Llei de pujar o baixar índexs (tensors)

La llei de pujar o baixar índexs és un método per a construir isomorfismes entre espais de tensorés covariants i contravariantes definits sobre una varietat riemanniana o pseudoriemanniana $(ℳ,g_{ij})$. Per tant per a amprar, la pujada i baixada d'índexs és necessari usar el tensor mètric $g_{ij}$ (i el seu invers $g^{ij}$, cridat co-tensor mètric).

Estes operacions resulten molt útils en la teoria general de la relativitat a on qualsevol magnitut física pot ser representades per tensors covariants o contravariantes indistintament, i sense alterar el significat físic, segons les necessitats del problema plantejat. Aixina per a qualsevol magnitut física representada per un tensor de tercer ranc, pot ser representat per varis conjunts de magnituts relacionables gràcies a l'operació de "pujar i baixar índexs":

$T_{\alpha \beta \gamma },T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },T^{\alpha \beta \gamma }$

Definició formal

L'operació de pujar o baixar índexs pot ser vista com una contracció del producte tensorial del tensor mètric $g_{ij}$ o el co-tensor mètric $g^{ij}$ en un atre tensor arbitrari. Estos tensors permeten definir un isomorfimo, cridat isomorfisme musical, entre l'espai tangente $T^1(ℳ)$ en un punt d'una varietat diferenciable $ℳ$ i l'espai cotangente $T_1(ℳ)$:

L'isomorfisme invers requerix l'us de les components del co-tensor mètric.

En una varietat riemanniana qualsevol magnitut vectorial pot ser unívocamente definida per un vector (element del espai tangente) o una 1-forma (element de l'espai cotagente), ya que entre abdós espais existix un isomorfisme natural dau pel tensor mètric, tal que fixada una base de l'espai cotangente fixa una base de l'espai tangente:

Una notació freqüent és amprar els signes $\mathrm{♯}$ (sostenuto) i $\mathrm{♭}$ (bemol):

Expressió en coordenades

Tenint en conte lo anterior les components contravariantes (del vector tangente) estan relacionades en les components covariants (de la 1-forma) per mig de la següent relació:

(a on s'ha fet us de la convenció de la suma d'Einstein sobre l'índex j) i ací les components $X^j$ d'un vector (tangente) han segut canviats per $X_i$ que són les components d'un covector o 1-forma associat al mateix vector $𝐗=X^j{𝐞}_j$. Des d'un punt de vista físic la magnitut pot ser igualment ben descrita per les components $X^j$ o les components $X_j$.

L'isomorfisme entre vectores tangentes i covectores cotangentes pot estendre's a tensors de ranc superior a 1. Aixina pot estendre's el isomorfimos anterior a una colecció d'isomorfismes de $T_r^s(ℳ)$ a $T_{r^{\prime }}^{s^{\prime }}(ℳ)$ sempre i quan es complixca que $r+s=r^{\prime }+s^{\prime }$. Aixina si per eixemple tentem un tensor mixt $𝐀={A_{ijk}}^l{𝐞}^i\otimes {𝐞}^j\otimes {𝐞}^k\otimes {𝐞}_l$ i que per tant és 3-covariant i 1-contravariante podem trobar un tensor 4-covariant, les components del qual siguen $A_{ijkl}$ i la relació entre ells és

a on novament s'està fent us de la convenció d'Einstein sobre l'índex s.

Referències

Bibliografia

• John M. Llig (1997). Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-198271-X.
• Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.