei local de conservació de l'energia, no existix una magnitut global que puga considerar-se l'energia del sistema, incloent el camp gravitatorio.

Bibliografia

• Landau & Lifshitz, Teoria clàssica dels camps, Ed. Reverté, ISBN 84-291-4082-4.

• Ortega, Manuel R. (1989-2010). Lliçons de Física (4 volums), Monytex.