Superfície minimal

Archiu:Bulle de savon hélicoïde. caps block 0

Una superfície minimal formada per una película de sabó en un marc helicoidal

En matemàtiques, una superfície minimal o superfície mínima és un element bidimensional que localment minimisa la seua àrea. Açò és equivalent a tindre una curvatura mija nula (vore l'apartat de definicions) . L'expressió «superfície minimal» va sorgir originalment per a referir-se a aquelles superfícies que minimisen l'àrea total d'un conjunt de superfícies que complixen una série de condicions de contorn. Models físics de superfícies que minimisen un àrea poden visualisar-se introduint un bastidor d'aram en una solució de sabó, formant-se llavors una película de sabó, formant-se una superfície minimal la frontera de la qual és el bastidor d'aram. El terme també és utilisat per a superfícies més generals que poden creuar-se a sí mateixes, o no tindre constrenyiment. Per a una condició de contorn donada poden existir vàries superfícies minimales en àrees diferents (per eixemple, les superfícies minimales de revolució): les definicions estàndar solament caracterisen mínims locals òptims, no mínims globals òptims.

Definicions

Archiu:Saddle Tower Minimal Surfaces.png

Superfície minimal de la Torre d'una cadira de montar. Mentres que qualsevol canvi chicotet de la superfície aumenta la seua àrea, poden existir atres superfícies en la mateixa frontera pero en àrea total més menuda.

Les superfícies minimales poden ser definides de vàries maneres equivalents en $ℝ^{3}$ . El fet de que són equivalents servix per a demostrar com la teoria de superfícies minimales està situada en el creuament de vàries disciplines matemàtiques, especialment la geometria diferencial, el càlcul de variacions, la teoria del potencial, l'anàlisis complex i la física matemàtica.^[1]

Definició d'àrea local minimal: Una superfície

M \subset ℝ^{3}

és mínimal si i solament si cada punt

p \in M

té un entorn en àrea minimal en la seua frontera.

Deu fer-se notar que esta propietat és local: allí podrien existir atres superfícies que minimisen més l'àrea total en la mateixa frontera global.

Definició per variacional. Una superfície

M \subset ℝ^{3}

és minimal si i solament si és un punt crític de l'àrea funcional para totes les variacions compactamente soportades.

Esta definició fa de les superfícies mínimes un equivalent bidimensional de les curves geodèsiques.

Definició per mig de películes de sabó. Una superfície

M \subset ℝ^{3}

és minimal si i solament si cada punt

p \in M

té un entorn

D_{p}

igual a la película de sabó idealizada única en frontera

\partial D_{p}

.

Per l'equació de Young–Laplace la curvatura d'una película de sabó és proporcional a la diferència en pressió entre els seus costats: si és zero, la membrana té curvatura mija nula. Per eixemple, les bombetes esfèriques no són superfícies mínimes per esta definició: mentres minimisen la seua àrea total someses a un constrenyiment del seu volum intern, tenen una pressió positiva.

Archiu:Minimal surface curvature planes-es.svg

Plans de curvatura de superfície minimal. En una superfície minimal la curvatura a lo llarc dels plans de curvatura principals és igual i oposta en cada punt. Açò fa la curvatura mija zero.

Definició per mig de curvatura mija. Una superfície

M

és minimal si i solament si la seua curvatura mija és idénticamente nula.

Una implicació directa d'esta definició és que cada punt en la superfície és un punt de ensilladura en curvatura principals iguals i opostes.

Definició per mig d'equació diferencial. Una superfície

M

és minimal si i solament si pot ser localment expressada com el gràfic d'una solució de

(1 + u_{x}^{2}) u_{y y} - 2 u_{x} u_{y} u_{x y} + (1 + u_{y}^{2}) u_{x x} = 0

L'equació diferencial parcial en esta definició va ser originalment trobada en 1762 per Lagrange. Jean Baptiste Meusnier va descobrir en 1776 que implicava l'anulació de la curvatura mija.^[2]^[3]

Definició per mig d'energia. Una immersió conforme

f : M \to ℝ^{3}

és minimal si i solament si és un punt crític d'energia de Dirichlet para totes les variacions compactamente soportades; o equivalentement, si qualsevol punt

p \in M

té un veïnat en menys energia relativa en la seua frontera.

Esta definició lliga les superfícies minimales a les funcions harmòniques i a la teoria potencial.

Definició per mig de funció harmònica. Si

f = (f_{1}, f_{2}, f_{3}) : M \to ℝ^{3}

és una immersió isomètrica d'una superfície de Riemann en un espai tridimensional, llavors

f

és dit minimal sempre que

f_{i}

siga una funció harmònica sobre

M

per a cada

i

.

Una implicació directa d'esta definició i del principi màxim per a funcions harmòniques és que no hi ha superfícies minimales completes i compactes en $ℝ^{3}$ .

Definició per mig de la aplicació de Gauss. Una superfície

M

és minimal si i solament si la seua proyecció estereográfica de l'aplicació de Gauss

g : M \to ℂ \cup {\infty}

és meromorfa sobre l'estructura de superfície de Riemann subjacent, i

M

no és una secció d'una esfera.

