Geometria diferencial de superfícies

En matemàtiques, la geometria diferencial de superfícies propon definicions i métodos per a analisar la geometria de superfícies o varietats diferencials de dos dimensions immerses en varietats de Riemann i, en particular, en l'espai euclídeo.

Ací es tractarà de les superfícies en $ℝ^{3}$ .

Equació paramètrica d'una superfície

ya que una superfície en $ℝ^{3}$ és una varietat diferenciable de dimensió dos, en un entorn V d'una superfície, les coordenades de qualsevol punt de V poden escriure's en funció de dos paràmetros (o, v), que funcionen com a sistema de coordenades propi de la superfície:

Cridarem a esta funció r carta de la superfície.

Un punt Q = (o₀, v₀) es diu regular si en ell es complix que els vectores tangentes en les direccions o i v no són nuls ni paralels, és dir, que són linealment independents o, equivalentemente que el seu producte vectorial és no nul:

Açò és equivalent a demanar que el jacobiano de la carta r (que va des del domini V en $ℝ^{2}$ a $ℝ^{3}$ ) tinga ranc màxim, és dir, siga igual a dos. Aixina s'assegura l'existència del espai tangente en cada punt de la superfície.

Pla tangente

Donada una superfície $S$ de $ℝ^{3}$ i un punt $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in S$ es definix com l'únic pla geomètric de $ℝ^{3}$ que conté al punt $P_{0}$ i que conté a tots els vectores tangentes a la superfície en dit punt. L'equació analítica d'este pla pot expressar-se en ajuda de l'equació paramètrica d'una superfície:

Més senzillament el pla anterior pot escriure's com el conjunt $(x, y, z)$ que satisfà la següent equació:

Ací, s'ha usat la simplificació de notació $x'_{u} = \frac{\partial x}{\partial u}, y'_{u} = \frac{\partial y}{\partial u}$ ,... etc

Vector normal a la superfície

Un vector es diu normal a una superfície en un punt si és perpendicular al pla tangente en dit punt de la superfície. Eixa propietat nos diu que un vector normal és perpendicular a qualsevol atre vector contingut en el pla tangente. Si prenem dos vectores diferents i tangentes a la superfície en un punt el seu producte vectorial serà perpendicular a abdós i per tant perpendicular a qualsevol combinació llineal d'abdós, és dir, perpendicular a tot el pla generat per estos dos vectores. Podem aprofitar eixa propietat per a calcular el vector normal simplement com el producte vectorial dels dos vectores linealment independents daus per la parametrización de la superfície. Aixina el vector normal pot calcular-se com:

𝐧 = \frac{\frac{\partial 𝐫 (u_{0}, v_{0})}{\partial u} \times \frac{\partial 𝐫 (u_{0}, v_{0})}{\partial v}}{‖ \frac{\partial 𝐫 (u_{0}, v_{0})}{\partial u} \times \frac{\partial 𝐫 (u_{0}, v_{0})}{\partial v} ‖} = \frac{𝐫'_{u} (u_{0}, v_{0}) \times 𝐫'_{v} (u_{0}, v_{0})}{‖ 𝐫'_{u} (u_{0}, v_{0}) \times 𝐫'_{v} (u_{0}, v_{0}) ‖}

Si es coneix en canvi l'equació de la superfície f(x, i, z) = 0 llavors el vector unitari normal es calcula simplement com:

𝐧 = \frac{\nabla f}{‖ \nabla f ‖} = \frac{(f'_{x}, f'_{y}, f'_{z})}{\sqrt{{f^{'}}_{x}^{2} + {f^{'}}_{y}^{2} + {f^{'}}_{z}^{2}}}

Primera forma fonamental

La primera forma fonamental I és un tensor 2-covariant, simètric i definit sobre l'espai tangente a cada punt de la superfície S. Esta primera forma fonamental de fet és el tensor mètric induït per la mètrica euclídea sobre la superfície. De fet (S, I) constituïx una varietat de Riemann en tensor mètric I. Gràcies a la primera forma fonamental podem estimar llongituts de curves definides sobre la superfície, ànguls d'intersecció entre curves i el restant de conceptes mètrics habituals. Per raons històriques les components de la primera forma fonamental es designen per I, F i G:

(I_{k l} (u, v)) = (\begin{matrix} E (u, v) & F (u, v) \\ F (u, v) & G (u, v) \end{matrix}) = (\begin{matrix} g_{11} (u, v) & g_{12} (u, v) \\ g_{21} (u, v) & g_{22} (u, v) \end{matrix})

