Fibrado principal

En matemàtiques, un G-fibrado principal és una classe especial de fibrado para la qual les fibres són totes espais homogéneus principals respecte a un grup topològic.

Els G-fibrados principals són G-fibrados en el sentit que el grup G també servix com el grup estructural del fibrado. Els fibrados principals tenen usos importants en la topología i la geometria diferencial. També han trobat l'us en física de l'a on formen la part de la teoria de gauge. Els fibrados principals proporcionen un marc unificador en la teoria dels fibrados en el sentit que tots els fibrados en grup estructural G determinen un únic G-fibrado principal des del qual pot ser reconstruït el fibrado original.

Definició formal

Un $G$-fibrado principal és un fibrado $\pi :P\to X$ junt a una acció a dreta contínua $P\times G\to P$ per un grup topològic $G$ tal que $G$ preserva les fibres de $P$ i l'acció és lliure i transitiva. La fibra abstracta del fibrado li la pren com $G$ (a sovint es requerix que l'espai base $X$ siga un espai de Hausdorff i possiblement paracompacto).

Se seguix que les òrbites de la $G$-acció són precisament les fibres del fibrado i l'espai d'òrbites és homeomorfo a l'espai homogéneu $P/G$.

Un $G$-fibrado principal pugues també ser caracterisat com un $G$-fibrado $\pi :P\to X$ en fibra $G$ a on el grup de l'estructura actua en la fibra per la multiplicació a esquerra. ya que la multiplicació a dreta per $G$ en la fibra commuta en l'acció del grup estructural, existix una noció invariante de multiplicació a dreta de $G$ sobre $P$.

La noció de fibrado principal es pot estendre a la categoria de lesvarietats diferenciables, requerint que $\pi :P\to X$ siga una aplicació diferenciable entre varietats, $G$ un grup de Lie i que l'acció de $G$ sobre $P$ siga diferenciable.

Eixemples

L'eixemple més comú d'un fibrado principal diferenciable és el fibrado de referències, també cridat fibrado de marcs, d'una varietat $M$. La fibra sobre un punt $x\in M$ és el sistema de tots les referències (és dir bases ordenades) del [[espai tangente]] $T_{x}M$. El grup general llineal $GL(n,ℝ)$ actua en forma simple i transitiva sobre el conjunt de bases. Estes fibres es poden unir de manera natural per a obtindre un $GL(n,ℝ)$-fibrado principal sobre $M$.

Variacions en l'eixemple anterior inclouen el fibrado de referències ortonormals d'una varietat riemanniana. Ací les referències deuen ser bases ortonormals respecte a la mètrica. El grup estructural és el grup ortogonal $O(n)$.

Si $X$ és un espai topològic i $p:C\to X$ és un cubrimiento normal (regular), açò últim pot ser considerat un fibrado principal a on el grup estructural ${\pi }_1(X)/p_{*}{\pi }_1(C)$ actua sobre $C$ via l'acció de monodromía. En particular, el cubrimiento universal d'un espai topològic $X$ és un fibrado principal sobre $X$ en grup estructural ${\pi }_1(X)$.

Sean $G$ un grup de Lie i $H$ un subgrup tancat (no necessàriament normal). Llavors $G$ és un $H$-fibrado principal sobre l'espai cocient (esquerre) $G/H$. Ací l'acció de $H$ en $G$ és la multiplicació a dreta. Les fibres són els coconjuntos a esquerra de $H$ (en este cas hi ha una fibra distinguida, la que conté l'identitat, que és naturalment isomorfa a $H$).

Considerem la proyecció $\pi :S^1\to S^1$ donada per $z\mapsto z^2$. Este ${\mathbb{Z}}_2$-fibrado principal és el fibrado associat a la banda de Moebius.

Els espais proyectivos proporcionen eixemples interessants de fibrados principals. Recordem que la $n$-esfera $S^n$és un cubrimiento doble del espai proyectivo real $ℝ{\mathbb{P}}^n$. L'acció natural de $O(1)$ sobre $S^n$ dona l'estructura de $O(1)$-fibrado principal sobre $ℝ{\mathbb{P}}^n$. Aixina mateix, $S^{2n+1}$ és un $U(1)$-fibrado principal sobre $ℂ{\mathbb{P}}^n$ i $S^{4n+3}$ és un $Sp(1)$-fibrado principal sobre l'espai proyectivo cuaterniónico $ℍ{\mathbb{P}}^n$. Llavors tenim una série de fibrados principals per a cada sancer positiu $n$:

$O(1)\to S({ℝ}^{n+1})\to {ℝ\mathbb{P}}^n$

$U(1)\to S({ℂ}^{n+1})\to {ℂ\mathbb{P}}^n$

$Sp(1)\to S({ℍ}^{n+1})\to {ℍ\mathbb{P}}^n$

Ací $S(V)$ denota l'esfera unitat en $V$. Per tots estos eixemples el cas $n=1$ dona els fibrados de Hopf.

Vore també

• fibrado associat
• fibrado vectorial
• G-estructura
• teoria de gauge

Referències

• Bleecker (1981). Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley Publishing.
• Jost, Jürgen (2005). Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (4th ed.) edició, New York: Springer.
• Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, New York: Springer.
• Steenrod, Norman (1951). The Topology of Fibre Bundles, Princeton: Princeton University Press.