Esta definició utilisa que la curvatura mija és la mitat de la traça del operador de Weingarten, que està enllaçat a les derivades del mapa de Gauss. Si el mapa de Gauss proyectat satisfà les equacions de Cauchy–Riemann llavors qualsevol traça desapareix o cada punt de M és umbilical, en el cas de la qual és una secció d'una esfera.

Definició per fluix de curvatura mija. Les superfícies minimales són els punts crítics per al fluix de curvatura mig.^[4]

Les definicions d'àrea minimal local i la variacional deixen estendre el concepte de les superfícies minimales a atres varietats de Riemann distintes a $ℝ^{3}$ .

Història

Archiu:Catenoid ani.gif

Catenoide

La teoria de superfícies mínimes es va originar en Lagrange, qui en 1762 va considerar el problema variacional de trobar la superfície z = z(x, i) de menor àrea estesa a través d'un contorn tancat dau. Per a això, va derivar l'equació de Euler–Lagrange per a la solució

\frac{d}{d x} (\frac{z_{x}}{\sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}}}) + \frac{d}{d y} (\frac{z_{y}}{\sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}}}) = 0

No va tindre èxit en trobar solucions distintes al pla. En 1776 Jean Baptiste Marie Meusnier va descobrir que l'helicoide i la catenoide satisfan l'equació, i que l'expressió diferencial correspon a dos voltes la curvatura mija de la superfície, concloent que les superfícies en curvatura mija nula són les que minimisen l'àrea.

Per a expandir l'equació de Lagrange a

(1 + z_{x}^{2}) z_{y y} - 2 z_{x} z_{y} z_{x y} + (1 + z_{y}^{2}) z_{x x} = 0

Gaspard Monge i Legendre en 1795 varen deduir les fòrmules per a representar les superfícies solució. Fins que varen ser exitosamente utilisades per Heinrich Scherk en 1830 per a deduir les seues superfícies, eren generalment considerades pràcticament inmanejables. Catalan va provar entre 1842 i 1843 que l'helicoide és l'única superfície minimal reglada.

El progrés havia segut prou llent fins al mediats de el XIX, quan el problema de Björling va ser resolt utilisant métodos complexos. La "primera época dorada" de les superfícies minimales va començar en Schwarz va trobar la solució del Problema de Plateau per a un quadrilàter regular en 1865 i per a un quadrilàter general en 1867 (permetent la construcció de les seues famílies de superfícies periòdiques) utilisant métodos complexos. Weierstrass i Enneper varen desenrollar fòrmules de representació més útils, enllaçant fermament les superfícies minimales al anàlisis complex i a les funcions harmòniques. Atres contribucions importants varen provindre de Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret i Weingarten.

Entre 1925 i 1950 la teoria de superfícies minimales va reviure, ara principalment centrada en superfícies mínimes no-paramètriques. La solució completa del problema de Plateau per Jesse Douglas i Tibor Radó va ser una fita important. El problema de Bernstein i el treball de Robert Osserman en superfícies minimales completes de curvatura total finita varen ser també importants.

Un atre resorgiment va escomençar en la década de 1980. Una causa va ser el descobriment en 1982 per Celso Costa d'una superfície que refutaba la conjectura de que el pla, la catenoide, i l'helicoide són les úniques superfícies minimales completes embebidas en $ℝ^{3}$ de tipo topològic finito. Açò no solament va estimular de nou el treball utilisant els antics métodos paramètrics, sino que també va demostrar l'importància dels gràfics d'ordenador per a visualisar el va estudiar de superfícies i l'utilitat dels métodos numèrics per a solucionar el "problema de periodo" (quàn s'utilisa el método de superfícies conjugades per a determinar els sectors de superfície que poden ser units en una superfície simètrica major, es necessiten paràmetros segurs numèricament emparellats per a produir una superfície embebida). Una atra causa era la verificació per H. Karcher de que les superfícies minimales triple-periòdiques originalment descrites empíricamente per Alan Schoen en 1970 de fet existixen. Açò ha fet sorgir una rica varietat de famílies de superfícies i métodos de deduir superfícies noves de les antigues, per eixemple per afegint-los "torres" o distorsionant-les.

Actualment la teoria de superfícies minimales s'ha diversificado a atres ambients geomètrics, adquirint importància en la física matemàtica (per eixemple en la conjectura de massa positiva, o en la conjectura de Penrose) i en la geometria de tres varietats (per eixemple, en la conjectura de Smith, en la conjectura de Poincaré, i en la conjectura de geometrización de Thurston).

Vore també

Referències

↑ (2011).Bull. Amer. Math. Soc..48(3)
325–407.doi:10.1090/s0273-0979-2011-01334-9.
↑ J. L. Lagrange.
↑ J. B. Meusnier.
↑ (2004).Ann. of Math..160(1)
69-92.doi:10.4007/annals.2004.160.69.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Superficie minimal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (2011).Bull. Amer. Math. Soc..48(3)
325–407.doi:10.1090/s0273-0979-2011-01334-9.

[Lagrange1760-2] J. L. Lagrange.

[Meusnier1785-3] J. B. Meusnier.

[4] (2004).Ann. of Math..160(1)
69-92.doi:10.4007/annals.2004.160.69.

[1]

[2]

[3]

[4]