Monodromía

Monodromía

En matemàtica, monodromía és l'estudi de cóm els objectes d'anàlisis matemàtic, topología algebraica i algebraics i geometria diferencial es comporten quan 'circundan' una singularitat. Com el seu nom indica, el significat fonamental de monodromía prové de 'realisar una ronda individual'. Està estretament associada al recobriment d'un mapa i a la seua degeneració en la ramificació corresponent; l'aspecte que dona lloc a fenomens de monodromía és que certa funció es definix univaluada quan 'recorrem' una ruta rodejant alguna singularitat. L'absència de monodromía es medix per mig de la definició d'un grup de monodromía: un grup de transformacions que actuen sobre les senyes que codifica lo que succeïx quan 'circundamos' la singularitat.

Definició

Siga X conexo i conexo localment, un espai topològic en base en el punt x i siga $p:\tilde{X}\to X$ una coberta en fibra $F=p^{-1}(x)$. Per a un bucle γ: [0, 1] → X en a on x, denota un alçament baixe el mapa de cobertura (des d'un punt de $\tilde{x}\in F$) per $\tilde{\gamma }$. Per últim, denotem per $\tilde{x}\cdot \gamma$ l'extrem $\tilde{\gamma }(1)$, que és generalment diferent de $\tilde{x}$. Hi ha teoremes que establixen que esta construcció dona un grup acció ben definit del grup fonamental π₁(X, x) de F i que l'estabilisador de $\tilde{x}$ és exactament $p_{*}({\pi }_1(\tilde{X},\tilde{x}))$, és dir, un element [γ] resol un punt de F si és representada per l'image d'un circuit en $\tilde{X}$ en $\tilde{x}$. Esta acció es diu acció de monodromía i al corresponent homomorfisme π ₁(X, x) → Aut (F) en el grup d'automorfismes de F, és la monodromía. L'image d'este homomorfisme és el grup de monodromía.

Eixemple

Estes idees es varen fer explicitades primer en anàlisis complex. En el procés d'Extensió analítica, una funció que és analítica F(z) en un subconjunt obert I del pla complex perforat C {0} es pot fer contíinua de reversa cap a I, pero en valors diferents. Per eixemple prendre

F(z) = log z

I = {z ∈ C: Re (z) > 0}

i després estendre analíticamente en sentit antihorario al voltant del círcul

|z| = 0.5

resultarà en la tornada, no a F(z) sino

F(z) + 2 & pi;i.

En este cas el grup de monodromía és cíclico infinit i l'espai de la coberta és la coberta universal del pla complex punchat. Esta coberta pot ser visualisada com el helicoide (tal com es definix en l'artícul) restringit a ρ > 0. El mapa de cobertura és una proyecció vertical, en un sentit que colapse l'espiral en la manera òbvia per a obtindre un pla perforat.

Vore també

• Grup de trenes
• Teorema de monodromía
• Assignació de grup de classe (d'un disc perforat)