Tensor simètric

En matemàtiques, un tensor simètric és un tipo de tensor que és invariante baix una permutació dels seus arguments vectorials:

$T(v_1,v_2,\dots ,v_r)=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma r})$

per a cada permutació sigma; dels símbols {1, 2, ..., r}. Alternativament, un tensor simètric d'orde r representat en coordenades com una cantitat en r índexs satisfà que

$T_{i_1{i}_2\cdots i_r}=T_{i_{\sigma 1}{i}_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma r}}.$

L'espai de tensors simètrics d'orde r en un espai vectorial V de dimensió finita és naturalment isomorfo al dual de l'espai dels polinomis homogéneus de grau r en V. Sobre cossos de característica zero, l'espai vectorial graduat de tots els tensors simètrics es pot identificar naturalment en l'àlgebra simètrica en V. Un concepte relacionat és el de tensor antisimètric o producte exterior. Els tensors simètrics s'utilisen àmpliament en ingenieria, física i matemàtiques.

Definició

Siga V un espai vectorial i

$T\in V^{\otimes k}$

un tensor d'orde k. Llavors T és un tensor simètric si

${\tau }_{\sigma }T=T$

per a les aplicacions de trenat associades a cada permutació σ en els símbols {1,2,...,k} (o equivalentemente, per a cada transposició en estos símbols).

Donada una base {iⁱ} de V, qualsevol tensor simètric T de ranc k es pot escriure com

$T=\sum _{i_1,\dots ,i_k=1}^N{T}_{i_1{i}_2\cdots i_k}{e}^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes \cdots \otimes e^{i_k}$

per a obtindre una llista única de coeficients $T_{i_1{i}_2\cdots i_k}$ (les components del tensor en la base) que són simètrics sobre els índexs. És dir

$T_{i_{\sigma 1}{i}_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}=T_{i_1{i}_2\cdots i_k}$

per a cada permutació σ.

L'espai de tots els tensors simètrics d'orde k definits en V a sovint es denota per S^k(V) o Sim^k(V). És en sí mateixa un espai vectorial, i si V té dimensió N, llavors la dimensió de Sim^k(V) és el coeficient binomial

$\dim {\mathrm{Sim}}^k(V)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+k-1}{k}).$

A partir d'ací es construïx Sim(V) com la suma directa de Sim^k(V) per a k = 0,1,2,...

$\mathrm{Sim}(V)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{\mathrm{Sim}}^k(V).$

Eixemples

Hi ha molts eixemples de tensors simètrics. Entre ells figuren el tensor mètric, $g_{\mu \nu }$, el tensor d'Einstein, $G_{\mu \nu }$ i el tensor de Ricci, $R_{\mu \nu }$.

Moltes propietats mecàniques dels materials i dels camps utilisats en física i ingenieria es poden representar com a camps tensoriales simètrics; com per eixemple la tensió mecànica, la deformació i la conductivitat anisotrópica. Ademés, en la difusió MRI se solen utilisar tensors simètrics per a descriure la difusió en el cervell o atres parts del cos.

Els elipsoide són eixemples de varietats algebraiques; i aixina, per al ranc general, els tensors simètrics, en forma de polinomis homogéneus, s'utilisen per a definir les varietats proyectivas i, a sovint, s'estudien com a tals.

Donada una varietat de Riemann $(M,g)$ equipada en la seua conexió de Levi-Civita $\mathrm{\nabla }$, el tensor de curvatura covariant és un tensor simètric d'orde 2 sobre l'espai vectorial $V={\Omega }^2(M)={\bigwedge }^2{T}^{*}M$ de 2 formes diferencials. Açò correspon al fet de que, veent que $R_{ijk\ell }\in (T^{*}M{)}^{\otimes 4}$, es té la simetria $R_{ijk\ell }=R_{k\ell ij}$ entre el primer i segon parell d'arguments ademés de la antisimetría dins de cada parell: $R_{jik\ell }=-R_{ijk\ell }=R_{ij\ell k}$.

Vore també

• Tensor antisimètric
• Càlcul de Ricci
• Polinomi de Schur
• Polinomi simètric
• Matriu transpuesta
• Simetrizador de Young

Bibliografia

• (1989).«Elements of mathematics, Algebra I».Springer-Verlag..
• (1990).«Elements of mathematics, Algebra II».Springer-Verlag..
• (1967).«Multilinear algebra».Springer-Verlag New York, Inc., New York..
• (1983).«Lectures on differential geometry».Chelsea.New York:.