Isomorfisme musical

En matemàtiques, el isomorfisme musical és un isomorfisme entre el fibrado tangente $TM$ i el fibrado cotangente $T^{*}M$ d'una varietat riemanniana, que ve induït per la seua mètrica.

Introducció

Una mètrica g en una varietat Riemanniana M és un camp tensorial $g\in {𝒯}_2(M)$ que és simètric, no degenerado i definit positiu. En fixar un dels dos paràmetros com un vector $v_p\in T_{p}M$, s'obté un isomorfisme d'espais vectorials:

${\hat{g}}_p:T_{p}M⟶T_p^{*}M$

definit per:

${\hat{g}}_p(v_p)=g(v_p,-)$

és dir,

$⟨{\hat{g}}_p(v_p),{\omega }_p⟩=g_p(v_p,{\omega }_p)$

Globalment,

$\hat{g}:TM⟶T^{*}M$

és un difeomorfismo.

Motivació per al nom

L'isomorfisme $\hat{g}$ i la seua inversa ${\hat{g}}^{-1}$ es denominen isomorfismes musicals perque pugen i baixen els índexs dels vectores. Per eixemple, un vector de TM s'escriu com ${\alpha }^i\frac{\partial }{\partial x^i}$ i un covector com ${\alpha }_{i}d{x}^i$, aixina que l'índex i puja i baixa en $\alpha$ de la mateixa manera que els símbols sostingut ($\mathrm{♯}$) i bemol ($\mathrm{♭}$) pugen i baixen un semitono.

Vore també

• Llei de pujar o baixar índexs (tensors)