Coeficient binomial

Archiu:Binomial theorem visualisation.svg

Visualisació de l'expansió binomial fins a la 4ª potència

En matemàtiques, els coeficients binomiales, números combinatoris o combinacions són números estudiats en combinatòria que corresponen al número de combinacions: formes en que es poden extraure subconjunts a partir d'un conjunt dau. No obstant, depenent de l'enfocament que tinga l'exposició, es poden usar atres definicions equivalents.

Definició combinatòria

Archiu:C(5,3).svg

(\binom{5}{3}) = 10

. Hi ha per tant 10 formes de triar (en roig) tres objectes a partir d'un conjunt en cinc elements.

Es té un conjunt en sis objectes diferents {A, B, C, D, I, F}, dels quals es desija triar dos (sense importar l'orde d'elecció). Existixen 15 formes d'efectuar tal elecció:

A, B	A, C	A, D	A, I	A, F
	B, C	B, D	B, I	B, F
		C, D	C, I	C, F
			D, I	D, F
				I, F

El número de formes de triar k elements a partir d'un conjunt de n (és dir, de k-combinacions d'un conjunt de n elements), pot denotar-se de vàries formes:^{[nota 1]} $C_{(n, k)}$ , $n C k$ , $C_{k}^{n}$ , $C_{n}^{k}$ , o $(\binom{n}{k})$ . Aixina, en l'eixemple anterior es té llavors que C_(6,2)=15, ya que hi ha 15 formes de triar 2 objectes a partir d'un conjunt en sis elements.

Els números C_(n,k) es coneixen com a «coeficients binomiales», pero és freqüent referir-se a ells com a «combinacions de n en k», o simplement «n en k». Per tant, la primera definició és:

El coeficient binomial $(\binom{n}{k})$ és el número de subconjunts de k elements triats d'un conjunt en n elements.

És important notar que la definició assumix implícitament que n i k són naturals, i que ademés k no excedix a n. Podem definir C_(n,k)=0 si k>n, ya que no és possible triar més elements que els que té el conjunt dau (per tant hi ha zero formes de fer l'elecció). Estes precisió cobraran rellevància més alvance quan es discutixquen generalisacions del concepte (per eixemple, quan n o k siguen negatius o quan no siguen número entero).

Definició algebraica

Archiu:Permutando.svg

Hi ha 5×4×3 formes de triar ordenadamente tres objectes d'un conjunt en cinc.

La definició combinatòria no permet calcular el valor dels coeficients binomiales, llevat llistant els subconjunts i contant-los. No obstant, existix una fòrmula explícita que nos proporciona el valor de C(n,k).

Supongam que el conjunt original té cinc elements, dels quals es deuen triar tres. Al moment de triar el primer, es té cinc opcions disponibles, pero una volta fixe el primer, solament hi ha quatre opcions per al segon, i per tant sol tres opcions per a l'últim (puix no es pot repetir els triats en els primers dos passos). D'esta manera, la selecció pot fer-se de 5×4×3=60 formes.

No obstant, en tal conteo, l'orde en que es trien els elements fa diferència. Per eixemple, prendre C, després B, després I, és una selecció diferent de prendre B, després C i després E. Pero en la definició de coeficient binomial, no importa l'orde en que s'elegixen els objectes, únicament quins es trien. Per tant, les eleccions BCE, BEC, CEB, CBE, ECB i EBC són totes equivalents. De la mateixa manera, les eleccions ABC, ACB, BCA, BAC, CAB i CBA són equivalents, i aixina per a qualsevol terna de lletres.

D'esta forma, el resultat obtingut (60) no és la cantitat de subconjunts de 3 elements de {A, B, C, D, I}, sino que cada subconjunt està contat sis voltes, per lo que la cantitat de subconjunts és realment 60/6 = 10.

L'argument presentat per a l'eixemple pot generalisar-se de la següent forma. Si es té un conjunt en n elements, dels quals es van a triar k, l'elecció (ordenada) pot fer-se de

n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)

maneres, ya que en el primer pas es tenen n opcions, en el segon es tenen n-1, en el tercer n-2, i aixina successivament, terminant en el pas k que tindrà n-k+1 opcions.

Ara, cal dividir el producte anterior entre el número de seleccions «equivalents». Pero si es té k objectes, hi ha k! formes de permutar-los, és dir, k! formes de llistar-los en distint orde. Recordem que k! es llig k-factorial i és igual a

k! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times k

.

Concloem que el número de subconjunts en k elements, triats d'un conjunt en n elements és

(\binom{n}{k}) = \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \dots (k - 1) \cdot k}

.

Multiplicant el numerador i el denominador de la fracció per 1×2×3×···×(n-k)

(\binom{n}{k}) = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \dots (n - k) \cdot (n - k + 1) \dots (n - 2) \cdot (n - 1) \cdot n}{(1 \cdot 2 \cdot 3 \dots k) (1 \cdot 2 \cdot 3 \dots (n - k))}

.

L'expressió anterior pot escriure's de forma més compacta usant factorials, expressió que és usada en ocasions com la definició mateixa de coeficient binomial (sobretot en texts elementals que no expliquen l'orige combinatori de la mateixa):

Vore també

Notes

Referències

Bibliografia

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Coeficiente binomial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Erro en la cita: Existixen etiquetes <ref> per a un grup nomenat "nota", pero no es trobà una etiqueta <references group="nota"/>

[nota 1]