Corchete de Lie (camps de vectores)

En topología diferencial, daus dos camps vectorials diferenciables X i I sobre una varietat M, es definix el corchete de Lie dels camps X i I, notat $[X,Y]$ com l'únic camp vectorial que complix:

La seua expressió en un sistema de coordenades associat una carta local $x^{\mu }$ serà:

$[X,Y{]}^i=\sum _{j=1}^n\left(X^j\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}\right)-\left(Y^j\frac{\partial X^i}{\partial x^j}\right)$

a on n és la dimensió de M.

El corchete de Lie de dos camps constituïx un cas particular d'una operació més general: la derivada de Lie d'un tensor qualsevol ${ℒ}_{X}T$ a lo llarc de la direcció que marque un camp X. Quan T és un camp vectorial I, recuperem el corchete de Lie

${ℒ}_{X}Y=[X,Y]$.

Propietats

• [.,.] és 'R-bilineal:

$[\alpha X_1+\beta X_2,Y]=\alpha [X_1,Y]+\beta [X_2,Y]$,

$[X,\alpha Y_1+\beta Y_2]=\alpha [X,Y_1]+\beta [X,Y_2]$,

• Antisimetría:

$[X,Y]=-[Y,X]$

• Identitat de Jacobi:

$[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.$

Para funciones f i g tenim

$[fX,gY]=fg[X,Y]+fX(g)Y-gY(f)X$.

Esta última igualtat destaca que encara que el corchete siga R-bilineal, no és bilineal sobre les funcions diferenciables. Com a conseqüència, el corchete no tindrà caràcter tensorial, és dir, el valor del vector $[X,Y{]}_p$ no solament dependrà del valor dels vectores $X_p$ i $Y_p$ (no podrem definir el corchete de Lie de dos vectores), sino dels camps X i I.

Com a conseqüència immediata de la antisimetría, $[X,X]=0$ per a qualsevol camp $X$.

Coeficients d'estructura

Si {i_k} una base local de camps vectorials, podrem desenrollar el corchete de dos dels seus elements com a combinació llineal dels elements de la base:

$[e_k,e_{\ell }]=c_{k\ell }{}^m{e}_m$

A les funcions $c_{k\ell }{}^m$ se'ls denomina coeficients d'estructura de la base {i_k}. Estos coeficients no formen part d'un tensor.

En el cas especial en que la base estiga associada a un sistema de coordenades {x^a}, ya que els vectores bàsics commuten ( $[{\partial }_{x^a},{\partial }_{x^b}]=0$), els coeficients d'estructura seran nuls. Les bases locals per a les que s'anulen estos coeficients reben el nom de bases holónomas.

En un grup de Lie G, considerat com a varietat, podem definir un conjunt particular de camps vectorials: els camps invariantes per l'esquerra. A este conjunt se li denomina àlgebra de Lie de G. Donada una base $\{X_1,\dots ,X_n\}$ de camps invariantes per l'esquerra, es demostra que els coeficients d'estructura són constants, i reben el nom de constants d'estructura de G sobre la base $\{X_i\}$.

Vore també

• Derivada de Lie
• Àlgebra de Witt