Helicoide

Per a la presó en Veneçola vore L'Helicoide.

Un helicoide en α = 1, −1 ≤ ρ ≤ 1 i −π ≤ θ ≤ π.

El helicoide, també conegut com a superfície helicoidal, és, despuix del pla i el catenoide, la tercera superfície mínima o minimal en ser descoberta.

Descripció

Archiu:Right helicoid animation.gif

Un helicoide recte.

Va ser descrita per Euler en 1774 i per Jean Baptiste Meusnier en 1776. El seu nom, que ve del grec ἑλικοειδής helikoeidḗs,^[1] deriva de la seua similitut en la hèliç: per a cada punt de l'helicoide, existix una hèliç continguda en l'helicoide que passa per eixe punt. Ya que es considera que la gama de plans s'estén per l'infinit negatiu i positiu, l'observació atenta mostra l'apariència de dos plans paralels o especulares en el sentit de que si es traça la pendent d'un pla, es pot vore que el coplano es bota o evita, encara que en realitat el coplano també es traça des de la perspectiva oposta.

L'helicoide és també una superfície reglada, lo que significa que és la traça d'una llínea. Ademés, per a qualsevol punt de la superfície, existix una recta en la superfície que passa per ell. De fet, Catalan va demostrar en 1842 que l'helicoide i el pla eren les úniques superfícies minimales reglades.^[2]

Un helicoide és també una superfície de translació en el sentit de la geometria diferencial.

L'helicoide i el catenoide formen part d'una família de superfícies minimales helicoidals-catenoides.

L'helicoide té forma de tornell de Arquímedes, pero s'estén infinitament en totes les direccions. Es pot descriure per mig de les següents equacions paramètriques en coordenades cartesianas:

x = ρ \cos (α θ),

y = ρ sen (α θ),

z = θ,

a on ρ i θ van d'infinit a menys infinit, mentres que α és una constant. Si α és positiu, l'helicoide és dextrógiro, com es mostra en la figura; si és negatiu, és levógiro.

L'helicoide té curvatura principals $\pm α / (1 + α^{2} ρ^{2})$ . La suma d'estes cantitats dona la curvatura mija (zero ya que l'helicoide és una superfície mínima) i el producte dona la curvatura gaussiana.

L'helicoide és homeomorfo al pla $ℝ^{2}$ Per a vore açò, fem que α disminuïxca contínuament des del seu valor donat fins a zero. Cada valor intermig de α descriurà un helicoide diferent, fins que s'alcance α = 0 i l'helicoide es convertixca en un pla vertical.

A l'inversa, un pla pot convertir-se en un helicoide elegint una llínea, o eix, en el pla, i després girant el pla al voltant d'eixe eix.

Si un helicoide de ràdio R gira un àngul θ al voltant del seu eix mentres s'eleva una altura h, l'àrea de la superfície ve donada per^[3]

\frac{θ}{2} [R \sqrt{R^{2} + c^{2}} + c^{2} \ln (\frac{R + \sqrt{R^{2} + c^{2}}}{c})], c = \frac{h}{θ}

Helicoide i catenoide

Vore també: CatenoideTransformació helicoide

Archiu:Helicatenoid.gif

Animació que mostra la transformació d'un helicoide en un catenoide

L'helicoide i el catenoide són superfícies localment isomètriques.

Vore també

Referències

↑ Diccionario de la lengua española
↑ Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin Contributor A. A. Tuzhilin Published by AMS Bookstore, 1991 ISBN 0-8218-4552-7, ISBN 978-0-8218-4552-3, p. 33
↑ Helicoide en MathWorld.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Helicoide» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Diccionario de la lengua española

[2] Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin Contributor A. A. Tuzhilin Published by AMS Bookstore, 1991 ISBN 0-8218-4552-7, ISBN 978-0-8218-4552-3, p. 33

[3] Helicoide en MathWorld.

[1]

[2]

[3]