Tensor de curvatura

Tensor de curvatura

En geometria diferencial, el tensor de curvatura de Riemann, o simplement tensor de curvatura o tensor de Riemann, supon una generalisació del concepte de curvatura de Gauss, definit per a superfícies, a varietats de dimensions arbitràries. Representa una mida de la separació de la mètrica de la varietat respecte de la mètrica euclídea.

Va ser introduït en 1862 per B. Riemann i desenrollat en 1869 per E. B. Christoffel com una forma de descriure completament la curvatura en qualsevol número de dimensions per mig d'un "menut mònstruo": un tensor de tipo (1,3) representat generalment pel símbol $R_{jkl}^i$. El valor de qualsevol atra entitat que descriga la curvatura d'una varietat pot deduir-se d'este tensor. Tal és el cas del tensor de Ricci (un tensor de tipo (0,2)), de la curvatura escalar o de la curvatura seccional.

Encara que en 2 dimensions la curvatura pot representar-se per un escalar en cada punt (o tensor d'orde zero), tal com feya la curvatura de Gauss, la geometria de varietats de Riemann en dimensió major o igual que 3 és massa complexa com per a descriure-la totalment per un número en un punt donat. Aixina, en 3 dimensions la curvatura pot representar-se per un tensor de segon orde (el tensor de Ricci). No obstant, per a dimensions superiors necessitarem a lo manco un tensor de quart orde (el tensor de Riemann).

El tensor de curvatura té una influència notable en l'evolució de la separació d'un conjunt de geodèsicas inicialment pròximes, via l'equació d'Hamilton-Jacobi. Dona lloc a efectes observables de la curvatura en les forces de marea que apareixen en relativitat general.

Definició

Formalment, el tensor de curvatura està definit per a tota varietat de Riemann, i, més generalment, en tota varietat dotada d'una conexió afí $\mathrm{\nabla }$ en o sense torsió, per la fòrmula següent:

$R(u,v)w={\mathrm{\nabla }}_u{\mathrm{\nabla }}_{v}w-{\mathrm{\nabla }}_v{\mathrm{\nabla }}_{u}w-{\mathrm{\nabla }}_{[u,v]}w$

a on [ , ] nota el corchete de Lie.

Esta definició nos du a representar la curvatura és com un tensor (1,3)-valente. En geometria de Riemann, la valència d'este tensor es pot alterar: a sovint usarem una representació equivalent com a tensor (0,4). Encara que siga la definició que apareix en més freqüència, l'operador $\mathrm{\nabla }$, històricament no va aparéixer fins a 1954. Entre tant, es va desenrollar el formalisme de Cartan, en que la conexió s'expressa com una matriu d'1-formes i la curvatura com una matriu Ω de 2-formes.

Expressió en coordenades

Donada una base qualsevol $\{{\widehat{𝐞}}_i{\}}_{i=1\dots n}$, definida com una secció del fibrado tangente, i la seua base dual $\{{\widehat{𝜽}}^i{\}}_{i=1\dots n}$ les coordenades del tensor de curvatura vénen donades per:

${R^i}_{jkl}={\widehat{𝜽}}^i(R({\widehat{𝐞}}_k,{\widehat{𝐞}}_l){\widehat{𝐞}}_j)$

En un sistema de coordenades associada a una carta local $x^{\mu }$ les components del tensor de curvatura de Riemann vénen donades per:

${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=d{x}^{\rho }(R({\partial }_{\mu },{\partial }_{\nu }){\partial }_{\sigma })$

A on ${\partial }_{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$ són els camps vectorials associats a cada una de les coordenades i que junts constituïxen una base natural. L'expressió (*) pot reescriure's en térmens dels símbols de Christoffel de la següent manera, usant el conveni de sumación d'Einstein: ${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }+{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\lambda }$

Forma covariant del tensor de curvatura

Si $M$ és una varietat riemanniana, el tensor de curvatura vindrà definit a partir de la conexió de Levi-Civita. El tensor mètric $g$ podrà utilisar-se per a pujar o baixar índexs del tensor de curvatura. En particular, la versió completament covariant del tensor és un tensor de tipo (0,4) donat per

$R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \alpha }{R^{\alpha }}_{\sigma \mu \nu }$

Existixen distintes definicions d'este tensor, equivalents llevat en signe, lo que nos obliga a tindre que determinar en cada cas la convenció de signe de l'autor. En contrast, el restant de definicions de tots els autors s'ajusten per a que les nocions de curvatura seccional, de Ricci o escalar permaneixquen inalteradas.