Ademés la forma quadràtica anterior és definida positiva, lo que implica que EG-F² > 0. La primera forma anterior pot escriure's com una combinació llineal de productes tensoriales de les 1-formes coordenades $d u, d v$ conforme a:

I (u, v) = E (u, v) d u \otimes d u + F (u, v) d u \otimes d v + F (u, v) d v \otimes d u + G (u, v) d v \otimes d v

Estes poden calcular-se explícitament a partir de la parametrización:

E (u, v) = \frac{\partial 𝐫}{\partial u} \cdot \frac{\partial 𝐫}{\partial u} = 𝐫'_{u} \cdot 𝐫'_{u} F (u, v) = \frac{\partial 𝐫}{\partial u} \cdot \frac{\partial 𝐫}{\partial v} = 𝐫'_{u} \cdot 𝐫'_{v} G (u, v) = \frac{\partial 𝐫}{\partial v} \cdot \frac{\partial 𝐫}{\partial v} = 𝐫'_{v} \cdot 𝐫'_{v}

Llongitut d'una curva

Donada una curva C continguda totalment en una superfície S les seues equacions paramètriques podran expressar-se per mig de:

𝐫 (t) = (x (u (t), v (t)), y (u (t), v (t)), z (u (t), v (t)))

La llongitut d'esta curva pot expressar-se per una integral de les derivades de les funcions o i v i les components de la primera forma fonamental:

L_{C} = \int_{C} \sqrt{E (u, v) [u^{'} (t)]^{2} + 2 F (u, v) u^{'} (t) v^{'} (t) + G (u, v) [v^{'} (t)]^{2}} d t

Àngul entre dos curves

Similarment donades dos curves C₁ i C₂ que intersectan en un punt P₀ i les equacions paramètriques del qual són:

𝐫_{𝟏} (t) = (x_{1} (u_{1} (t), v_{1} (t)), y_{1} (u_{1} (t), v_{1} (t)), z_{1} (u_{1} (t), v_{1} (t)))

𝐫_{𝟐} (t) = (x_{2} (u_{2} (t), v_{2} (t)), y_{2} (u_{2} (t), v_{2} (t)), z_{2} (u_{2} (t), v_{2} (t)))

L'àngul α format per les dos curves en el punt d'intersecció ve definit per l'equació:

\cos α = \frac{E u'_{1} u'_{2} + F (u'_{1} v'_{2} + u'_{2} v'_{1}) + G v'_{1} v'_{2}}{\sqrt{E (u'_{1})^{2} + 2 F u'_{1} v'_{1} + G (v'_{1})^{2}} \sqrt{E ({u^{'}}_{2})^{2} + 2 F {u^{'}}_{2} {v^{'}}_{2} + G ({v^{'}}_{2})^{2}}}

A on les derivades s'evaluen per als valors de paràmetro $t_{1}$ i $t_{2}$ tals que $P_{0} = 𝐫_{𝟏} (t_{1}) = 𝐫_{𝟐} (t_{2})$ . En particular l'àngul format per les llínees coordenades associades al sistema de coordenades (o, v) ve dau per:

\cos α_{(u, v)} = \frac{F}{\sqrt{E G}}

En particular el sistema de coordenades es diu ortogonal si les llínees coordenades són ortogonals (perpendiculars) entre sí en cada punt, això succeïx si i solament si F = 0.

Àrea d'una regió sobre la superfície

Donada una regió Ω continguda en una superfície es definix la seua àrea com:

A (Ω) = \iint_{Ω} \sqrt{E G - F^{2}} d u d v

Si la superfície ve donada per la funció explícita z = f(x, i) llavors lo anterior es pot escriure senzillament com:

A (Ω) = \iint_{Ω} \sqrt{1 + {(\frac{\partial f}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial f}{\partial y})}^{2}} d x d y

Vore també

Geometria diferencial de curves

Referències

Bibliografia

Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Catalunya, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fòrmules i taules de matemàtica aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.
M. do Carmo: "Differential geometry of curves and surfaces".
John M. Llig (1997). Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98271-X.

Enllaces externs

[[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.
Enciclopèdia en-llínea de Springer-Verlag [1]

Este artícul conté una traducció derivada de «Geometría diferencial de superficies» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.