Fibrado vectorial

En matemàtiques, un fibrado vectorial és una construcció geomètrica a on a cada punt d'un espai topològic (o varietat, o varietat algebraica) unim un espai vectorial d'una manera compatible, de modo que tots eixos espais vectorials, "pegats junts", formen un atre espai topològic (o varietat o varietat diferenciable).

Un eixemple típic és el fibrado tangente d'una varietat diferenciable: a cada punt de la varietat associem l'espai tangente de la varietat en eixe punt. O considere una curva diferenciable en R, i una a cada punt de la curva la normal de la llínea a la curva en eixe punt; açò dona el "fibrado normal" de la curva. Este artícul tracta sobretot dels fibrados vectorials reals, en fibres finito-dimensionals. Els fibrados vectorials complexos són importants en molts casos, també; són un cas especial, significant que poden ser vists com una estructura adicional en un fibrado real subjacent.

Definició i primeres conseqüències

Un fibrado vectorial real ve dau per les senyes següents:

• espais topològics X (el "espai de base") i I (el "espai total")

• una funció contínua i sobreyectiva π : I → X (la "proyecció")

• per a cada x en X l'estructura d'un espai vectorial real en la fibra π^-1({x}) que satisfà la condició de compatibilitat següent: per a cada punt en X hi ha un veïnat obert O, un número natural n, i un homeomorfisme

$\phi :U\times {ℝ}^n\to {\pi }^{-1}(U)$

tals que per a cada punt x en O

* πφ(x, v) = x per a tots els vectores v en Rⁿ

* la funció v |-> φ(x, v) dona un isomorfisme entre l'espai vectorial Rⁿ i π^-1({x}).

El veïnat obert O junt en l'homeomorfisme φ es diu una trivialización local del fibrado. La trivialización local mostra que localment la funció π assembla la proyecció de O x Rⁿ en O.

Un fibrado vectorial es diu trivial si hi ha una "trivialización global", és dir si assembla la proyecció X x Rⁿ → X. Cada fibrado vectorial π : I → X és sobreyectivo, ya que els espais vectorials no poden ser buits. Cada fibra π^-1({x}) és un espai vectorial real finito-dimensional i per lo tant té una dimensió d_x. La funció x |-> d_x és localment constant, és dir és constant en tota component conexa de X. Si és constant global en X, cridem esta dimensió el ranc del fibrado vectorial. Un fibrado vectorial de ranc 1 es diu un fibrado de llínea.

Morfismos

Un morfismo des del fibrado vectorial π₁: I₁ → X₁ al fibrado vectorial π₂: I₂ → X₂ ve dau per un parell de funcions contínues f: I₁ → I₂ i g: X₁ → X₂ tals que

• gπ₁ = π₂f

Archiu:BundleMorphism-01.png

• per a cada x en X₁, la funció π₁^-1({x}) → π₂^-1({g(x)}) induïda per f és una transformació llineal entre els espais vectorials.

La composició de dos morfismos és una atra volta un morfismo, i obtenim la categoria dels fibrados vectorials.

Podem també considerar la categoria de tots els fibrados vectorials sobre un espai base fix X. Com morfismos en esta categoria prenem eixos morfismos de fibrados vectorials la funció dels quals en l'espai base és la funció identitat de X.

Archiu:BundleMorphism-02.png

(Note's que esta categoria no és abeliana. El núcleu d'un morfismo de fibrados vectorials no és, en general, un fibrado vectorial de manera natural.)