Expressió com a conjunt de 2-formes

La conexió matemàtica d'una varietat diferenciable i fixada una base del espai tangente en cada punt $\{E_1,\dots ,E_n\}$ qualsevol pot expressar-se per mig d'una matriu d'1-formes ${\omega }_i^j$ que satisfan la següent relació en la derivada covariant:

${\mathrm{\nabla }}_X{E}_i={\omega }_i^j(X)E_j$

A on:

$X,Y$ són camps vectorials definits sobre la varietat:

Pot provar-se ademés que si $\{{\varphi }^1,\dots ,{\varphi }^n\}$ és la base dual de l'anterior la diferencial exterior dels elements d'esta base dual satisfan:

$d{\varphi }^j=\sum _i{\varphi }^i\wedge {\omega }_i^j+{\tau }^j$

A on:

${\tau }^j$ és el conjunt de n 2-formes de torsió

que són nules si s'usa la conexió riemanniana associada a la mètrica de Riemann de la varietat. Les 2-formes de curvatura vénen donades simplement per:

${\Omega }_i^j=d{\omega }_i^j-\sum _k{\omega }_i^k{\omega }_k^j=\sum _{k,l}\frac{1}{2}{R}_{ikl}^j{\varphi }^k\wedge {\varphi }^l$

En general, el procediment de càlcul per mig de les 1-formes de la conexió i 2-formes de curvatura resulta més eficient i ràpit que el càlcul directe per mig de l'expressió en coordenades.

Significat del tensor de curvatura en una varietat de Riemann

Com a mida de la separació de la mètrica respecte de la mètrica euclídea

Una relació interessant que aclarix el significat del tensor de curvatura és que si es consideren coordenades normals $\{x^1,\dots ,x^n\}$centrades en un punt p en un entorn de dit punt la mètrica de tota varietat riemannina pot escriure's com:

$g_{ij}(x)={\delta }_{ij}-\frac{1}{3}{R}_{iklj}{x}^k{x}^l+O(|x{|}^3)$

És dir el tensor de Riemann dona les desviacions de la mètrica respecte a la mètrica euclídea plana fins a segon orde. En una varietat lorentziana la relació és similar:

$g_{\mu \nu }(x)={\eta }_{\mu \nu }-\frac{1}{3}{R}_{\mu \alpha \beta \nu }{x}^{\alpha }{x}^{\beta }+O(|x{|}^3)$

Com a transformació llineal de 2-formes

Per a vore R com transformació llineal de 2-formes, considere la curvatura seccional, és dir la curvatura d'una superfície geodèsica de dos dimensions que passa a través d'un punt - una secció, que és l'image d'un pla tangente baix la funció exponencial. El corresponent pla tangente es pot representar per 2-formes. El tensor de curvatura dona informació equivalent a especificar totes les curvatura seccionales. La norma quadrada d'una 2-forma per la curvatura seccional corresponent de fet dona una nova forma quadràtica en un espai de 2-formes, i és donada exactament per l'operador llineal simètric R. és dir (R(s), s) = k(s)(s, s).

L'operador R pot ser entés d'una atra manera. Cada 2-forma es pot representar per un llaç rectangular chicotet (de moltes maneres, pero de la forma corresponent és lo que importa ací). Llavors el transport paralel al voltant d'este llaç dona lloc a una transformació de l'espai tangente. Esta és una transformació infinitesimal de l'espai tangente, que es pot representar per un element del àlgebra de Lie corresponent al grup de Lie de totes les transformacions llineals de l'espai tangente. Pero esta àlgebra de Lie és novament un àlgebra de 2-formes, i R(s) és precisament este generador. L'àlgebra de Lie de totes les transformacions del llaç és l'àlgebra de Lie de la holonomía corresponent a la curvatura.

Vore també

• Curvatura de Gauss
• Curvatura seccional
• Conexió de Cartan
• Derivada covariant
• Forma de curvatura
• Símbols de Christoffel

Referències

Bibliografia

• Llig, J.M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. GTM 176. ISBN 0-387-98271-X

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.