Polinomi simètric

En matemàtiques, un polinomi simètric és un polinomi en n variables $P(X_1,X_2,\mathrm{...},X_n)$, tal que si intercanvia alguna de les variables el polinomi seguix sent el mateix.

Eixemples

Els polinomis:

• $P(X_1,X_2)=X_1^3+X_2^3-7$
• $P(X_1,X_2)=4X_1{X}_2$
• $P(X_1,X_2,X_3)=X_1{X}_2{X}_3-2X_1{X}_2-2X_1{X}_3-2X_2{X}_3$

són tots simètrics. El polinomi $P(X_1,X_2)=X_1-X_2$ no és simètric, ya que si intercanviem $X_1$ i $X_2$ obtenim el polinomi $X_2-X_1$, que no és el mateix.

Les rajoles constituents dels polinomis simètrics

Per a cada n, existixen n+1 polinomis simètrics elementals en les variables $X_1,X_2,\mathrm{...},X_n$. Són les rajoles constituents per a tots els polinomis simètrics en dites variables, lo que vol dir que tot polinomi simètric en n variables pot obtindre's a partir d'estos polinomis elementals per mig de multiplicacions i sumes. Més concretament: qualsevol polinomi simètric en n variables és un polinomi dels n polinomis elementals simètrics en dites variables. Per eixemple, per a n=2, només hi ha dos polinomis simètrics elementals, $X_1+X_2$ i $X_1{X}_2$. El primer polinomi de la llista de dalt pot llavors escriure's com seguix:

$P(X_1,X_2)=X_1^3+X_2^3-7=(X_1+X_2{)}^3-3X_1{X}_2(X_1+X_2)-7.$

Vore també

• Funció simètrica - este terme és amprat a voltes per a referir-se els polinomis simètrics.