Vector de Killing

Archiu:Killing-vector-s2.png

Vector de Killing.

Un vector de Killing o camp vectorial de Killing és un vector definit sobre una varietat de Riemann o pseudoriemanniana que definix un grup uniparamétrico d'isometrías. En teoria de la relativitat general els vectores de Killing són de gran importància perque permeten definir tant lleis de conservació com construir atres invariantes útils en la resolució de problemes físics.

El concepte de vector de Killing es deu a Wilhelm Killing (1847-1923).

Definicions

Els vectores de Killing es definixen per mig de la condició de que la derivada de Lie de la mètrica en la direcció donada per un camp vectorial de Killing k és nula:

(1) ${ℒ}_{𝐤}g=0$

En una varietat (pseudo)riemanniana en la que la conexió és la conexió sense torsió associada de manera natural a la mètrica l'expressió (1) es pot expressar en térmens de la derivada covariant:

A on s'ha usat el fet de que el primer terme del segon membre és zero i ademés s'ha usat l'operació de pujar i baixar índexs.

Vectores de Killing i isometría

Donat un camp vectorial de Killing diferenciable llavors pot definir-se un grup uniparamétrico local d'isometrías sobre la varietat de Riemann a partir de les curves integrals associades a eixe camp vectorial. Per a cada punt p de la varietat en coordenades $\phi (p)=\{x_0^a\}$, en una certa carta local $\phi$, considerem la curva integral que és solució de la següent equació diferencial:

Definim un grup uniparamétrico d'isometría ${\varphi }_s$ associat al vector de Killing com:

$\phi ({\varphi }_s(p))=x(s+t_0)$

El caràcter isomètric de ${\varphi }_s$ per a cada valor de s es reflectix que el pullback de dita aplicació satisfà:

${\varphi }_s^{*}{g}_{ab}=g_{ab}$

És dir l'aplicació anterior aplica punts de la varietat en punts que té una forma idèntica de mètrica, dit d'un atre modo, la mètrica és "invariante" baixe l'acció del grup d'isometría associat a un vector de Killing.

Vore també

• Tensor de Killing
• Anex:Glossari de relativitat

Referències

Bibliografia

• Jost, Jurgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin: Springer-Verlag..
• Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem (1975). Introduction to General Relativity (Second Edition), New York: McGraw-Hill.. See chapters 3,9
• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation, W H Freeman and Company.