Conexió (matemàtica)

Archiu:Parallel transport.png

El transport paralel d'un vector a lo llarc d'una curva tancada sobre l'esfera, que de la mateixa manera que el concepte de derivada covariant es basa en la noció de conexió matemàtica. L'àngul $\alpha$ despuix de recórrer una volta la curva és proporcional a l'àrea dins de la curva.

En geometria diferencial, la conexió és un objecte matemàtic definit en una varietat diferenciable que permet establir una relació o "conectar" la geometria local entorn a un punt en la geometria local entorn a un atre punt. El cas més senzill de conexió és una conexió afí que permet especificar una derivada covariant en una varietat diferenciable.

Introducció

La teoria de conexions conduïx als invariantes de curvatura (vore també tensor de curvatura), i de torsió. Açò s'aplica als fibrados tangentes; hi ha conexions més generals, en geometria diferencial: una conexió pot referir-se a una conexió en qualsevol fibrado vectorial o a una conexió en un fibrado principal.

En un acostament particular, una conexió és una 1-forma a valors en un àlgebra de Lie que és un múltiple de la diferència entre la derivada covariant i la derivada parcial ordinària. És dir, la derivada parcial no és una noció intrínseca en una varietat diferenciable: una conexió corrig el concepte i permet la discussió en térmens geomètrics. Les conexions donen lloc a un transport paralel.

Tipos de conexió

Hi ha un gran número d'enfocaments possibles relacionats en el concepte de conexió, entre els quals estan els següents:

• Un molt directe estil mòdul a la diferenciació covariant, indicant les condicions que permeten als camps vectorials a actuar sobre seccions de fibrados vectorials.
• La notació tradicional d'índexs específica la conexió pels components, veja derivada covariant (tres índexs, pero açò no és un tensor).
• En geometria de Riemann hi ha una manera de derivar una conexió del tensor mètric (conexió de Levi-Civita).
• Usant fibrados principals i formes diferencials a valors en un àlgebra de Lie (vore conexió de Cartan).
• l'acostament més abstracte pot ser el sugerit per Alexander Grothendieck, a on es considera una conexió com descens de veïnats infinitesimals de la diagonal.

Les conexions referides dalt són conexions llineals o afins. Hi ha també un concepte de conexió proyectiva; la forma més comunament d'açò és derivat de Schwarz en anàlisis complex. Veja també: conexió de Gauss-Manin

Referències

• (1900).«Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications».Mathematische Annalen.54(1–2)

125–201.doi:10.1007/BF01454201.

• (1924).«Sur els variétés à connexion projective».Bulletin de la Société Mathématique de France.52

205–241.doi:10.24033/bsmf.1053.

• (1926).«Els groupes d'holonomie dones espaces généralisés».Acta Mathematica.48(1–2)

1–42.doi:10.1007/BF02629755.

• (1983).«Geometry of Riemannian spaces».Math Sci Press.
• (1950).«Els connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable».

29–55.

• (1950).«Homologie et cohomologie dones algèbres de Lie».Bulletin de la Société Mathématique de France.78

65–127.doi:10.24033/bsmf.1410.

• Plantilla:Springer

• (2004).«Connections, curvature, and p-curvature».
• .
• (2001).«Geometry of Differential Forms».AMS.

Vore també

• Conexió de Cartan
• Conexió de Galois
• Conexió de Levi-Civita