Varietat pseudoriemanniana

Matemàticament l'espai-temps curve que usa la teoria de la relativitat és una varietat pseudoriemanniana en curvatura donada per la densitat d'energia-impulse.

En geometria diferencial, una varietat pseudoriemanniana és una varietat diferenciable equipada en un tensor mètric (0,2)-diferenciable, simètric, que és no degenerado en cada punt de la varietat. Este tensor es diu un tensor mètric pseudoriemanniano i a diferència d'un tensor mètric riemanniano no té per qué ser definit positiu. De fet la varietats pseudoriemannianas generalisen el concepte de varietat riemanniana.

Un tipo especial de varietat pseudoriemanniana són les bandes lorentzianas o varietats de Lorentz (en honor a Hendrik Antoon Lorentz). Estes varietats tenen la propietat de tindre signatura (1,n-1) quan la varietat té dimensió n. Les varietats lorentzianas tenen el seu interés en la teoria de la relativitat general, ya que un dels supòsits bàsics és que l'espai-temps pugues modelizarse com una varietat pseudoriemanniana de quatre dimensions de signatura (1,3), és dir, la varietat puga interpretar-se com formada per 3 dimensions espacials i una temporal.

Varietats riemannianas i pseudoriemannianas

La diferència clau entre una mètrica riemanniana i una mètrica pseudoriemanniana és que una mètrica pseudoriemanniana no necessita ser definida positiva, simplement no degenerada. ya que cada forma positiu-definida és també no degenerada, una mètrica riemanniana és un cas especial de pseudoriemanniano. Aixina, les varietats pseudoriemannianas poden considerar-se generalisacions de les varietats de Riemann.

Cada forma no degenerada, simètrica bilineal té una signatura fixa (p, q). Ací p i q denoten el número dels valors propis positius i negatius de la forma. La signatura d'una varietat pseudoriemanniana és just la signatura de la mètrica (un deu insistir que la signatura està igual en cada component conexo). Observe que p + q = n és la dimensió de la varietat. Les varietats de Riemann són simplement eixos en la signatura (n, 0).

L'espai modele per a una varietat pseudoriemanniana de signatura (p, q) és R^{p, q} en la mètrica

(1) $g=d{x}_1\otimes d{x}_1+\cdots +d{x}_p\otimes d{x}_p-d{x}_{p+1}\otimes d{x}_{p+1}-\cdots -d{x}_{p+q}\otimes d{x}_{p+q}$,

Algunes teoremes bàsiques de la geometria de Riemann es poden generalisar al cas pseudoriemanniano. En particular, el teorema fonamental de la geometria de Riemann és veritat en les varietats pseudoriemannianas també. Açò permet que es parle de la conexió de Levi-Civita en una varietat pseudoriemanniana junt en el tensor associat de curvatura. Per una atra part, hi ha moltes teoremes en la geometria de Riemann que no se sostenen en el cas generalisat. Per eixemple, no és veritat que cada varietat diferenciable admet una mètrica pseudoriemanniana d'una signatura donada; hi ha certes obstrucció topològiques.

Varietats de Lorentz

Les mètriques pseudoriemannianas de signatura (p, 1) (o a voltes (1, q), considerant la convenció de signe) es diuen mètriques de Lorentz. Una varietat equipada d'una mètrica de Lorentz naturalment es diu una varietat de Lorentz. Despuix de les varietats de Riemann, les varietats de Lorentz formen la subclasse més important de les varietats pseudoriemannianas. Són importants pels seus usos físics per a la teoria de la relativitat general. Una assunció principal de la relativitat general és que l'espai-temps pot modelar-se com a varietat de Lorentz de la signatura (3, 1).

Aixina que, l'espai euclídeo Rⁿ pot pensar-se com la varietat modele de Riemann, l'espai de Minkowski R^p,1 en la mètrica chata de Minkowski és la varietat modele de Lorentz.

Una diferència important entre les varietats de Riemann i les varietats de Lorentz, és que en les primeres tota curva geodèsica és un mínim local de llongitut, mentres que en una varietat lorentziana és un extrem local o una curva de "llongitut zero" (un mínim en el cas de geodèsiques espacials, un màxim en el cas de geodèsiques temporals i una curva de "llongitut" zero a lo llarc d'una geodèsica lumínica).

Bibliografia

• O'Neill, B. Semi-Riemannian Geometry: With Applications to Relativity. Academic Press, 1983.

ISBN 0-12-526740-1